Arithmétique
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2008-07-18T18:42:30Z
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L''''arithmétique''' est une branche des [[mathématiques]] qui comprend la partie de la [[théorie des nombres]] qui utilise des méthodes de la [[géométrie algébrique]] et de la [[théorie des groupes]]. On l'appelle plus généralement la {{citation|science des nombres}}. Son étymologie provient du mot [[Grec ancien|grec]] {{citation|αριθμός}} qui signifie « nombre ».
Autrefois, l'arithmétique se limitait à l'étude des propriétés des [[Entier naturel|entiers naturels]], des [[Entier relatif|entiers relatifs]], et des [[Nombre rationnel|nombres rationnels]] (sous forme de [[fraction]]s), et aux propriétés des opérations sur ces [[nombre]]s.
Les ''opérations arithmétiques'' traditionnelles sont l'[[addition]], la [[division]], la [[multiplication]], et la [[soustraction]].
Cette discipline fut ensuite élargie par l'inclusion de l'étude d'autres nombres comme les [[Nombre réel|réels]] (sous forme de [[développement décimal]] illimité), ou même de concepts plus avancés, comme l'[[Exponentielle|exponentiation]] ou la [[racine carrée]].
== Histoire ==
Les premières traces d'opérations arithmétiques sont retrouvées en [[Afrique]], en {{formatnum:18000}} av. J.-C. sur [[l'Os d'Ishango]]. Cet os aurait été entaillé afin d'effectuer des additions et des soustractions.
Dans l'école pythagoricienne ([[Pythagore]] de [[Samos]]), à la deuxième moitié du {{VIe siècle}} avant J.-C., l'arithmétique était, avec la [[géométrie]], l'[[astronomie]] et la [[musique]], une des quatre sciences quantitatives ou mathématiques (''Mathemata''). Celles-ci furent regroupées au sein des sept [[arts libéraux]] par [[Martianus Capella]] (V{{e}} siècle), et plus précisément désignées sous le nom de ''[[quadrivium]]'' par [[Boèce]]. Les trois autres disciplines étaient littéraires ([[grammaire]], [[rhétorique]], [[dialectique]]) et firent l'objet des travaux de [[Cassiodore]] et, plus tard, [[Alcuin]] qui leur donna le nom de ''[[trivium]]''.
== Arithmétique élémentaire ==
L’'''arithmétique élémentaire''' est la forme la plus basique des [[mathématiques]], apprise à l’[[école élémentaire]].
Il s’agit essentiellement de l’étude des [[nombre]]s, et des opérations élémentaires ([[soustraction]], [[addition]], [[division]], [[multiplication]]).
== Ensembles utilisés en arithmétique ==
La totalité des [[nombre]]s ont été regroupés dans des [[ensemble]]s. Les plus connus sont :
* <math>\mathbb{N}</math> : l'ensemble des [[Entier naturel|entiers naturels]] (<math>0;\,1;\, 2;\, 3;\, 4;</math> etc.)
* <math>\mathbb{Z}</math> : l'ensemble des [[Entier relatif|entiers relatifs]] (<math>-12;\, -2;\, 0 ;\, 5;\, 6;</math> etc.)
* <math>\mathbb{D}</math> : l'ensemble des nombres décimaux, c'est-à-dire qui s'écrivent avec un nombre fini de décimales <math>\left ( -\frac{1}{2};\, 6,36;\, 0;\, 25;\mbox{ etc.}\right)</math>.
* <math>\mathbb{Q}</math> : l'ensemble des [[Nombre rationnel|nombres rationnels]], c'est-à-dire des nombres pouvant s'écrire comme la fraction de deux décimaux; le nombre de décimales peut être infini mais doit être périodique. <math>\left({1\over3};\, -{5\over13};{22\over7}\mbox{ etc.}\right)</math>.
