Algèbre 7143 31718825 2008-07-20T00:08:36Z Alexbot 327431 robot Ajoute: [[bat-smg:Algebra]] L''''algèbre''' est la branche des [[mathématiques]] qui étudie les [[structure (mathématiques)|structures]] [[structure algébrique|algébriques]], indépendamment de la notion de [[Limite (mathématiques)|limite]] (rattachée à l'[[Analyse (mathématiques)|analyse]]) et de la notion de représentation graphique (rattachée à la [[géométrie]]). L'étude des structures algébriques peut être faite de manière unifiée dans la cadre de l'[[algèbre universelle]]. ''Pour la « structure d'algèbre », voir l'article : [[Algèbre sur un corps]].'' ==Histoire== ===Antiquité === Les Babyloniens savaient déjà résoudre l'équation du 2{{e}} degré (ou [[équation quadratique]]). Le premier document connu énonçant un ''problème algébrique'' tel que nous le connaissons est le [[Papyrus Rhind]]. Ce papyrus, actuellement (2007) au [[British Museum]] de [[Londres]], date de [[-1650]], ère chrétienne. Il comporte l'énoncé suivant : :''On doit diviser 100 miches de pain entre dix hommes comprenant un navigateur, un contremaître et un gardien, tous trois recevant double part. Que faut-il donner à chacun ?'' [[Diophante]], au IV{{e}} siècle, développe la méthode de résolution en [[Nombre rationnel|nombres rationnels]] et découvre que le [[discriminant]] doit être le carré d'un nombre rationnel. ===Monde arabo-musulman=== [[Image:Image-Al-Kitāb_al-muḫtaṣar_fī_ḥisāb_al-ğabr_wa-l-muqābala.jpg|thumb|120px|Page d'''Algebra'' d'[[Abou Jafar Muhammad Ibn Mūsa al-Khuwārizmī|al-Khwarizmi]]]] Le mot {{guil|algèbre}} vient de l'[[arabe]] ''al-jabr'' ({{lang|rtl|ar|الجبر}}), qui est devenu ''algebra'' en [[latin]] et qui signifie « la réunion » (des morceaux), « la reconstruction » ou « la connexion » (en [[espagnol]] le mot ''algebrista'' désigne celui qui pratique le calcul algébrique mais aussi le [[rebouteux]], celui qui sait réduire les fractures osseuses<ref>[http://www.rae.es/ ''Diccionario de la lengua española''] de la '''Real Academia Española'''</ref>). C'est un des premiers mots de titre en [[arabe]] d'un ouvrage du mathématicien iranien [[Al-Khawarizmi]] qui reprend, dans la première partie du {{IXe siècle}}, les travaux de [[Diophante d'Alexandrie]] ({{IVe siècle}}). Ce dernier avait imaginé de représenter une inconnue par un symbole nommé ''arithme''. Le titre de cet ouvrage (Al-jabr wa'l-muqabalah) qui s'inscrivait dans l'époque d'essor des [[sciences et techniques islamiques]] (la culture de l'époque voulait que tout savoir soit traduit en arabe et disséminé dans tout l'Empire), a donné le mot moderne {{guil|algèbre}}. Après un voyage dans le nord de l'Afrique, [[Léonard de Pise]] dit [[Fibonacci]] fut séduit par cette nouvelle façon d'écrire les chiffres (différente des chiffres romains) et par le système décimal. Dès son retour au pays, il est parmi les premiers à populariser les [[chiffres arabes]] et le [[système décimal]] en Europe et travaille sur sa fameuse [[suite de Fibonacci|suite]]. === XVI{{e}} siècle : Europe === [[Image:Francois Viete.jpg|thumb|right|120px|[[François Viète]]]] Le pape [[Gerbert d'Aurillac]] avait ramené d'Espagne vers l'an 1000 le [[zéro]], invention indienne que les mathématiciens [[Al-Khawarizmi]] et [[Abu Kamil]] avaient eux-mêmes fait connaître