Approximation de lubrification 332084 30751869 2008-06-18T09:29:26Z Flo 37867 centrage des formules, liens Lorsqu'un liquide est fortement confiné entre deux surfaces, c'est-à-dire que l'épaisseur de liquide est très faible devant les dimensions transversales des parois confinantes, il est possible de simplifier fortement l'[[équation de Navier-Stokes]] qui gouverne son écoulement : c'est l' '''approximation de lubrification''', qui permet en particulier de décrire l'écoulement du liquide dans les contacts lubrifiés. En effet, si <math>e \ll L</math> (où <math>e</math> est l'épaisseur moyenne entre les parois, et <math>L</math> est la dimension transversale caractéristique des parois), alors : * la composante de la vitesse parallèle aux parois est très grande devant la composante perpendiculaire, que l'on peut négliger ; * la vitesse varie essentiellement dans la direction perpendiculaire aux parois : on peut donc négliger les dérivées de la vitesse par rapport aux coordonnées parallèles aux parois devant les dérivées par rapport à la coordonnée perpendiculaire ; * on peut considérer que la pression est constante dans la direction perpendiculaire aux parois. Un aspect essentiel de cette approximation est que l'on peut négliger le terme inertiel -retrouvant ainsi l'[[équation de Stokes]]- lorsque <math>Re \ll (L/e)</math> (où <math>Re</math> est le [[nombre de Reynolds]] associé à l'écoulement), condition beaucoup moins restrictive que la condition habituelle <math>Re \ll 1</math> dès lors que <math>L</math> est très grand devant <math>e</math>. == Demonstration == On rappelle l'[[équation de Navier-Stokes]] pour un fluide [[fluide|newtonien]] [[fluide incompressible|incompressible]] (bonne approximation pour les liquides) : <center><math> \frac{ \partial \vec{v} }{ \partial t } + \left(\vec{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\right)\vec{v} = - \frac{1}{\rho}\,\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,p + \nu \Delta\,\vec{v} </math>, </center> où : <math>\vec{v} (\vec{r},t)</math> est la vitesse du fluide ; <math> p (\vec{r},t)</math> est la [[pression]] dans le fluide ; <math> \rho </math> est la masse volumique du fluide ; <math> \nu </math> est la [[viscosité]] cinématique du fluide ; <math> t </math> représente le [[temps]] ; <math> \overrightarrow{\mathrm{grad}}</math> et <math>\Delta</math> sont respectivement les [[analyse vectorielle|opérateurs différentiels]] [[gradient]] et [[laplacien]]. Dans le cas d'un écoulement laminaire parfaitement parallèle (par exemple dans une conduite cylindrique), le terme inertiel présent dans l'équation de Navier-Stokes est rigoureusement nul : <center><math>\left(\vec{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\right)\vec{v} = \vec{0}</math>.</center> Dans le cas d'un écoulement permanent, c'est-à-dire invariant dans le temps, la dérivée temporelle de la vitesse s'annule et on retrouve alors l'[[équation de Stokes]], et ce quelle que soit la valeur du [[nombre de Reynolds]]. Lorsque les parois et donc l'écoulement ne sont pas tout à fait parallèles, dans quelle mesure est-il possible de négliger tout de même le terme inertiel ? [[Image:Lubrification.png|thumb|300px|Schéma d'un écoulement fortement confiné]] Considérons un liquide fortement confiné entre deux parois, comme représenté sur la figure ci-contre. Afin de simplifier cette étude, on se restreint à un écoulement à deux dimensions (le résultat reste valable pour un écoulement à trois dimensions). On peut projeter l'équation de Navier-Stokes sur les axes <math>Ox</math> et <math>Oy</math> : <center><math> \frac{ \partial v_x }{ \partial t } + \left( v_x \frac{ \partial v_x }{ \partial x } + v_y \frac{ \partial v_x }{ \partial y } \right) = - \frac{1}{\rho}\,\frac{ \partial p }{ \partial x } + \nu \left( \frac{ \partial^2 v_x }{ \partial x^2 } + \frac{ \partial^2 v_x }{ \partial y^2 } \right) </math><br> <math> \frac{ \partial v_y }{ \partial t } + \left( v_x \frac{ \partial v_y }{ \partial x } + v_y \frac{ \partial v_y }{ \partial y } \right) = - \frac{1}{\rho}\,\frac{ \partial p }{ \partial y } + \nu \left( \frac{ \partial^2 v_y }{ \partial x^2 } + \frac{ \partial^2 v_y }{ \partial y^2 } \right) </math></center> On note <math>e</math> l'épaisseur moyenne entre les parois, et <math>L</math> l'échelle de variation typique de l'épaisseur (par exemple : taille du contact lubrifié ou période caractéristique de la rugosité des surfaces). On suppose que <math>e</math> est très petit devant <math>L</math> : <math>e \ll L</math>. D'autre part, on note <math>\alpha</math> l'angle formé par les deux surfaces confinant le liquide. Pour un angle petit, on peut écrire : <center><math>\alpha\,\sim \tan \alpha</math>. </center> En remarquant que les variations de l'épaisseur sont inférieures ou de l'ordre de l'épaisseur elle-même, il vient finalement : <center><math>\alpha\,\sim \tan \alpha \sim \Delta e / L \sim e/L</math>.