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    <title>Algèbre semi-simple</title>
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      <timestamp>2008-06-13T09:09:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Valvino</username>
        <id>116222</id>
      </contributor>
      <comment>/* Références */ {{portail mathématiques}}</comment>
      <text xml:space="preserve">En [[mathématiques]] et plus particulièrement en [[algèbre]], une A-[[Algèbre sur un anneau|algèbre]] ''L'', où ''A'' désigne un [[anneau (mathématiques)|anneau]], est qualifiée de '''semi-simple''' ou de '''complètement réductible''' si et seulement si la structure d'anneau associé à ''L'' l'est

Elle est présente dans de nombreuses branches mathématiques, on peut citer l'[[algèbre linéaire]] l'[[arithmétique]], la [[théorie des représentations d'un groupe fini]] celle des [[groupe de Lie|groupes de Lie]] ou celle des [[algèbre de Lie|algèbres de Lie]]. Elle est, par exemple, utilisée pour démontrer le critère de [[réciprocité de Frobenius]].

La théorie des '''algèbres semi-simples''', se fonde sur le [[lemme de Schur]] et le [[théorème d'Artin-Wedderburn]].
==Définitions==
Tout au long de cet article, les notations suivantes sont utilisées : ''A'' désigne un anneau unitaire non nécessairement [[commutatif]], ''L'' une algèbre unitaire sur l'anneau ''A''. ''K'' désigne un [[corps (mathématiques)|corps]], non nécessairement commutatif et ''E'' un [[espace vectoriel]].

Plusieurs définitions sont nécessaire à la compréhension de la notion d'algèbre semi-simple. Les définitions diffèrent un peu du cas des [[module semi-simple]]s. Par exemple un module est dit simple s'il n'admet pas d'autres sous-module que lui-même et l'ensemble nul. La situation archétypale de l'algèbre simple est celle de ''L''(''E''), l'ensemble des [[endomorphisme]]s de ''E''. Il admet de nombreuses sous-algèbres, par exemple si ''p'' est un [[Projecteur (mathématiques)|projecteur]], alors l'ensemble des endomorphismes de la forme ''p''o''a'' où ''a'' décrit les endomorphismes est une sous-algèbre, on utilise alors la définition suivante :
:* L'algèbre ''L'' est dite '''simple''' si et seulement si les seuls [[idéal|idéaux bilatères]] sont l'ensemble nul et ''L'' lui-même. 
''K'' est une algèbre simple considéré comme un espace vectoriel sur lui-même. L'anneau des [[entier naturel|entiers]] ''Z'' n'est pas une ''Z''-algèbre simple, en effet tout sous-module ''n''.''Z'' si ''n'' est un entier contient le sous-module ''2.nZ''.
Cette définition se généralise aux [[module sur un anneau|modules]], un module est dit simple s'il n'admet comme sous-module que lui-même et l'ensemble nul.
 
:* Soit ''F'' un idéal de ''L'', ''F'' est aussi appelé un '''facteur invariant'''.
Le corps des [[nombre complexe|nombres complexes]] est une algèbre en tant qu'espace vectoriel [[nombre réel|réel]], ''R'' l'ensemble des nombres réels est un sous-module simple mais n'est pas un facteur invariant au sens de l'algèbre. Si ''E'' est de dimension ''deux'' de base (''e''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''e''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) et si ''L'' est la ''K'' algèbre des endomorphismes ayant la base comme vecteurs propres, alors le sous-ensemble de ''L'' ayant pour image de ''e''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; le vecteur nul est un facteur invariant.

:* Soit ''F'' un facteur invariant, ''F'' est dit '''[[facteur direct d'un module|facteur direct]]''' si et seulement s'il existe un [[sous-espace supplémentaire|supplémentaire]] invariant par ''F''.

Avant de donner la définition d'une algèbre semi-simple rappelons qu'un module est dit semi-simple si et seulement s'il est [[somme directe]] de facteurs invariants. La notation suivante est utilisée dans l'article &lt;sub&gt;L&lt;/sub&gt;''L'' désigne le module ''L'' sur l'anneau ''L''.