* <math>\mathbb{R}</math> : l'ensemble des [[nombre réel|nombres réels]], c'est-à-dire ceux dont la [[partie imaginaire]] est nulle (<math>\pi</math>, le nombre d'or, <math>\sqrt 2</math>)
* <math>\mathbb{C}</math> : [[nombre complexe|nombres complexes]] qui regroupent tous les nombres, qu’ils soient réels, imaginaires, ou une combinaision des deux.
Certains de ces ensembles sont des [[sous-ensemble]]s des autres ; Tous les éléments de <math>\mathbb{N}</math> appartiennent aussi à <math>\mathbb{Q}</math>, par exemple. Mais à l'inverse, un élément de <math>\mathbb{Q}</math> n'est pas forcément élément de <math>\mathbb{N}</math>. On peut représenter ces ensembles par des cercles concentriques: le plus petit est <math>\mathbb{N}</math>, puis viennent <math>\mathbb{Z}</math>, <math>\mathbb{D}</math>, <math>\mathbb{Q}</math>, <math>\mathbb{R}</math> et <math>\mathbb{C}</math>.
Il est possible de ne considérer qu'une partie d'un ensemble. Ainsi, on notera <math>\mathbb{R^+}</math> l'ensemble des nombres positifs de <math>\mathbb{R}</math>. De même on notera <math>\mathbb{R^*}</math> l'ensemble <math>\mathbb{R}</math> privé de 0. On remarque entre autre que <math>\mathbb{Z^+}\,=\,\mathbb{N}</math> et que <math>\mathbb{Z} \backslash \mathbb{N}\,=\,\mathbb{Z^{-*}}</math> (il s'agit de <math>\mathbb{Z}</math> « privé de » <math>\mathbb{N}</math>.)
== Propriétés ==
De nombreux nombres entiers ont des propriétés particulières. Ces propriétés font l'objet d'une théorie appelée [[Théorie des nombres]]. Parmi ces nombres particuliers les nombres premiers sont sans doute les plus importants.
===Nombres premiers===
C'est le cas des nombres dits premiers. Ce sont des éléments de <math>\mathbb{N}</math> possédant uniquement deux diviseurs positifs distincts, à savoir 1 et eux-même. Les premiers nombres premiers sont 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29 etc.
1 n'est pas premier car il n'a pas 2 diviseurs distincts, mais un seul.
Il existe une infinité de nombres premiers.
En complétant une grille de taille 10<math>\times</math>10 avec les 100 premiers entiers non nuls, et en rayant ceux qui ne sont pas premiers, on obtient les nombres premiers appartenant à <math>\{ 1,\ldots 100 \}</math> par un procédé appelé un crible d'[[Eratosthène]], du nom du savant grec qui l'inventa.
===Nombres pairs et impairs===
Les entiers naturels sont divisés en deux catégories bien connues des joueurs de roulette: les pairs et les impairs.
Un entier <math>n</math> pair est un multiple de 2 et peut être noté <math>n = 2\,k</math>, avec <math>k\in\mathbb{N}</math>
Un nombre <math>n</math> impair n'est pas multiple de 2 et se note <math>n = 2\,k + 1</math>, avec <math>k\in\mathbb{N}</math>.
On montre que tout entier est soit pair soit impair, et au moins l'un des deux, et ce pour un unique <math>k</math> : on note <math>\forall n\in\mathbb{N},\, \exists ! k\in\mathbb{N},\,\left(n=2\,k\lor n=2\,k+1\right)</math><br>
Les premiers entiers pairs sont 0, 2, 4, 6, 8, 10 ...
Les premiers entiers impairs sont 1, 3, 5, 7, 9, 11 ...
== Voir aussi ==
{{Nombre}}
{{Autres projets|
commons=Category:Arithmetic|
}}
*[[Addition des entiers naturels]]
*[[Associativité]]
*[[Commutativité]]
*[[Distributivité]]
*[[Transitivité (mathématiques)|Transitivité]]
*[[Ordre des opérations]]
*[[Arithmétique saturée]]
*[[Nombre premier]]
{{portail mathématiques}}
[[Catégorie:Arithmétique|*]]
{{Lien AdQ|he}}
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[[ar:حساب]]
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