Angle
50672
31549627
2008-07-13T17:59:45Z
Phe
3086
span id=
{{Voir homonymes|Angles}}
En [[géométrie]], la notion générale d''''angle''' se décline en plusieurs concepts apparentés.
Dans son sens ancien, l'angle est une figure plane, portion de [[Plan (mathématiques)|plan]] délimitée par deux [[Droite (mathématiques)|droite]]s [[Droite sécante|sécantes]]. C'est ainsi qu'on parle des angles d'un [[polygone]]. Cependant, l'usage est maintenant d'employer le terme « secteur angulaire » pour une telle figure. L'angle peut désigner également une portion de l'espace délimitée par deux plans ([[angle diédral]]). La mesure de tels angles porte couramment mais abusivement le nom d'angle elle aussi.
En un sens plus abstrait, l'angle est une [[classe d'équivalence]], c'est-à-dire un ensemble obtenu en assimilant entre eux tous les angles-figures identifiables par [[isométrie]]. L'une quelconque des figures identifiées est alors appelée représentant de l'angle. Tous ces représentants ayant même mesure, on peut parler de mesure de l'angle abstrait.
Il est possible de définir une notion d''''angle orienté''' en [[géométrie euclidienne]] du plan, ainsi que d'étendre la notion d'angle au cadre des [[espace préhilbertien|espaces vectoriels préhilbertiens]] ou des [[variété riemannienne|variétés riemanniennes]].
Le mot angle dérive du latin ''angulus'', le coin.
== L'angle comme figure du plan ou de l'espace ==
=== Secteur angulaire et angle ===
[[Image:Secteurs angulaires.png|right|frame|secteurs angulaires obtenus par intersection des demi-plans délimités par des droites sécantes]]
Un '''secteur angulaire''' est une figure plane obtenue par intersection ou réunion de deux demi-plans délimités par des [[droite (mathématiques)|droites]] sécantes ou confondues.
L''''angle''' d'un secteur angulaire est le nombre réel positif qui mesure la proportion du plan occupée par le secteur angulaire. Les [[unité]]s utilisées pour le quantifier sont le [[radian]], le [[quadrant]] et ses subdivisions le [[Degré (angle)|degré]], ses [[Sous-unités du degré|sous-unités]] et le [[Grade (angle)|grade]]. Les angles sont fréquemment notés par une lettre grecque minuscule, par exemple α, β, θ, ρ... Lorsque l'angle est au sommet d'un [[polygone]] et qu'il n'y a pas d'ambiguïté, on utilise alors le nom du sommet surmonté d'un chapeau, par exemple ''Â''.
L'angle peut aussi s'interpréter comme l'ouverture du secteur angulaire, c'est-à-dire la « vitesse » à laquelle s'éloignent les droites l'une de l'autre lorsque l'on s'éloigne du point d'intersection. C'est la mesure de l'inclinaison d'une droite par rapport à l'autre.
=== Valeur d'un angle ===
<!--c'est à réécrire complètement mais ce n'est pas aussi simple que c'a en a l'air
[[Image:radian definition.png|right|frame|Définition du radian, unité de mesure de l'angle]]
En mathématiques, la valeur de l'angle formé par deux droites sécantes d'un plan euclidien ...
Il y a en réalité deux angles : l'angle ''aigu'' (qui a la plus petite valeur) et l'angle ''obtu'' (ou bien deux angles ''plats'', en cas d'égalité).
Dans un contexte plus large, on définit l'angle à l'intersection de deux courbes en se ramenant au plan tangent définit par les tangents aux courbes au point d'intersection.
Cette valeur de l'angle correspond en physique à une mesure en radians.
Le [[radian]] est l'unité internationale de mesure des angles.
Cependant ...