:* Une algèbre ''L'' est dite '''semi-simple''' si et seulement si les modules &lt;sub&gt;L&lt;/sub&gt;''L'' à droite et à gauche le sont.
Cette définition induit immédiatement la définition d'un anneau semi-simple :
:* Un anneau est dit '''semi-simple''' si et seulement s'il est semi-simple en tant qu'algèbre sur lui-même.

==Histoire==
===Origines===
[[Image:Jordan 3.jpeg|thumb|right|Camille Jordan]]
L'histoire de l'étude de la notion d'algèbre est initialement étroitement liée à celui de la relation entre l'[[algèbre linéaire]] et la [[théorie des groupes]]. [[Arthur Cayley]] &lt;small&gt;([[1821 en science|1821]]-[[1895 en science|1895]])&lt;/small&gt; développe en [[1850 en science|1850]] la notion de [[matrice (mathématiques)|matrice]]&lt;ref&gt;[[Arthur Cayley]] ''Sur une nouvelle classe de théorèmes'' [[1850 en science|1850]]&lt;/ref&gt;. Cette notion apporte de nombreux services dont l'un est à l'origine du concept. Elle permet d'incarner des groupes et particulièrement les [[groupe de Galois|groupes de Galois]] et de les étudier sous un axe nouveau, celui d'un groupe de matrices. À l'origine seul le cas fini est étudié, l'analyse met en évidence une nouvelle structure, que l'on considère maintenant comme l'[[algèbre sur un corps|algèbre]] des [[endomorphisme]]s engendrés par les [[automorphisme]]s du groupe.

[[Marie Ennemond Camille Jordan|Camille Jordan]] &lt;small&gt;([[1838 en science|1838]]-[[1922 en science|1922]])&lt;/small&gt;, le grand spécialiste de l'époque avec Cayley, l'utilise intensivement. En [[1869 en science|1869]], elle lui permet de démontrer l'existence&lt;ref&gt;[[Marie Ennemond Camille Jordan|Camille Jordan]] ''Commentaire sur Galois'' Math. Ann. [[1869 en science|1869]], réédition Œuvres Gauthier-Villars (Vol 1 page 211 à 230) 1961&lt;/ref&gt; d'une chaîne de composition pour les groupes finis connue sous le nom de [[théorème de Jordan-Hölder]]. Le caractère d'unicité d'une telle chaîne est démontré par [[Otto Hölder]] &lt;small&gt;([[1859 en science|1859]]-[[1937 en science|1937]])&lt;/small&gt; vingt ans plus tard. Ce théorème possède deux lectures possibles, l'une sur les groupes finis, l'autre sur les modules. La deuxième lecture correspond à une propriété structurelle essentielle, elle est une des origines de l'intérêt pour ce qui deviendra une branche des mathématiques, l'[[algèbre commutative]]. L'analyse du [[groupe de Galois]] offre des perspectives aussi en algèbre linéaire. Elle amène Jordan à étudier les endomorphismes en [[dimension]] finie à travers cette algèbre et permet une compréhension aussi profonde que définitive de leur structure. Ce résultat, est publié dans un livre de synthèse&lt;ref&gt;[[Marie Ennemond Camille Jordan]] ''Traité des substitutions et des équations algébriques'' [[1870 en science|1870]]&lt;/ref&gt; en [[1870 en science|1870]]. Il est connu sous le nom de [[réduction de Jordan]] et s'applique sur les [[corps fini]]s premiers, c'est-à-dire les corps des entiers modulo un nombre premier.

Les conséquences des travaux de Jordan sont considérables, son livre de synthèse devient la référence sur les théories des groupes, de Galois et de l'algèbre linéaire. Il démontre d'une part que l'analyse des groupes à travers le [[groupe linéaire]] est une démarche féconde, et par ailleurs que la structure d'algèbre est riche en enseignements à la fois en termes de module et d'algèbre linéaire.

