Analyse (mathématiques) 112184 27397884 2008-03-15T20:37:14Z Sherbrooke 18624 /* Sous-divisions */ Mettre en page. {{Voir homonymes|Analyse}} L''''analyse''' (du grec ''άναλύειν'') a pour point de départ la formulation rigoureuse du [[calcul infinitésimal]]. C'est la branche des mathématiques qui traite explicitement de la notion de limite, que ce soit la limite d'une suite ou la limite d'une fonction. Elle inclut également des notions comme la [[continuité]], la [[dérivation]] et l'[[Intégrale|intégration]]. Ces notions sont étudiées dans le contexte des nombres réels ou des nombres complexes. Cependant, elles peuvent aussi être définies et étudiées dans le contexte plus général des espaces topologiques ou métriques. == Histoire == {{Article détaillé|Histoire de l'analyse}} Dans l'[[Antiquité]] et au [[Moyen Âge]] respectivement, les mathématiciens grecs et indiens se sont intéressés à l'infinitésimal et ont obtenu des résultats prometteurs mais fragmentaires. Pour des raisons historiques, leurs successeurs immédiats ne purent bâtir sur ces acquis. L'analyse moderne a été fondée au {{XVIIe siècle}} avec le [[calcul infinitésimal]] de [[Isaac Newton|Newton]] et [[Gottfried Wilhelm von Leibniz|Leibniz]]. Au {{XVIIe siècle}}, les thèmes de l'analyse tels que le [[calcul infinitésimal]], les équations différentielles, les [[Équation aux dérivées partielles|équations aux dérivées partielles]], l'analyse de Fourier et les fonctions engendrées étaient principalement développés dans les travaux appliqués. Les techniques de calcul infinitésimal étaient utilisées avec succès pour approcher des problèmes du discret par des problèmes du continu. Tout au long du {{XVIIIe siècle}}, la définition de [[fonction (mathématiques)|fonction]] était un sujet de débat parmi les mathématiciens. Au {{XIXe siècle}}, [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] fut le premier à donner une fondation logique stricte du [[calcul infinitésimal]] en introduisant le concept de [[suite de Cauchy]]. Il commença aussi la théorie formelle de l'[[analyse complexe]]. [[Siméon Denis Poisson|Poisson]], [[Joseph Liouville|Liouville]], [[Jean Baptiste Joseph Fourier|Fourier]] et d'autres étudièrent les [[équations aux dérivées partielles]] et l'[[analyse harmonique (mathématique)|analyse harmonique]]. Au milieu du {{XIXe siècle}}, [[Bernhard Riemann|Riemann]] introduit sa théorie de l'intégration : l'[[intégrale de Riemann]]. Durant le troisième tiers du {{XIXe siècle}}, l'analyse se voit arithmétisée par [[Karl Weierstrass]] qui pensait que le raisonnement géométrique était en soi fallacieux, il introduit aussi la définition « ε-δ » des [[limite (mathématiques)|limite]]s. Puis les mathématiciens commencèrent à s'inquiéter du fait qu'ils supposaient sans preuve l'existence d'un continuum de [[Nombre réel|nombres réels]]. [[Richard Dedekind]] construit donc les nombres réels avec les coupures de Dedekind (voir ''[[Construction des nombres réels]]''). En même temps, les essais pour affiner les théorèmes de l'[[intégrale de Riemann]] ont mené à l'étude de la « taille » des ensembles discontinus de fonctions réelles. En outre, des « monstres mathématiques » (des fonctions continues nulle part, des fonctions continues mais dérivables nulle part, des courbes de remplissage d'espace) commencèrent à être créés. Dans ce contexte, [[Marie Ennemond Camille Jordan]] développa sa théorie sur la [[mesure (mathématiques)|mesure]]. [[Georg Cantor]] développa ce qu'on appelle aujourd'hui la [[théorie naïve des ensembles]]. Au début du {{XXe siècle}} le calcul infinitésimal se formalise par [[théorie axiomatique des ensembles]]. [[Henri Léon Lebesgue|Henri Lebesgue]] résolut le problème de [[mesure (mathématiques)|mesure]] et [[David Hilbert]] introduit les [[Espace de Hilbert|espaces de Hilbert]] pour résoudre les équations intégrales. L'idée d'[[espace vectoriel normé]] était très étudiée dans les [[Années 1920|années]] 1920 et [[Stefan Banach]] créa l'[[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]]. == Sous-divisions == Aujourd'hui l'analyse est divisée parmi les sous-thèmes suivants : *[[Analyse complexe]] : étude des fonctions du plan [[Nombre complexe|complexe]] qui sont dérivables sur l'ensemble des nombres complexes. *[[Analyse constructive]] : recherche d'énoncés et de démonstrations basés sur des principes constructifs et sur la notion d'existence effective. *[[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|Analyse fonctionnelle]] : étude des espaces des fonctions et introduction de concepts tels que les [[Espace de Banach|espaces de Banach]] et les [[Espace de Hilbert|espaces de Hilbert]]. *[[Analyse harmonique]] : étude des [[série de Fourier|séries de Fourier]] et de leurs abstractions. *[[Analyse numérique]] : résolution numérique de problèmes d'analyse tels que la résolution d'equations différentielles ([[méthode des éléments finis]]...), le [[calcul numérique d'une intégrale]] et l'[[optimisation (mathématiques)|optimisation]]. *[[Analyse réelle]] : étude rigoureuse et formelle des dérivées et des intégrales de fonctions à valeurs réelles. En incluant l'étude des [[limite]]s, des séries potentielles et des [[mesure (mathématiques)|mesure]]s. *[[Analyse non-standard]] : l'étude des nombres hyperréels et de leur fonctions. == Bibliographie == {{Wikiversity|Département:Analyse|Analyse}} * E. Hairer, G. Wanner, ''L'analyse au fil de l'histoire'', Springer, 2000. {{Domaines des mathématiques}} {{Portail mathématiques}} [[Catégorie:Analyse|*]] [[an:Analís matematico]] [[ar:تحليل رياضي]] [[az:Riyazi analiz]] [[ca:Anàlisi matemàtica]] [[co:Analisa]] [[cs:Matematická analýza]] [[cy:Dadansoddi]] [[da:Matematisk analyse]] [[de:Analysis]] [[el:Μαθηματική ανάλυση]] [[en:Mathematical analysis]] [[eo:Analitiko]] [[es:Análisis matemático]] [[fa:آنالیز ریاضی]] [[fi:Analyysi]] [[gd:Anailis matamataigeach]] [[gl:Análise matemática]] [[he:אנליזה מתמטית]] [[io:Analitiko]] [[it:Analisi matematica]] [[ja:解析学]] [[ka:მათემატიკური ანალიზი]] [[ko:해석학 (수학)]] [[la:Analysis]] [[lb:Analys (Mathematik)]] [[lij:Analixi Matematica]] [[lt:Matematinė analizė]] [[mk:Математичка анализа]] [[mt:Analisi Matematika]] [[nl:Analyse (wiskunde)]] [[pl:Analiza matematyczna]] [[pt:Análise matemática]] [[ro:Analiză matematică]] [[ru:Математический анализ]] [[simple:Mathematical analysis]] [[sk:Matematická analýza]] [[sl:Matematična analiza]] [[sq:Analiza matematike]] [[sr:Математичка анализа]] [[sv:Matematisk analys]] [[tk:Analiz]] [[tr:Matematiksel analiz]] [[uk:Математичний аналіз]] [[zh:数学分析]]