-->
[[Image:angle definition.png|left|frame|Définition des angles par la proportion d'une portion de disque centré sur l'intersection des droites]] Pour évaluer cet angle, cette « proportion de surface », on prend un disque centré au point d'intersection, et on effectue le rapport entre l'[[superficie|aire]] de la portion de disque interceptée par le secteur angulaire et l'aire totale du disque. On peut montrer que cela revient également à faire le rapport entre la longueur de l'arc intercepté et la circonférence du cercle ; cette valeur inférieure à 1 est appelée '''nombre de tour'''. La valeur 1/4 (quart de tour) correspond au [[quadrant]].
Une unité couramment utilisée est le [[Degré (angle)|degré]], qui consiste à subdiviser le quadrant en 90 parts égales. Le tour complet correspond donc à 360 degrés. La minute d'arc est un sous-multiple du degré, égale à 1/60 de degré. De même, la seconde d'arc est égale à 1/60 de la minute d'arc, soit 1/3600 de degré. On utilise plus rarement le [[grade_(angle)|grade]], qui correspond à une subdivision centésimale du quadrant.
[[Image:radian definition.png|right|frame|Définition du radian, unité de mesure de l'angle]]
L'unité internationale de mesure des angles est cependant le [[radian]], défini comme le rapport entre la longueur de l'arc intercepté et le rayon du cercle. Le tour complet correspond donc à <math>2\pi </math> radians.
Les angles peuvent être calculés à partir des longueurs des côtés de [[polygone]]s, notamment de [[triangle]]s, en utilisant la [[trigonométrie]].
Dans certains cas, les angles sont exprimés par leur [[fonction trigonométrique|tangente]]. Par exemple, une pente est exprimée en [[pourcent]], c'est le nombre de mètres que l'on monte (ou descend) lorsque l'on parcourt 100 m par rapport à l'horizontale ; si α est l'angle entre la droite de plus grande pente et l'horizontale, alors la pente en % est égale à 100×tan(α). En [[vol à voile]] ([[aéronautique]]), la [[Finesse (aérodynamique)|finesse]] d'une voile est le nombre de mètres dont on descend lorsque l'on a parcouru 100 m horizontalement (en absence de vent) ; il s'agit également de cent fois la tangente de la pente.
L'unité de mesure des angles utilisée principalement par les militaires est le [[millième]]. Il est l'angle sous lequel on voit 1 mètre à 1 kilomètre. 6400 millièmes correspond à 2π radians ou 360 degrés.
« Sur le terrain », les angles peuvent être mesurés avec un appareil appelé [[goniomètre]] ; il comporte en général une règle courbe graduée en degrés, appelée [[rapporteur]].
{{clr}}
=== Nom des angles ===
Les angles correspondant à un nombre entier de quadrants portent un nom particulier
<center>
{| border
|+ <small>''Valeur des angles particulier dans les diverses unités''</small>
|-----
! angle
! nombre de tour
! nombre de quadrants
! radians
! degré
! grade
|-----
| tour complet || 1 tour || 4 quadrants || 2π rad
| 360 ° || 400 gr
|-----
| angle plat || 1/2 tour || 2 quadrants || π rad
| 180 ° || 200 gr
|-----
| angle droit || 1/4 de tour || 1 quadrant || π/2 rad
| 90 ° || 100 gr
|-----
| angle nul || 0 tour || 0 quadrant || 0 rad
| 0 ° || 0 gr
|-----
|}</center>
L'angle droit est obtenu en considérant deux droites qui divisent le plan en quatre secteurs égaux. De telles droites sont dites « [[orthogonalité|orthogonales]] » ou « perpendiculaires ».
[[Image:angles particuliers.png|right|frame|Définition des angles droit, plat, complémentaires et supplémentaires]]
Les qualificatifs suivant sont employés pour les angles prenant des valeurs intermédiaires entre ces valeurs remarquables
*l'angle '''rentrant''' est un angle supérieur à l'angle plat ;
*l'angle '''saillant''' est un angle inférieur à l'angle plat ;
*un angle saillant est '''obtus''' lorsqu'il est supérieur à l'angle droit ;
*il est '''aigu''' lorsqu'il est inférieur à l'angle droit.