</center> On peut alors estimer l'ordre de grandeur des termes présents dans l'équation de Navier Stokes. En notant <math>U</math> la vitesse typique (vitesse moyenne) du liquide parallèlement aux parois et en remarquant que l'inclinaison des lignes de courant est de l'ordre de l'angle <math>\alpha</math>, on peut estimer l'ordre de grandeur des composantes de la vitesse : * <math>v_x\ \sim\ U</math> ; * <math>v_y\ \sim\ U \tan \alpha\ \sim\ U(e/L)</math>. Si l'épaisseur <math>e</math> est très petite devant la longueur <math>L</math>, on pourra donc négliger <math>v_y</math> devant <math>v_x</math>. Ainsi, dans l'équation de Navier-Stokes, les termes faisant intervenir <math>v_y</math> seront négligeables devant ceux faisant intervenir <math>v_x</math>. La projection sur O<math>y</math> de l'équation de Navier-Stokes se simplifie alors fortement : <center><math>\frac{ \partial p }{ \partial y } = 0</math>, </center> indiquant que la variation de pression dans la direction perpendiculaire aux parois peut être négligée. D'autre part l'échelle de variation de la vitesse perpendiculairement aux parois sera imposée par l'épaisseur <math>e</math> entre celles-ci. La dérivée de la vitesse par rapport à <math>y</math> sera donc de l'ordre de la valeur typique de la vitesse sur la longueur de variation typique, soit : <center><math>\frac{\partial v_x}{\partial y} \sim \frac{U}{e}</math>.</center> De même, l'échelle de variation de la vitesse parallèlement aux parois sera <math>L</math> et : <center><math>\frac{\partial v_x}{\partial x} \sim \frac{U}{L}</math>.</center> En suivant la même démarche, on peut estimer les dérivées secondes de la vitesse selon <math>y</math> : <center><math>\frac{\partial^2 v_x}{\partial y^2} \sim \frac{U}{e^2}</math> ; </center> et selon <math>x</math> : <center><math>\frac{\partial^2 v_x}{\partial x^2} \sim \frac{U}{L^2}</math>.</center> A partir de ces estimations, il est possible de comparer les amplitudes des différents termes intervenants dans l'équation de Navier-Stokes. On remarque tout d'abord que dans le terme visqueux, la dérivée seconde de la vitesse par rapport à <math>x</math>, de l'ordre de <math>U/L^2</math>, sera négligeable devant la dérivée seconde par rapport à <math>y</math>, de l'ordre de <math>U/e^2</math>, lorsque <math>e</math> est très petit devant <math>L</math>. Le terme visqueux se réduit alors à : <center><math>\nu \frac{ \partial^2 v_x }{ \partial y^2 } \sim \nu \frac{U}{e^2}</math>.</center> Les deux composantes du terme inertiel seront par contre du même ordre de grandeur : * <math>v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} \sim U \frac{U}{L} \sim \frac{U^2}{L}</math> ; * <math>v_y \frac{\partial v_x}{\partial y} \sim U(e/L) \frac{U}{e} \sim \frac{U^2}{L}</math>. Le terme inertiel sera donc négligeable devant le terme visqueux lorsque : <center><math>\frac{U^2}{L} \ll \nu \frac{U}{e^2}</math>, soit : <math>\frac{Ue}{\nu} \ll \frac{L}{e}</math>.</center> On reconnait dans le premier membre le nombre de Reynolds associé à l'écoulement. La condition de validité de l'approximation de lubrification s'écrit donc : <center><math>Re \ll \frac{L}{e}</math>, avec <math>e \ll L</math>.</center> En régime permanent, l'écoulement du liquide est finalement gouverné par le jeu d'équations suivant : * <math>\eta \frac{\partial^2 v_x}{\partial y^2} = \frac{\partial p}{\partial x}</math>; * <math>\frac{\partial p}{\partial y} = 0</math>; == Bibliographie == *{{en}} G.K. Batchelor, ''An Introduction to Fluid Dynamics'' [« Introduction à la dynamique des fluides »], Cambridge University Press, 1967. *{{fr}}E. Guyon, J.-P. Hulin, L. Petit, ''Hydrodynamique physique'', CNRS Editions - EDP Sciences, 2{{e}} éd. (1{{re}} éd. 1991), 2001. [[Catégorie:Mécanique des fluides]]