dans tout l'Empire, et aussi à [[Cordoue]]. Cette numération de position lance une ère de calcul algébrique, d'abord au moyen des ''algorismes'' nommés ainsi en hommage à Al-Kawarizmi, qui remplacent peu à peu l'usage de l'[[Abaque (calcul)|abaque]]. Les mathématiciens italiens du XVI{{e}} siècle ([[Scipione del Ferro|del Ferro]], [[Niccolo Tartaglia|Tartaglia]] et [[Gerolamo Cardano|Cardan]]) résolvent l'équation du 3{{e}} degré (ou [[équation cubique]]). [[Ludovico Ferrari|Ferrari]], élève de [[Gerolamo Cardano|Cardan]], résout l'équation du 4{{e}} degré (ou [[équation quartique]]), et la méthode est perfectionnée par [[Raphaël Bombelli|Bombelli]]. À la fin du siècle, le Français [[François Viète|Viète]] découvre que les fonctions symétriques des racines sont liées aux coefficients de l'équation polynomiale. Jusqu'au {{XVIIe siècle}}, l'algèbre peut être globalement caractérisée comme la suite ou le début des équations et comme une extension de l'[[arithmétique]] ; elle consiste principalement en l'étude de la résolution des [[équation algébrique|équations algébriques]], et la codification progressive des opérations symboliques permettant cette résolution. À noter que c'est au français [[François Viète]] (1540-1603) que l'on doit l'idée de noter les inconnues à l'aide de lettres . Au XVII{{e}} siècle, les mathématiciens utilisent progressivement des nombres « imaginaires », tels que l'une des ''racines carrées de -1'', pour parvenir à calculer les racines non réelles de leurs équations. Cette « extension » des [[nombre réel|nombres réels]] (qui prendra le nom de [[nombre complexe|nombres complexes]]) amène [[Jean Le Rond d'Alembert|d'Alembert]] (en 1746) et [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] (en 1799) à énoncer et démontrer le théorème fondamental de l'algèbre (ou [[théorème de d'Alembert-Gauss]]) : ''toute équation polynomiale de degré '''n''' en nombres complexes a exactement n racines'' (en comptant chacune avec son éventuelle multiplicité). Ou, sous sa forme moderne : ''le corps <math>\ _\mathbb C </math> des nombres complexes muni de l'addition et de la multiplication est ''[[Corps algébriquement clos|algébriquement clos]]''. Le XIX{{e}} siècle s'intéresse désormais à la calculabilité des racines, et en particulier à la possibilité de les exprimer par des formules générales à base de radicaux. Les échecs concernant les équations de degré 5 amènent le mathématicien [[Niels Henrik Abel|Abel]] (après [[Alexandre-Théophile Vandermonde|Vandermonde]], [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] et [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]]) à approfondir les transformations sur l'ensemble des racines d'une équation. [[Évariste Galois]] (1811 - 1832), dans un mémoire fulgurant, introduit pour la première fois la notion de groupe (en étudiant le groupe des permutations des racines d'une équation polynomiale) et aboutit à l'impossibilité de la résolution par radicaux pour les équations de degré supérieur ou égal à 5. Une étape décisive était franchie avec l'écriture des ''exposants fractionnaires''. Celle-ci permettra à [[Leonhard Euler|Euler]] d'énoncer sa célèbre formule <math>e^{i\pi}= -1</math>. ===Algèbre moderne=== [[Image:Ernst Eduard Kummer.jpg|thumb|right|120px|[[Ernst Kummer]]]] Dès