Analyse harmonique (mathématiques) 156633 31456198 2008-07-10T06:51:20Z Ir4ubot 296177 transition du param 2 vers le param date du modèle:sources {{sources|date=date inconnue}} {{Voir homonymes|Analyse harmonique (homonymie)}} L''''analyse harmonique''', ou '''analyse de Fourier''', est la branche des [[mathématiques]] qui étudie la représentation des fonctions ou des signaux comme superposition d'ondes de base. Elle approfondit et généralise les notions de [[série de Fourier]] et de [[transformée de Fourier]]. Les ondes de base s'appellent les harmoniques, d'où le nom de la discipline. Durant ces deux derniers siècles, elle a eu de nombreuses applications en physiques sous le nom d'[[analyse spectrale]], et connaît des applications récentes notamment en [[traitement du signal|traitement des signaux]], [[mécanique quantique]], [[neurosciences]], [[stratigraphie]]... L'analyse harmonique, historiquement liée au développement de la théorie des séries de Fourier, a reçu un ensemble de généralisations modernes, notamment grâce aux travaux de l'école russe de [[Guelfand]], qui la situe dans un contexte très général et abstrait: par exemple l'analyse harmonique sur les groupes de Lie. == Séries et transformées de Fourier == Les [[séries de Fourier]] visent à décomposer une [[fonction périodique]] comme une « somme infinie de fonctions trigonométriques » de fréquences multiples d'une [[fréquence fondamentale]]. Dans un premier temps, on procède à l'analyse du « contenu en fréquences », appelé [[Spectre (physique)|spectre]], de la fonction. Puis, suivant les hypothèses faites sur la fonction et le cadre d'analyse choisi, on peut disposer de théorèmes permettant de recomposer ''f''. Un bon cadre d'étude pour les séries de Fourier est celui des [[espace de Hilbert|espaces de Hilbert]], ce qui fournit un lien entre [[analyse harmonique]] et [[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]]. La [[transformation de Fourier]] généralise la théorie des [[séries de Fourier]] aux fonctions non périodiques, et permet de leur associer également un [[Spectre (physique)|spectre en fréquences]]. On cherche alors à décomposer une fonction quelconque en « somme infinie de fonctions trigonométriques » de toutes fréquences. Une telle sommation se présentera donc sous forme d'intégrale. La transformée de Fourier classique sur '''R<sup>n</sup>''' est encore un domaine de recherche actif, en particulier la transformation de Fourier sur des objets plus généraux comme les [[Distribution (analyse mathématique)|distributions tempérées]]. Par exemple, si nous imposons des contraintes à une distribution ''f'', nous pouvons les traduire sur sa transformée de Fourier. Le [[théorème de Paley-Wiener]] en est un exemple. Ce théorème a pour conséquence immédiate que si ''f'' est une distribution non nulle à support compact, alors sa transformée de Fourier n'est jamais à support compact. C'est une forme élémentaire des [[relation d'incertitude|relations d'incertitudes]] de [[Heisenberg]]. ==Analyse harmonique abstraite== L'une des branches les plus modernes de l'analyse harmonique, initiée au milieu du XXième siècle, est l'analyse sur les [[Groupe topologique|groupes topologiques]]. L'idée est que la transformation de Fourier peut être généralisée en une transformation des fonctions définies sur des [[Espace localement compact|groupes localement compacts]]. La théorie pour les [[Groupe abélien|groupes abéliens]] localement compacts est la [[dualité de Pontryagin]]. L'analyse harmonique étudie les propriétés de cette dualité et essaie de les étendre à d'autres structures, par exemple les [[Groupe de Lie|groupes de Lie]] non-abéliens. En général, pour les groupes non-abélien localement compacts, l'analyse harmonique est liée à la théorie des représentations des groupes unitaires. Pour les groupes compacts, le [[théorème de Peter-Weyl]] explique comment obtenir les harmoniques en choisissant une représentation irréductible dans chaque classe d'équivalence. Ce choix des harmoniques permet de profiter de certaines propriétés utiles de la transformation de Fourier qui transforme le produit de convolution en produit usuel et révèle la structure de groupe sous-jacente. Si le groupe n'est ni abélien ni compact, aucune théorie satisfaisante, c'est-à-dire équivalent au moins au [[théorème de Plancherel]], n'est à présent connue. Mais certains cas particuliers ont été étudiés, comme par exemple le [[groupe spécial linéaire]] ''SL<sub>n</sub>. Dans ce cas, les [[représentation]]s de dimension infinie jouent un rôle crucial. ==Pour aller plus loin== ===Article connexe=== * [[Analyse spectrale]] pour trouver le pendant en physique * [[Traitement du signal]] * [[Modèles de régression multiple postulés et non postulés]] ===Liens externes=== * {{fr}} [http://lsiwww.epfl.ch/LSI2001/teaching/physiciens/lecon06/lec6.html ''Introduction à l'analyse de Fourier''], cours sur le site du Laboratoire de traitement de signaux de l'[[École polytechnique fédérale de Lausanne]] * {{en}} [http://mathworld.wolfram.com/HarmonicAnalysis.html {{lang|en|''Harmonic Analysis''}}], définition sur le site [http://mathworld.wolfram.com MathWorld] ===Bibliographie=== * {{fr}} {{Ouvrage|auteurs=Claude Gasquet et Patrick Witomski|titre=Analyse de Fourier et applications : Filtrage, calcul numérique et ondelettes|éditeur=[[Dunod]]|année=2000|coll=Sciences Sup|isbn=2100050184}} * {{fr}} {{Ouvrage|auteurs=Claude Gasquet et Patrick Witomski|titre=Analyse de Fourier et applications|éditeur=[[éditions Masson|Masson]]|année=2004|isbn=2-225-82018-X}} * {{en}} {{Ouvrage|auteur=Elias M. Stein |titre={{lang|en|Harmonic Analysis}}|éditeur={{lang|en|[[Princeton University Press]]}}|isbn=0-691-03216-5|année=1993}} * {{en}} {{Ouvrage|auteurs=Thomas H. Wolff|dir=Izabella Aba et Carol Shubin|titre={{lang|en|Lectures on Harmonic Analysis}}|année=2003|éditeur={{lang|en|[[American Mathematical Society]]}}|isbn=0-821-83449-5}} * {{en}} {{Ouvrage|auteurs=Yitzhak Katznelson|titre={{lang|en|An introduction to harmonic analysis}}|éditeur={{lang|en|[[Cambridge University Press]]}}|année=2004|isbn=0-521-83829-0}} {{Portail mathématiques}} [[Catégorie:Analyse]] [[Catégorie:Analyse harmonique]] [[bg:Хармоничен анализ]] [[de:Fourieranalyse]] [[en:Harmonic analysis]] [[eo:Fourier-a analizo]] [[es:Análisis armónico]] [[it:Analisi di Fourier]] [[mt:Analisi Armonika]] [[nl:Fourieranalyse]] [[pl:Analiza harmoniczna]] [[pt:Análise harmónica]] [[ru:Гармонический анализ]] [[tr:Fourier analizi]] [[zh:傅立叶分析]]