===Théorie des groupes===
[[Image:Ferdinand Georg Frobenius.jpg|thumb|left|Ferdinand Georg Frobenius]]
La recherche de la compréhension des groupes devient un sujet majeur en mathématique. Par delà leur intérêt propre, la compréhension de cette structure est la clé de nombreux sujets. La [[théorie de Galois]] les place au cœur du problème de l'[[équation algébrique]] et les conséquences sont multiples, l'analyse des structures de corps s'identifie à cette époque à la théorie de Galois et la compréhension de nombreux anneaux, utiles en [[arithmétique]] s'appuie sur cette théorie. La géométrie ne fait rapidement plus exception. En 1870, deux mathématiciens [[Felix Klein]] &lt;small&gt;([[1849 en science|1849]] [[1925 en science|1925]])&lt;/small&gt; et [[Sophus Lie]] &lt;small&gt;([[1842 en science|1842]] [[1899 en science|1899]])&lt;/small&gt; visitent Jordan à [[Paris]]. Ils sont particulièrement intéressés par une de ses publications&lt;ref&gt;[[Marie Ennemond Camille Jordan]] ''Sur les équations de la Géométrie'' Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences. Paris. [[1869 en science|1869]]&lt;/ref&gt;  vieille d'un an sur l'analyse d'une géométrie à l'aide d'un groupe de symétries. Sophus Lie développe une théorie des groupes continus et Klein, dans son fameux programme&lt;ref&gt;[[Felix Klein]] Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen A. Deichert [[1872 en science|1872]]&lt;/ref&gt; classifie les géométries à travers les groupes. Ils perdent leur caractère essentiellement fini.

[[Ferdinand Georg Frobenius|Georg Frobenius]] &lt;small&gt;([[1849 en science|1849]]-[[1917 en science|1917]])&lt;/small&gt;, à la suite d'une correspondance&lt;ref&gt;T. Y. Lam ''Representation of finite groups : A Hundred years, Part I'' Notice of the AMS Vol 45 p 365&lt;/ref&gt; avec [[Richard Dedekind]] &lt;small&gt;([[1831 en science|1831]] [[1916 en science|1916]])&lt;/small&gt; s'intéresse aux groupes finis et particulièrement à la notion de factorisation d'une représentation matricielle appelée à l'époque ''déterminant de groupe'' et maintenant tombé en désuétude. Ces lettres sont à l'origine de la [[Représentations d'un groupe fini|théorie des représentations d'un groupe]]. En [[1897 en science|1897]] il saisit&lt;ref&gt;[[Ferdinand Georg Frobenius]] ''Uber die Darstellung der Endlichen Gruppen durch linear Substitutionen'', Sitzungsber. Preuss Akad. Wiss Berlin 1897 &lt;/ref&gt; la proximité entre une représentation c'est-à-dire un groupe qui opère linéairement sur un espace vectoriel et un module, où un anneau opère sur l'espace. Le saut est franchi, le groupe est ''linéarisé'' et devient un module. Tout progrès sur les modules ayant une structure équivalente à celle d'un module sur un groupe est sujet à faire progresser la théorie des représentation et donc celle des groupes.

[[Heinrich Maschke]] &lt;small&gt;([[1853 en science|1853]] [[1908 en science|1908]])&lt;/small&gt;, un élève de Klein, est le premier à démontrer le [[théorème de Maschke|théorème]]&lt;ref&gt;[[Heinrich Maschke]] ''Beweiss des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionesgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftenen intransitiv sind'' [[1899 en science|1899]]&lt;/ref&gt; qui détermine l'élément structurant de ce type de module, il est [[module semi-simple|semi-simple]]. Il possède des analogies fortes avec les [[anneau euclidien|anneaux euclidiens]] comme celui des nombres [[entier relatif|entiers]]. Ils se décomposent en une série de [[module semi-simple|modules simples]] qui correspondent un peu aux nombres premiers, à la différence qu'il n'en existe qu'un nombre fini.

===Structure d'algèbre===
[[Image:Wedderburn.jpeg|thumb|right|Joseph Wedderburn]]

Une structure apparaît de plus en plus centrale, celle d'[[algèbre semi-simple]]. Dans le cas des représentations, elle correspond à faire opérer l'extension linéaire du groupe, non plus sur un espace vectoriel quelconque, mais sur lui-même. D'autres branches mathématiques amènent naturellement à l'utilisation de ce concept. Une [[extension de Galois|extension galoisienne]] dispose d'une structure analogue et la théorie des corps suppose l'étude de ces objets. Enfin, les groupes continus développés par Lie disposent en chaque point d'un [[espace tangent]] équipé d'une structure d'[[algèbre de Lie|algèbre]] semi-simple. À l'aube du {{XXe siècle}}, ce sujet devient majeur, des mathématiciens d'horizon divers étudient ce concept. Le théorème de décomposition des modules s'appliquent car une algèbre dispose aussi d'une structure de module.

