Accélération de Siacci
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2007-11-09T08:37:05Z
Linan
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Les composantes de l'[[accélération]] dans différents systèmes de coordonnées sont bien connues.
Dans le cas de courbes planes, on utilise souvent les coordonnées polaires
(r, <math>\theta</math>).
Moins connu, est le système utilisant la définition de la courbe comme antipodaire : Soit O l'origine et P la projection de O sur la tangente en M à la courbe (C) : le point P décrit alors la [[podaire]] de O à la courbe (C) : on appelle p la distance OP. Réciproquement la perpendiculaire à la podaire au point P enveloppera la courbe (C) à étudier. Un système de coordonnées peu utilisé est le couple (r,p).
L'exemple classique est : soit un cercle et un point O intérieur ; l'antipodaire est une ellipse de foyer O ,
L'accélération de Siacci exprime l'accélération d'un point en mouvement, M , sur (C) en fonction de sa distance au point O ( on pose OM := r ) et de la distance de O à la podaire ( on pose OP := p).
Cette accélération est très utile dans le cas d'une [[Force centrale]].
Une deuxième partie donnera les composantes de cette accélération dans le cas général :
moins utile , elle permet néanmoins au néophyte en mécanique de bien comprendre la différence entre projections et composantes, puisque la base utilisée sera non-orthogonale.
== Formule de Siacci : cas d'une [[force centrale]] ==
Newton est sans doute un des premiers à avoir répéré cette formule. Mais la démonstration qu'il en donne est purement géométrique.
Ici, est utilisée la formule de Leibniz : dW = F(r).dr = mv.dv , car elle conduit plus simplement au résultat:
Soit C la constante des aires ( = p.v) ; alors :
*<math> \vec{\gamma} = -\vec{u}\cdot \frac{C^2dp}{p^3dr} </math>
La formule est alors remarquable, car le temps n'y intervient plus explicitement (il est masqué dans C²) ; si l'on connaît l'expression podaire de la trajectoire r = f(p) ou p = g(r), alors on obtient directement la loi de force F(r)!
== Utilisation ==
*L'exemple classique est celui de [[Isaac Newton]] ( nov 1684): pour une ellipse , l'équation podaire vue de son foyer est :a²/p² = 2a/r -1 (cf (note) )
En dérivant cette équation, on obtient -(a²/p³) dp= -(2a/r²) dr. D'où le résultat demandé par [[Edmund Halley]] (août 1684): F(r) est en 1/r² !
*Newton (1687) l'utilise maintes fois , cf [[Exégèse des Principia]] (spirales logarithmiques , [[transmutation de la force]], ...) .
* Exemple : [[spirale logarithmique]] parcourue à vitesse angulaire W constante. Alors l'accélération centrale reste proportionnelle à 1/r³, puisque p = r.sin<math>\alpha</math>= r.k (eadem mutata resurgo, dixit [[Jacques Bernoulli]]). C'est la proposition IX.
* Exemple : ellipse de [[Robert Hooke]] :l'équation podaire est ab/p² = a²+ b² + r² ; il en résulte que '''F'''(r) = -m (C²/a²b²) '''OM''' .c'est la proposition X.
* Exemple : O sur le cercle de diamètre "vertical" OA [ A(0,2R) ]. la podaire est immédiate p = r²/2R : d'où F(r) = -m 8C²R²/r⁵ : proposition VII, corollaire I.
* Exemples divers : les courbes r^k = a^k cos k<math>\theta</math> ont pour podaires:
p = r^(k+1)/a^k , et donc F(r) = - C² aç(2k) (k+1)/ r^(2k+3) : soit les cas :
*k= 1 , le cercle et F ~ 1/ r^5
*k=2, la lemniscate : F ~ 1/r^7
*k=-2 , l'hyperbole équilatère ( [[symétrie de Corinne]] de Hooke) : '''F''' ~ +'''OM'''.
*k= -1 (n+1)=0 donc pour la ligne , F= 0
*k=1/2 , cardioïde et son origine O : F ~ 1/r^4
*k= -1/2 : la parabole et O au foyer ( cas de Briggs) : F ~ 1/r^2.
*(Note : dans une ellipse il y a deux foyers, avec r+r' = 2a et pp' = a² et p'/r' =p/r).
== Démonstration de la formule ==
* Cas de [[force centrale]] :
Alors C = cste. Le travail élémentaire de la Force vaut : F(r).dr = m v.dv, or v² = C²/p² , donc F(r)/m = - C²/p³ . dp/dr
== Formule générale de Siacci ==
Elle décompose l'accélération selon '''OM''' et '''V''', ce qui semble assez raisonnable comme choix de base, et pourtant, bien évidemment la base de Frenet est largement plus facile à utiliser!
*<math> \vec{\gamma} = -\vec{u}\cdot \frac{C^2dp}{p^3dr} + \vec{V} \frac{C\dot{C}}{C^2} </math>
Remarquer d'abord l'homogénéité, (1/C)dC/dt homogène à l'inverse d'un temps. Remarquer le Choix d'écrire avec C² plutôt qu'avec C , car on ne peut distinguer entre le plan vu de dessus ou vu de dessous. En règle générale, on prend C positif , MAIS ICI , C(t) est variable !De plus le changement t en -t , ne change pas l'accélération.
Remarquable aussi est le fait que le premier terme ( radial) ne change pas entre la formule [[force centrale]] et la formule générale. Certes, le deuxième terme contient dC/dt en facteur.
Lemme connu utilisé : ( r dr) = p . R avec R :=rayon de courbure.(cf note)
'''Démonstration''' : on va se contenter d'identifier la formule à celle de Frenet.
Le deuxième terme (1/C)dC/dt = (1/v)dv/dt + un terme A = (1/p)dp/dt.
Il reste donc à démontrer que '''V'''. A + le terme radial est normal et égal à v²/R '''N'''.
Écrire '''OM''' = '''OP''' + '''PT''' = -p '''N''' + ('''r.T''') '''T''' = -p '''N''' +('''r.V''') '''V'''/v².
La projection de Frenet sur''' N''' s'écrit : + (C²/rp³) dp/dr .p= v² .dp/(r.dr) =v²/R
La projection de Frenet sur '''T''' s'écrit : (v/p)dp/dt - (C²/rp³).(dp/dr).('''r.V)''' / v ;
Or ('''r.V''') = (r dr)/dt , d'où (v/p)dp/dt - (v²/rp) dp/dt.(r dr)/v qui s'annule.
Remarque : dans le deuxième terme on peut faire disparaître le temps :''' T''' (1/p²)dC/ds.
*Note : voici une démonstration : p = -'''r.N''' donc dp = -'''dr.N''' + '''r.dN''' = 0+ '''r.T''' d<math>\alpha</math> = ('''r.T''')ds / R = r dr/ R . CQFD.
== Voir aussi ==
* [[Accélération]]
* [[Cinématique]]
* [[Podaire]]
* [[Spirale logarithmique]]
* [[Transmutation de la force]]
* [[Théorème de Newton-Hamilton]]
{{portail physique}}
[[Catégorie:Mécanique]]