Arithmétique 2057625 31688679 2008-07-18T18:42:30Z VsBot 277914 robot Ajoute: [[ml:അങ്കഗണിതം]] L''''arithmétique''' est une branche des [[mathématiques]] qui comprend la partie de la [[théorie des nombres]] qui utilise des méthodes de la [[géométrie algébrique]] et de la [[théorie des groupes]]. On l'appelle plus généralement la {{citation|science des nombres}}. Son étymologie provient du mot [[Grec ancien|grec]] {{citation|αριθμός}} qui signifie « nombre ». Autrefois, l'arithmétique se limitait à l'étude des propriétés des [[Entier naturel|entiers naturels]], des [[Entier relatif|entiers relatifs]], et des [[Nombre rationnel|nombres rationnels]] (sous forme de [[fraction]]s), et aux propriétés des opérations sur ces [[nombre]]s. Les ''opérations arithmétiques'' traditionnelles sont l'[[addition]], la [[division]], la [[multiplication]], et la [[soustraction]]. Cette discipline fut ensuite élargie par l'inclusion de l'étude d'autres nombres comme les [[Nombre réel|réels]] (sous forme de [[développement décimal]] illimité), ou même de concepts plus avancés, comme l'[[Exponentielle|exponentiation]] ou la [[racine carrée]]. == Histoire == Les premières traces d'opérations arithmétiques sont retrouvées en [[Afrique]], en {{formatnum:18000}} av. J.-C. sur [[l'Os d'Ishango]]. Cet os aurait été entaillé afin d'effectuer des additions et des soustractions. Dans l'école pythagoricienne ([[Pythagore]] de [[Samos]]), à la deuxième moitié du {{VIe siècle}} avant J.-C., l'arithmétique était, avec la [[géométrie]], l'[[astronomie]] et la [[musique]], une des quatre sciences quantitatives ou mathématiques (''Mathemata''). Celles-ci furent regroupées au sein des sept [[arts libéraux]] par [[Martianus Capella]] (V{{e}} siècle), et plus précisément désignées sous le nom de ''[[quadrivium]]'' par [[Boèce]]. Les trois autres disciplines étaient littéraires ([[grammaire]], [[rhétorique]], [[dialectique]]) et firent l'objet des travaux de [[Cassiodore]] et, plus tard, [[Alcuin]] qui leur donna le nom de ''[[trivium]]''. == Arithmétique élémentaire == L’'''arithmétique élémentaire''' est la forme la plus basique des [[mathématiques]], apprise à l’[[école élémentaire]]. Il s’agit essentiellement de l’étude des [[nombre]]s, et des opérations élémentaires ([[soustraction]], [[addition]], [[division]], [[multiplication]]). == Ensembles utilisés en arithmétique == La totalité des [[nombre]]s ont été regroupés dans des [[ensemble]]s. Les plus connus sont : * <math>\mathbb{N}</math> : l'ensemble des [[Entier naturel|entiers naturels]] (<math>0;\,1;\, 2;\, 3;\, 4;</math> etc.) * <math>\mathbb{Z}</math> : l'ensemble des [[Entier relatif|entiers relatifs]] (<math>-12;\, -2;\, 0 ;\, 5;\, 6;</math> etc.) * <math>\mathbb{D}</math> : l'ensemble des nombres décimaux, c'est-à-dire qui s'écrivent avec un nombre fini de décimales <math>\left ( -\frac{1}{2};\, 6,36;\, 0;\, 25;\mbox{ etc.}\right)</math>. * <math>\mathbb{Q}</math> : l'ensemble des [[Nombre rationnel|nombres rationnels]], c'est-à-dire des nombres pouvant s'écrire comme la fraction de deux décimaux; le nombre de décimales peut être infini mais doit être périodique. <math>\left({1\over3};\, -{5\over13};{22\over7}\mbox{ etc.