[[William Burnside]] &lt;small&gt;([[1852 en science|1852]] [[1927 en science|1927]])&lt;/small&gt; saisit rapidement la portée de l'approche de Frobenius. L'importance de la structure de l'algèbre sous-jacente à un groupe linéaire ne lui échappe pas. Il établit dès [[1897 en science|1897]] dans la première édition&lt;ref&gt;[[William Burnside]] ''The Theory of Groups of Finite Order'' The University Press, Cambridge [[1897 en science|1897]]&lt;/ref&gt; de son livre de référence sur les groupe finis un premier résultat. Dans le cas où le corps est [[clôture algébrique|algébriquement clos]] l'ensemble des [[endomorphisme]]s d'un espace vectoriel de dimension finie est une algèbre simple. Un exemple des briques élémentaires est alors explicité.

[[Leonard Eugene Dickson|Leonard Dickson]] &lt;small&gt;([[1874 en science|1874]]-[[1954 en science|1954]])&lt;/small&gt; écrit en [[1896 en science|1896]] sa thèse de doctorat à propos les groupes de Galois comme des groupes linéaires sur des corps finis quelconques, généralisant ainsi les résultats de Jordan. Il démontre que tout corps fini commutatif est une [[extension de Galois]] d'un corps premier. Elle est publiée&lt;ref&gt;[[Leonard Eugene Dickson|Leonard Dickson]] ''Linear Groups- With an Exposition of the Galois Field Theory'' Courier Dover Publications 2003&lt;/ref&gt; en Europe en [[1901 en science|1901]]. La structure de base est celle d'une algèbre semi-simple. Si l'approche de Galois ne permet que l'étude des corps commutatifs, les algèbres semi-simples permettent aussi celui des corps ''gauches'' (ie. non commutatifs), Dickson développe la théorie général des corps et trouve de nombreux exemples de corps gauches. A partir de cette période les deux théories : celle de Galois et celle des corps commencent leur séparation.

[[Elie Cartan]] &lt;small&gt;([[1869 en science|1869]]-[[1951 en science|1951]])&lt;/small&gt; s'intéresse dès sa thèse&lt;ref&gt;[[Elie Cartan]] ''Sur la structure des groupes de transformations finis et continus'' Paris, Librairie Vuibert, 1933&lt;/ref&gt;qu'il soutient en [[1894 en science|1894]] aux algèbres de Lie. Toutes les structures d'algèbres simples et semi-simples sur les complexes y sont traitées. Avec [[Joseph Henry Maclagan Wedderburn|Joseph Wedderburn]] &lt;small&gt;([[1882 en science|1882]] - [[1948 en science|1948]])&lt;/small&gt;, il étudie la structure générique de ces algèbres. Cartan explicite la structure des algèbres semi-simples pour le cas des nombres complexes. En [[1907 en science|1907]] Wedderburn publie son article&lt;ref&gt;[[Joseph Henry Maclagan Wedderburn|Joseph Wedderburn]] ''On hypercomplex numbers'' London Mathematical Society [[1907 en science|1907]]&lt;/ref&gt; peut-être le plus célèbre. Il généralise les résultats de Cartan pour les algèbres sur un corps quelconque qu'on appelle à l'époque les [[Nombre hypercomplexe|nombres hypercomplexes]]. Cette généralisation est importante, car tous les exemples d'applications citées précédemment utilisent des corps gauches.