Pour qualifier les valeurs relatives de deux angles, on emploie les expressions suivantes :
* deux angles sont '''complémentaires''' quand leur somme fait <span id="Complement">90°</span> ; si deux angles sont complémentaires, chacun est dit être le '''complément''' de l'autre ;
* deux angles sont '''supplémentaires''' quand leur somme fait <span id="Supplément">180°</span>.
On emploie encore d'autres expressions pour qualifier la position des angles sur une figure, c'est-à-dire plus justement, la position relative de secteurs angulaires.
* Deux secteurs angulaires sont '''opposés par le sommet''', lorsqu'ils ont le même sommet et que les côtés de l'un sont dans le prolongement de ceux de l'autre. Dans ce cas les angles correspondants sont égaux.
* Deux secteurs angulaires sont '''adjacents''' lorsqu'ils ont le même sommet, un côté commun, et que leur intersection est égale à ce côté commun. Les angles s'ajoutent lorsqu'on considère la réunion de ces secteurs.
* Les angles [[Angles alterne-externe|alternes-externes]] et les angles [[Angles alterne-interne|alternes-internes]] concernent des droites parallèles coupées par une sécante.
'''Remarque''' : deux angles complémentaires ou supplémentaires ne sont pas nécessairement adjacents :
Par exemple, dans un triangle ABE [[triangle rectangle|rectangle]] en B, les angles  et Ê sont complémentaires.
Par extension, on définit également les angles entre des demi-droites, des segments de droite et des [[vecteur]]s, en prolongeant les droites portant ces objets jusqu'à leur intersection. La définition par des demi-droites ou des vecteurs permet de lever l'indétermination entre les angles supplémentaires, c'est-à-dire de définir sans ambiguïté quel secteur angulaire utiliser pour définir l'inclinaison des directions.
== Angle géométrique ==
Un '''angle géométrique''' est un objet mathématique pouvant être représenté par un secteur angulaire. On peut l'interpréter de plusieurs façons : divergence entre deux directions, directions des faces d'un objet (coin), direction visée par rapport au nord (angle donné par une boussole)…
:<math>\widehat{BAC}</math> est un angle géométrique.
On a par ailleurs :
:<math>\widehat{BAC} = \widehat{CAB}</math>
On confond fréquemment « mesure de l'angle » et « angle ». Ainsi par exemple un angle « plat » est appelé abusivement angle « égal » à 180.
Cet abus est appliqué largement et volontairement dans la suite de cet article.
D'autre part un angle droit par exemple, peut être représenté par plusieurs secteurs angulaires différents, mais comme ils sont tous « superposables », ils représentent tous le même angle. En mathématiques on parle de « classe d'équivalence ».
Ce problème se pose aussi lorsqu'on essaie de distinguer « fraction » et « rationnel ».
== Angles orientés dans le plan ==
Si le plan est [[orientation (mathématiques)|orienté]], alors les angles peuvent être positifs ou négatifs selon le sens dans lequel ils « tournent ».
:<math>(\vec{AB},\vec{AC})</math> est un angle orienté.
Par convention, on oriente le plan dans le [[Sens trigonométrique|sens dit « trigonométrique »]], c'est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (ou « sens anti-horaire »). Si l'on considère deux demi-droites ou vecteurs, alors l'ordre dans lequel on cite les demi-droites ou les vecteurs définit le sens de l'angle, donc son signe ; ainsi :
:<math>(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) = - (\widehat{\vec{v},\vec{u}})</math>
<center>[[Image:angles orientes.png|frame|Angles orientés : l'orientation du plan permet de donner un signe à l'angle ; l'illustration souligne l'égalité en alpha et alpha-2π]]</center>
Les angles sont définis à un nombre entier de tours près. Ainsi, le plan complet peut être défini par un tour complet dans le sens positif, deux tours complets dans le sens positif, un tour complet dans le sens négatif... En radians, on dit que les angles sont définis '''à 2π près''' (« à deux pi près »). Par exemple, si l'angle α est droit de sens direct, il est noté :
:<math>\alpha = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}</math>
ou bien
:<math>\alpha \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]</math>
Cette dernière notation se lit : « alpha est [[congruence|congru]] à pi sur deux [[modulo]] deux pi ».