lors, l'algèbre moderne entame un parcours fécond : [[George Boole|Boole]] crée [[Algèbre de Boole (logique)|l'algèbre qui porte son nom]], [[William Rowan Hamilton|Hamilton]] invente les [[quaternion]]s, et les mathématiciens anglais [[Arthur Cayley|Cayley]], [[William Rowan Hamilton|Hamilton]] et [[James Joseph Sylvester|Sylvester]] étudient les structures de matrices. L'[[algèbre linéaire]], longtemps restreinte à la résolution de systèmes d'équations linéaires à 2 ou 3 inconnues, prend son essor avec le [[théorème de Cayley-Hamilton]] (« Toute matrice carrée à coefficients dans <math>\ _\mathbb R </math> ou <math>\ _\mathbb C </math> annule son [[polynôme]] caractéristique »). S'ensuivent les transformations par changement de base, la [[diagonalisation]] et la [[trigonalisation]] des matrices, et les méthodes de calcul qui nourriront, au XX{{e}} siècle, la programmation des ordinateurs. Parallèlement, [[Ernst Kummer|Kummer]] généralise les structures galoisiennes et étudie les structures de corps et d'anneau. [[Richard Dedekind|Dedekind]] définit les idéaux (déjà entrevus par [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]]) qui permettront de généraliser et reformuler les grands théorèmes d'[[arithmétique]]. L'algèbre linéaire se généralise en [[algèbre multilinéaire]] et [[algèbre tensorielle]]. Au début du XX{{e}} siècle, sous l'impulsion de l'allemand [[David Hilbert|Hilbert]] et du français [[Henri Poincaré|Poincaré]], les mathématiciens s'interrogent sur les fondements des mathématiques : [[logique]] et [[Théorie axiomatique|axiomatisation]] occupent le devant de la scène. [[Giuseppe Peano|Peano]] axiomatise l'arithmétique, puis les [[Espace vectoriel|espaces vectoriels]]. La structure d'espace vectoriel et la [[algèbre sur un corps|structure d'algèbre]] sont approfondies par [[Emil Artin|Artin]] en 1925, avec des corps de base autres que <math>\ _\mathbb R </math> ou <math>\ _\mathbb C </math> et des opérateurs toujours plus abstraits. On doit aussi à [[Emil Artin|Artin]], considéré comme le père de l'algèbre contemporaine, des résultats fondamentaux sur les corps de [[Nombre algébrique|nombres algébriques]]. Les corps non commutatifs amènent à définir la structure de [[module sur un anneau]] et la généralisation des résultats classiques sur les espaces vectoriels. L'école française [[Association Bourbaki|« Nicolas Bourbaki »]], emmenée par [[André Weil|Weil]], [[Henri Cartan|Cartan]] et [[Jean Dieudonné|Dieudonné]], entreprend de réécrire l'ensemble des connaissances mathématiques sur une base axiomatique : ce travail gigantesque commence par la théorie des ensembles et l'algèbre dans le milieu du siècle, et confirme l'algèbre comme langage universel des mathématiques. Paradoxalement, alors que le nombre de publications suit une [[croissance exponentielle]] à travers le monde, alors qu'aucun mathématicien ne peut prétendre dominer qu'une toute petite partie des connaissances, les mathématiques n'ont jamais autant paru unifiées qu'aujourd'hui. == Notations européennes modernes == * Les symboles "+" et "-" apparaissent en [[1489]] dans l'ouvrage ''Arithmétique'' de [[John Widmann]] (Leipzig) * Le signe "=" apparaît en [[1557]] chez [[Robert Recorde]] "''parce que deux choses ne sauraient être plus égales que deux lignes