===Structure d'anneau===
[[Image:Noether.jpg|thumb|right|Emmy Noether]]
Le théorème de Wedderburn modifie la situation, il existe des corps ''naturels'' pour toute algèbre simple, même si ces corps sont ''a priori'' non commutatifs. Le théorème doit donc pouvoir s'exprimer en terme d'anneau. Si Wedderburn ne le fait pas, en [[1908 en science|1908]] il propose néanmoins une classification comportant d'une part les anneaux à radicaux et d'autre part les semi-simples. Cette décomposition&lt;ref&gt;K H Parshall ''Joseph H M Wedderburn and the structure theory of algebras'' Arch. Hist. Exact Sci. (3-4) 32 pages 223 à 349 1985&lt;/ref&gt; devient la base de la théorie des anneaux pour le demi-siècle à venir. 

Une grande figure de la recherche dans ce domaine est [[Emmy Noether]] &lt;small&gt;([[1882 en science|1882]] - [[1935 en science|1935]])&lt;/small&gt;. Elle est souvent considérée&lt;ref&gt;Paul Dubreil ''[http://www.numdam.org/item?id=CSHM_1986__7__15_0 Emmy Noether]'' Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques tome 7 pages 15 à 27 1986&lt;/ref&gt; comme la mère de la théorie moderne des anneaux. Elle développe la théorie des anneaux non commutatifs et fonde&lt;ref&gt;[[Emmy Noether]] ''Ideal Theorie in Ringbereichen'' Math. Annalen, t. 83 pages 24 à 66 [[1921 en science|1921]]&lt;/ref&gt; une théorie générale des idéaux. Le concept d'idéal irréductible, correspondant à l'algèbre simple, est développée, ainsi que la théorie des anneaux dont toute chaîne ascendante strictement croissante d'idéaux est finie. Ces [[Anneau noethérien|anneaux]] sont maintenant nommés en son honneur.

[[Emil Artin]] &lt;small&gt;([[1898 en science|1898]] - [[1962 en science|1962]])&lt;/small&gt; étudie particulièrement un cas dont l'étude est initiée par Noether, celui des anneaux dont toute chaîne descendante strictement décroissante d'idéaux est finie. Un anneau semi-simple de [[Longueur d'un module|longueur]] finie est à la fois artinien et noethérien. En [[1927 en science|1927]], Artin trouve&lt;ref&gt;[[Emil Artin]] ''Über einen Satz von J. H. Maclagan Wedderburn'' Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 5 pages 100 à 115 [[1927 en science|1927]]&lt;/ref&gt; la forme définitive du théorème. Sans son formalisme linéaire, le théorème prend sa portée maximale, il devient un résultat important de l'algèbre non commutative. Une large classe d'anneaux, est isomorphe à un produit d'algèbres associative sur des corps quelconques.

Si le théorème est définitif, un de des attributs reste ouvert. Quelle classe d'anneaux autres que ceux à la fois artiniens et noethériens satisfont le théorème ? Un premier élément de réponse est apporté en [[1939]]. C. Hopkins démontre&lt;ref&gt;C. Hopkins ''Rings with minimal condition for left ideals'' Ann. of Math. II. Ser. 40 pages 712 à 730 [[1939 en science|1939]]&lt;/ref&gt; que, seule la condition sur la chaîne descendante est nécessaire. La véritable percée&lt;ref&gt;N. Jacobson ''The radical and semisimplicity for arbitrary ring'' am. J. math. 67 pages 300 à 320 [[1945 en science|1945]]&lt;/ref&gt; est néanmoins l'œuvre de N. Jacobson, qui trouve la condition. Elle porte sur la notion de radical, maintenant essentielle pour l'étude des anneaux semi-simples.

==Exemples==
===Endomorphismes de ''E''===
:* L'ensemble des endomorphismes ''L''(''E'') est une algèbre simple si ''E'' est un espace vectoriel de dimension finie.
Ce résultat est connu sous le nom de ''théorème de Burnside'', il est démontré dans l'article [[Théorème d'Artin-Wedderburn]].

===Algèbre de groupe===
===Anneau Artinien===
==Propriétés héritées des modules==
{{Article détaillé|Module semi-simple}}
Une algèbre semi-simple est aussi un module semi-simple. En conséquence, une telle structure hérite directement de propriétés:

===Caractérisation d'une algèbre semi-simple===
:* ''Les trois propositions suivantes sont équivalentes :
::(i) ''L'' est une algèbre semi-simple.
::(ii) ''L'' est somme de sous-algèbres simples.
::(iii) Tout sous-algèbre est un facteur direct.
Les conséquences s'appliquent aussi aux algèbres :
:* ''Supposons que ''L'' ne soit pas semi-simple, alors la somme de toutes les sous-algèbres simples de ''L'' est une sous-algèbre semi-simple, c'est la plus grande au sens de l'inclusion.''