On remarque notamment que pour deux demi-droites (ou deux vecteurs) données, le fait de choisir la « petite » ou la « grande » portion de plan importe peu, puisque α ≡ α -
2π (cf. illustration ci-dessus).
{{clr}}
=== Angles de vecteurs ===
Les angles sont définis à partir de classes d'équivalence de la manière suivante :<br />
Dans le plan euclidien usuel (normé), on définit les isométries, transformations du plan conservant la norme des vecteurs. Les isométries ont un déterminant égal à 1 ou à -1.
Les isométries de déterminant 1 (dites « positives ») transforment un vecteur unité (de norme 1) en un autre vecteur unité. Pour un couple de vecteurs unités <math>(\vec{u}, \vec{v})</math> donné, il existe une isométrie positive ''f'' transformant <math>\vec{u}</math> en <math>\vec{v}</math>, on a
:<math>\vec{v} = f(\vec{u})</math>.
Soit une autre isométrie positive ''g'' et <math>\vec{u'}</math> et <math>\vec{v'}</math> deux autres vecteurs tels que
:<math>\vec{u'}=g(\vec{u})</math> et <math>\vec{v'} = g(\vec{v})</math>.
Nous pouvons démontrer que
:<math>\vec{v'} = f(\vec{u'})</math>
et que l'ensemble des couples de vecteurs unités <math>(\vec{u''}, \vec{v''})</math> vérifiant
:<math>\vec{v''} = f(\vec{u''})</math>
est une classe d'équivalence sur ''f'', chaque isométrie ''f'' détermine une classe d'équivalence.
Nous appelons '''angle θ''' la '''classe d'équivalence''' de ce couple, l'isométrie associée est la rotation d'angle θ.
''Définition à revoir, à compléter et à illustrer''
== Angles dans l'espace ==
Deux droites sécantes sont nécessairement coplanaires, donc l'angle entre les droites est défini dans ce plan, de la même manière que ci-dessus. Pour [[orientation (mathématiques)|orienter]] le plan, on choisit un vecteur normal au plan : le plan est alors orienté dans le sens trigonométrique lorsque le vecteur normal pointe vers l'observateur. Si l'on a défini une base <math>(\vec{i},\vec{j})</math> dans ce plan, alors on choisit pour vecteur normal <math>\vec{i}\wedge\vec{j}</math>.
[[Image:angle orientation plan.svg|206px|orientation d'un plan par un vecteur normal]]<br />
<small>''Orientation d'un plan par un vecteur normal''</small>
Pour définir l'angle entre deux plans, on considère l'angle que font leurs vecteurs normaux.
Pour définir l'angle entre un plan et une droite, on considère l'angle α entre la droite et sa projection orthogonale sur le plan, ou encore l'angle complémentaire entre la droite et la normale au plan : on retranche l'angle β entre la droite et la normale au plan de l'angle droit (α = π/2 - β en radians).
Pour définir l'angle entre deux droites quelconques de l'espace, on considère l'angle que font leurs vecteurs directeurs (dont le cosinus est égal au produit scalaire de ces vecteurs unitaires), ou encore l'angle planaire que fait une des deux droites avec une quelconque parallèle à l'autre qui la coupe. Cet angle est définit modulo les mêmes choix d'orientation évoqués ci-dessus.
On définit également les [[angle solide|angles solides]] : on prend un point (parfois appelé « point d'observation ») et une surface dans l'espace (la « surface observée »), l'angle solide est la proportion de l'espace délimitée par le [[cône (géométrie)|cône]] ayant pour sommet le point considéré et s'appuyant sur le contour de la surface. L'unité est le [[stéradian]] (sr en abrégé), l'espace complet fait 4π sr.