parallèles''". * Les signes "<" et ">" apparaissent en [[1610]] chez [[Thomas Harriot]] (1560-1621). * [[William Oughtred]] (1574-1660) introduit le signe de la multiplication "×" dans son ''[[Clavis Mathematica]]'' ([[1631]]). Il introduit aussi les termes de ''sinus'', ''cosinus'' et ''tangente''. * Le signe de la division "/" est utilisé par [[Johann Heinrich Rahn]] en [[1659]] et introduit en Angleterre par [[John Pell]] en 1668. === Articles connexes === * [[Difficulté mathématique]] ==Voir aussi== {{Autres projets| commons=Category:Algebra| wikt=algèbre| v=Département:Algèbre| b=algèbre| }} * [[Algèbre générale]] * [[Structure algébrique]] * [[Algèbre universelle]] * [[Algèbre linéaire]] * [[Algèbre matricielle]] * [[Algèbre multilinéaire]] * [[Algèbre tensorielle]] * [[Algèbre sur un corps]] * [[Algèbre sur un anneau]] * [[Algèbre de Boole (logique)|Algèbre de Boole]] * [[Tribu (mathématiques)]] * [[Algèbre de Clifford]] * [[Algèbre de Jordan]] * [[Algèbre de Lie]] * [[Algèbre relationnelle]] * [[Calcul algébrique]] * [[Clôture algébrique]] * [[Courbe algébrique]] * [[Élément algébrique]] * [[Entier algébrique]] * [[Équation]] * [[Équation algébrique]] * [[Équation polynomiale]] * [[Extension algébrique]] * [[Géométrie algébrique]] * [[Mesure algébrique]] * [[Nombre algébrique]] * [[Surface algébrique]] * [[Topologie algébrique]] == Notes == <references /> ==Bibliographie== * Adolf P. Youschkevitch, Les Mathématiques Arabes, VIIIe-XVe siècles, Ed. VRIN, Paris - 1976 ==Liens externes== * [http://members.aol.com/OlivThill/algebra.htm Sur l'origine de l'algèbre] * [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Al-Khwarizmi.html Sur Al-Khwarizmi, mathématicien (''en anglais'')] * [http://www.les-mathematiques.net/ Les mathématiques.net] : références et cours en ligne {{Domaines des mathématiques}} {{portail mathématiques}} [[Catégorie:Algèbre|*]] [[Catégorie:langue française]] [[Catégorie:Langue arabe]] [[Catégorie:étymon]] [[af:Algebra]] [[an:Alchebra]] [[ar:جبر]] [[ast:Álxebra]] [[az:Cəbr]] [[ba:Алгебра]] [[bat-smg:Algebra]] [[be:Алгебра]] [[bg:Алгебра]] [[bn:বীজগণিত]] [[ca:Àlgebra]] [[co:Algebra]] [[cs:Algebra]] [[cy:Algebra]] [[da:Algebra]] [[de:Algebra]] [[el:Άλγεβρα]] [[eml:Algebra]] [[en:Algebra]] [[eo:Algebro]] [[es:Álgebra]] [[et:Algebra]] [[eu:Aljebra]] [[fa:جبر]] [[fi:Algebra]] [[fiu-vro:Algõbra]] [[fy:Algebra]] [[gd:Ailseabra]] [[gl:Álxebra]] [[he:אלגברה]] [[hi:बीजगणित]] [[ht:Aljèb]] [[hu:Algebra]] [[ia:Algebra]] [[id:Aljabar]] [[io:Algebro]] [[is:Algebra]] [[it:Algebra]] [[ja:代数学]] [[jbo:turki'icmaci]] [[jv:Aljabar]] [[ka:ალგებრა]] [[kn:ಬೀಜಗಣಿತ]] [[ko:대수학]] [[la:Algebra]] [[lij:Algebra]] [[lo:ພຶດຊະຄະນິດ]] [[lt:Algebra]] [[lv:Algebra]] [[mk:Алгебра]] [[ml:ബീജഗണിതം]] [[mr:बीजगणित]] [[ms:Algebra]] [[nl:Algebra]] [[nn:Algebra]] [[no:Algebra]] [[nov:Algebra]] [[pl:Algebra]] [[pms:Àlgebra]] [[pt:Álgebra]] [[qu:Qillqanancha kamay]] [[ro:Algebră]] [[ru:Алгебра]] [[scn:Àlgibbra]] [[sco:Algebra]] [[simple:Algebra]] [[sk:Algebra]] [[sl:Algebra]] [[sq:Algjebra]] [[sr:Алгебра]] [[sv:Algebra]] [[ta:இயற்கணிதம்]] [[tg:Алгебра]] [[th:พีชคณิต]] [[tk:Algebra]] [[tl:Aldyebra]] [[tr:Cebir]] [[uk:Алгебра]] [[vi:Đại số]] [[vls:Algebra]] [[yi:אלגעברע]] [[yo:Áljẹ́brà]] [[zh:代数]] [[zh-classical:代數學]] [[zh-min-nan:Tāi-sò͘]] [[zh-yue:代數學]]