:* ''Toute sous-algèbre d'une algèbre semi-simple est semi-simple.''

Les démonstrations se trouvent dans l'article associés.

===Lemme de Schur===
{{Article détaillé|Lemme de Schur}}
Le lemme de Schur est un lemme technique explicitant la nature des morphismes entre une algèbre semi-simple et une algèbre simple. Il est à la fois simple à exprimer et à démontrer, cependant ses conséquences sont aussi nombreuses que profondes. Ici ''L'' désigne une algèbre semi-simple et ''S'' une algèbre simple sur ''A''.
:* ''Un morphisme de ''A'' dans ''L'' est soit nul soit [[Injection (mathématiques)|injectif]], un morphisme de ''L'' dans ''A'' est soit nul soit [[surjection|surjectif]], si de plus ''L'' est  simple alors un morphisme est soit nul soit [[bijection|bijectif]]. Si ''A'' est commutatif et si le [[polynôme minimal d'un endomorphisme|polynôme minimal]] du morphisme est scindé, les seuls morphismes de ''S'' dans ''S'' sont les [[homothétie]]s.''

La structure d'un morphisme d'algèbres semi-simples est donc aisée à comprendre, elle correspond à une somme directe d'[[automorphisme]]s de sous-algèbres simples et de morphisme nul.

===Décomposition canonique===
La décomposition d'une algèbre semi-simple en sous-algèbres simples n'est pas unique, pour obtenir une décomposition canonique, il est nécessaire de considérer la relation d'équivalence entre les sous-algèbres simples donnée par les [[isomorphisme]]s. Deux algèbres simples sont en relation si et seulement s'il existe un isomorphisme de module entre elles. Soit N&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; la somme des sous-algèbres d'une classe donnée. La décomposition suivante est canonique :
:* '' N&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; est la plus grande sous-algèbre ne contenant que des sous-algèbres simples isomorphes à ''S''&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; et toutes ses sous-algèbres sont isomorphes à ''S''&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;. ''L'' est somme directe des N&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;.''

:* Avec les notations précédentes les sous-algèbres N&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; sont appelées facteurs '''isotypiques''' de ''L''.
Si une algèbre ''L'' ne contient que des sous-algèbre simples isomorphes deux à deux, alors l'algèbre ''L'' est qualifiée d'isotypique.

Le [[théorème d'Artin-Wedderburn]] énoncé ci-dessous, permet d'aller plus loin dans la compréhension de la structure.
==Analyse des endomorphismes==
===Anneau simple===
Déterminons l'ensemble des endomorphismes dans un cas simple, celui de l'anneau A considéré comme un module sur lui-même. Un tel module est noté ici &lt;sub&gt;A&lt;/sub&gt;''A''. Une définition préalable est nécessaire :
:* L''''anneau opposé''' de ''A'' est l'anneau noté ici ''A''&lt;sup&gt;op&lt;/sup&gt; muni de la multiplication définie par :
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\forall a,b \in \mathbb A \quad a^{op}.b^{op}=ba\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
On dispose alors de la propriété suivante :
:* ''L'ensemble des endomorphismes du module &lt;sub&gt;A&lt;/sub&gt;''A'' est isomorphe à &lt;sub&gt;A&lt;/sub&gt;''A''&lt;sup&gt;op&lt;/sup&gt;.''
Ce qui revient à dire que les endomorphismes correspondent à l'anneau opposé de ''A''.