== Usage des angles ==
* En [[géodésie]] ([[géographie]])
** [[azimut]] : angle par rapport à l'axe Nord-Sud sur un plan contenant cet axe et le point visé, compté par rapport au Nord compté dans le sens des aiguilles d'une montre ;
** [[latitude]] : angle que fait une verticale partant d'un point et allant au centre de la terre par rapport au plan de l'équateur ; les points ayant la même latitude forment un cercle<ref name="terre">on suppose ici que la Terre est sphérique, ce qui n'est pas tout à fait vrai : sa forme générale est légèrement aplatie aux deux pôles, et sa surface présente des aspérités (fosses océaniques, montagnes)</ref> appelé « parallèle »
** [[longitude]] : angle permettant de se repérer sur Terre : angle que fait le plan contenant l'axe Nord-Sud et le point considéré (appelé « plan méridien ») avec un plan de référence contenant aussi l'axe Nord-Sud ; l'intersection d'un plan méridien avec la surface de la Terre est un demi grand-[[cercle]] <ref name="terre" /> appelé ''[[méridien]]'' ; le méridien de référence est le ''méridien de Greenwich''
**[[Navigation astronomique|droite de hauteur]] : position d'un point calculé (comprenant azimuth et différence angulaire) par rapport à un point estimé
* En [[astronomie]]
** [[azimut]] (ou azimuth) : lorsque l'on vise un point depuis le centre de la Terre, angle par rapport à l'axe Nord-Sud sur un plan contenant cet axe et le point visé, compté par rapport au Sud
** [[diamètre apparent]] : angle sous lequel on voit un objet ou un astre
** [[distance zénithale]] : angle entre la verticale et le point visé
** [[hauteur]] : angle entre l'horizontale et le point visé
** [[parallaxe]] : angle formé par le regard d'une personne qui fixe un point quelconque d'un objet et son changement de position
**[[nadir]] : angle droit vers le bas verticalement par rapport au tour de l'horizon de l'observateur
**[[Zénith (astronomie)|zénith]] : angle droit vers le haut verticalement par rapport au tour de l'horizon de l'observateur
: Par ailleurs, la notion d'angle permet de définir une unité de longueur, le [[parsec]]
* En [[optique géométrique]]
** angle d'incidence : angle entre un vecteur et le vecteur de la surface, par exemple en [[Réflexion (physique)|réflexion]] et en [[réfraction]], angle entre un rayon lumineux et la normale à la surface d'un dioptre
** parallaxe
* En [[aérodynamique]] :
** [[angle d'attaque]]
** [[Assiette (navigation)|assiette]]
* En [[balistique]]
** [[hausse]]
*[[Angle mort]]
<references />
== Voir aussi ==
{{Wiktionnaire|angle|angle}}
* [[Angle (télédétection)]]
* [[Trièdre|Angle trièdre]]
* [[Coordonnées polaires]]
* [[Géométrie euclidienne]]
* [[Géométrie vectorielle]]
* [[Orientation]]
* [[Trigonométrie]]
* [[Bissectrice]]
* [[Théorème de la bissectrice]]
* [[Cercle unité]]
* [[Système de coordonnées équatoriales]]
[[Catégorie:Angle|*]]
[[Catégorie:Trigonométrie]]
[[catégorie:Mesures en géométrie]]
[[Catégorie:Grandeur physique]]
{{Angles remarquables}}
{{portail mathématiques}}
{{Lien AdQ|nl}}
[[af:Hoek (meetkunde)]]
[[als:Winkel (Geometrie)]]
[[ar:زاوية(هندسة)]]
[[ast:Ángulu]]
[[ay:K'uchu]]
[[az:Bucaq]]
[[be-x-old:Кут]]
[[bg:Ъгъл]]
[[bn:সমকোণ]]
[[bs:Ugao]]
[[ca:Angle]]
[[cs:Úhel]]
[[da:Vinkel]]
[[de:Winkel]]
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[[es:Ángulo]]
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