En effet, si &lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt; est un endomorphisme, il est entièrement déterminé par l'image de 1. En effet, si ''a'' est un élément de ''A'', alors son image est égal à ''a''. φ(1), l'égalité suivante permet de conclure :
&lt;center&gt;&lt;math&gt; \forall \varphi, \psi \in \mathcal L_{\mathbb A} (\mathbb A) \; \forall a \in \mathbb A\quad \varphi\circ\psi(a)=a \psi(1) .\varphi (1) \;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

La structure d'anneau des endomorphisme est général aux algèbres, dans le cas d'une algèbre simple, le lemme de Schur indique que l'endomorphisme est soit nul, soit inversible ce qui démontre la propriété suivante :
:* ''L'ensemble des endomorphismes d'une algèbre simple est un corps non nécessairement commutatif.''
Dans le cas où l'algèbre simple est défini sur un corps commutatif [[clôture algébrique|algébriquement clos]], les seuls automorphismes sont les [[homothétie]]s.
:* ''L'ensemble des endormorphismes d'une algèbre simple ''L'' sur un corps commutatif algébriquement clos ''K'' est isomorphe au centre de l'algèbre et à ''K''.''
Cette égalité s'écrit aussi : '''dim Hom&lt;sub&gt;K&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;L&lt;/sup&gt;(''L'', ''L'') = 1'''. Cette égalité signifie que l'algèbre sur le corps ''K'' des endomorphismes de ''L'' en tant qu'algèbre est de dimension 1.
===Algèbre simple===
Soit ''l'' un élément de ''L'' non nul, on utilise la définition et de la proposition suivante :
:* L'ensemble des éléments ''a'' de ''A'' tel que ''a''.''l'' est égal zéro est un idéal bilataire maximal, on l'appelle '''idéal annulateur''' de ''A'' car cet idéal est indépendant de l'élément ''l'' non nul choisi.''
Soit ''a'' un élément de l'idéal annulateur de ''l''. L'homothétie de rapport ''a'' possède un [[noyau (algèbre)|noyau]] non nul, le lemme de Schur indique alors que cette homothétie est l'application nulle. L'élément ''a'' annule tout élément de ''L'', les annulateurs des différents éléments non nuls de ''L'' sont donc tous égaux. Cette propriété montre aussi que l'ensemble des éléments annulant ''l'' est un idéal à droite. Si ''b'' est un élément de ''A'', alors ''b''.''a''.''l'' = ''b''.0 = 0, l'annulateur est donc aussi un idéal à gauche. Montrons enfin qu'il est maximal, pour cela il suffit de remarquer que tout élément hors de l'annulateur est inversible. C'est encore une conséquence directe du lemme de Schur. Il est donc inutile de considérer le cas d'une algèbre simple sur un anneau, il suffit d'étudier celui d'une algèbre simple sur un corps, en général gauche.

:* ''Le quotient de ''A'' par l'idéal annulateur est un corps inclus dans celui du corps opposé des endomorphismes d'une algèbre simple.''
Ce quotient est composée d'éléments qui s'identifient à des homothéties inversibles, ce sont donc bien des endomorphismes. Une algèbre simple sur un corps est la donnée d'un anneau ''L'' simple et d'un sous-corps du corps de l'opposé de l'algèbre des endomorphismes de ''L''. Pour cette raison, seules les algèbres simples sur un corps sont étudiées.
==Théorème d'Artin-Wedderburn==
{{Article détaillé|Théorème d'Artin-Wedderburn}}
===Enoncé du théorème===
[[Image:Wedderburn.jpeg|thumb|right|Joseph Wedderburn]]
Le théorème d'Artin-Wedderburn est au coeur de la structure de l'algèbre, il exprime de la manière suivante :
:* ''Un anneau semi-simple tel que tout idéal simple est de dimension finie sur son corps d'endomorphismes, est isomorphe à un produit d'algèbres d'endomorphismes de modules de dimension fini sur des corps à priori distincts et gauches.''
L'analyse des endomorphismes d'une algèbre simple montre que le théorème se généralise immédiatement aux algèbres semi-simples. Ainsi un algèbre simple correspond à un anneau d'endomorphismes de module sur un corps gauche, et une algèbre correspond à la même structure adjointe d'un sous-corps du corps gauche.

Réciproquement une généralisation d'un théorème de Burnside (cf paragraphe [[Théorème d'Artin-Wedderburn#Démonstration de Burnside|Démonstration de Burnside]] de l'article [[Théorème d'Artin-Wedderburn]]) montre que l'algèbre des endomorphismes d'un module sur un corps gauche adjointe de la multiplication externe naturelle sur un sous-corps du corps définissant le module est une algèbre simple. De plus, un produit fini d'algèbres simples est une algèbre semi-simple. La réciproque du théorème d'Artin-Wedderburn est donc vérifiée.

L'unicité de la structure est assurée par l'unicité de la décomposition d'un module semi-simple en facteurs isotypiques.

Dans le cas où ''A'' est un corps commutatif algébriquement clos, alors l'analyse précédente montre que les corps des algèbres des endomorphismes sont tous égaux à ''A''. On bénéficie alors de la proposition suivante :
:* ''Si ''A'' est un corps commutatif algébriquement clos et ''L'' une algèbre semi-simple de dimension finie ''n'', alors la dimension de chaque facteur isotypique est un carré parfait ''d''&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. De plus l'égalité suivante est vérifiée si ''h'' désigne le nombre de sous-algèbres simples incluses dans ''L'' :''
&lt;center&gt;&lt;math&gt;n=\sum_{i=1}^h d_i^2\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
En effet, si ''d''&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; est la dimension d'un module simple ''S''&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; de la ''i''-ième composante isotypique de ''L'', alors la ''i''-ième algèbre est celle des endomorphisme de l'espace vectoriel sous-jacent de ''S''&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;.

===Centre de l'algèbre===
Etudions le [[centre (algèbre)|centre]] de l'algèbre dans le cas où l'algèbre est définie sur un corps commutatif algébriquement clos. Soient (''L''&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) pour ''i'' variant de 1 à ''h'' la famille des sous-algèbres simples et ''c'' un élément du centre. Comme la famille des (''L''&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) forme une somme directe égale à ''L'', si l'on note ''p''&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; le projecteur sur ''L''&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; parallèlement à la somme directe des autres membres de la famille, on à l'égalité :
&lt;center&gt;&lt;math&gt; c = \sum_{ij \in [1, h]} c_{ij} \quad avec \quad \forall i,j \in [1,h] \quad c_{ij}= p_j\circ c\circ p_i \; &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Si ''i'' est différent de ''j'', alors ''c''&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; définit un morphisme de ''L''&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; dans ''L''&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt;. Le lemme de Schur indique qu'un tel morphisme est toujours nul. Si ''i'' est égal à ''j'', alors ''c''&lt;sub&gt;ii&lt;/sub&gt; correspond à un morphisme d'algèbre simple, c'est donc une homothétie d'un rapport à valeur dans ''K''. En conclusion :
:* ''Le centre de l'algèbre ''L'' est isomorphe à l'anneau somme directe d'autant de copies de ''K'' qu'il existe de sous-algèbres simples.''
Cette égalité s'écrit maintenant si ''h'' désigne le nombres de sous-algèbres simples de l'algèbre ''L'' et ''C'' son centre.
&lt;center&gt;&lt;math&gt;dim \, C = dim \;Hom_{\mathbb K}^L(L\, , \, L)= h \quad et \quad C\simeq Hom_{\mathbb K}^L(L\, , \, L) \simeq L^h&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

==Voir aussi==
{{algèbre commutative}}
===Liens externes===
* {{fr}} [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SHC/SHC_1950-1951__3_/SHC_1950-1951__3__A6_0/SHC_1950-1951__3__A6_0.pdf Théorie des algèbres simples] J.P. Serre Séminaire Henri Cartan
* {{fr}} [http://perso.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir/2005-06/g1/algcom-p6.pdf Algèbre commutative] A. Chambert-Loir
* {{en}} [http://www.math.umn.edu/~webb/RepBook/Ch1-8.pdf Finite group representation for the pure mathematician] Peter Webb
* {{fr}} [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SSL/SSL_1954-1955__1_/SSL_1954-1955__1__A10_0/SSL_1954-1955__1__A10_0.pdf Théorie des algèbres semi-simples] P. Cartier Séminaire Sophus Lie
===Références===
* {{Lang1}}
* N. Bourbaki, ''Algèbre commutative'' Chapitre VIII et IX Masson 1983

{{portail mathématiques}}

[[Catégorie : Algèbre commutative]]
[[Catégorie : Théorie des représentations]]
[[Catégorie : Structure externe]]

[[en:Semisimple module]]</text>
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