}\right)</math>. * <math>\mathbb{R}</math> : l'ensemble des [[nombre réel|nombres réels]], c'est-à-dire ceux dont la [[partie imaginaire]] est nulle (<math>\pi</math>, le nombre d'or, <math>\sqrt 2</math>) * <math>\mathbb{C}</math> : [[nombre complexe|nombres complexes]] qui regroupent tous les nombres, qu’ils soient réels, imaginaires, ou une combinaision des deux. Certains de ces ensembles sont des [[sous-ensemble]]s des autres ; Tous les éléments de <math>\mathbb{N}</math> appartiennent aussi à <math>\mathbb{Q}</math>, par exemple. Mais à l'inverse, un élément de <math>\mathbb{Q}</math> n'est pas forcément élément de <math>\mathbb{N}</math>. On peut représenter ces ensembles par des cercles concentriques: le plus petit est <math>\mathbb{N}</math>, puis viennent <math>\mathbb{Z}</math>, <math>\mathbb{D}</math>, <math>\mathbb{Q}</math>, <math>\mathbb{R}</math> et <math>\mathbb{C}</math>. Il est possible de ne considérer qu'une partie d'un ensemble. Ainsi, on notera <math>\mathbb{R^+}</math> l'ensemble des nombres positifs de <math>\mathbb{R}</math>. De même on notera <math>\mathbb{R^*}</math> l'ensemble <math>\mathbb{R}</math> privé de 0. On remarque entre autre que <math>\mathbb{Z^+}\,=\,\mathbb{N}</math> et que <math>\mathbb{Z} \backslash \mathbb{N}\,=\,\mathbb{Z^{-*}}</math> (il s'agit de <math>\mathbb{Z}</math> « privé de » <math>\mathbb{N}</math>.) == Propriétés == De nombreux nombres entiers ont des propriétés particulières. Ces propriétés font l'objet d'une théorie appelée [[Théorie des nombres]]. Parmi ces nombres particuliers les nombres premiers sont sans doute les plus importants. ===Nombres premiers=== C'est le cas des nombres dits premiers. Ce sont des éléments de <math>\mathbb{N}</math> possédant uniquement deux diviseurs positifs distincts, à savoir 1 et eux-même. Les premiers nombres premiers sont 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29 etc. 1 n'est pas premier car il n'a pas 2 diviseurs distincts, mais un seul. Il existe une infinité de nombres premiers. En complétant une grille de taille 10<math>\times</math>10 avec les 100 premiers entiers non nuls, et en rayant ceux qui ne sont pas premiers, on obtient les nombres premiers appartenant à <math>\{ 1,\ldots 100 \}</math> par un procédé appelé un crible d'[[Eratosthène]], du nom du savant grec qui l'inventa. ===Nombres pairs et impairs=== Les entiers naturels sont divisés en deux catégories bien connues des joueurs de roulette: les pairs et les impairs. Un entier <math>n</math> pair est un multiple de 2 et peut être noté <math>n = 2\,k</math>, avec <math>k\in\mathbb{N}</math> Un nombre <math>n</math> impair n'est pas multiple de 2 et se note <math>n = 2\,k + 1</math>, avec <math>k\in\mathbb{N}</math>. On montre que tout entier est soit pair soit impair, et au moins l'un des deux, et ce pour un unique <math>k</math> : on note <math>\forall n\in\mathbb{N},\, \exists ! k\in\mathbb{N},\,\left(n=2\,k\lor n=2\,k+1\right)</math><br> Les premiers entiers pairs sont 0, 2, 4, 6, 8, 10 ... Les premiers entiers impairs sont 1, 3, 5, 7, 9, 11 ... == Voir aussi == {{Nombre}} {{Autres projets| commons=Category:Arithmetic| }} *[[Addition des entiers naturels]] *[[Associativité]] *[[Commutativité]] *[[Distributivité]] *[[Transitivité (mathématiques)|Transitivité]] *[[Ordre des opérations]] *[[Arithmétique saturée]] *[[Nombre premier]] {{portail mathématiques}} [[Catégorie:Arithmétique|*]] {{Lien AdQ|he}} [[an:Aritmetica]] [[ar:حساب]] [[ast:Aritmética]] [[be:Арыфметыка]] [[be-x-old:Арытмэтыка]] [[bg:Аритметика]] [[bn:পাটীগণিত]] [[br:Aritmetik]] [[ca:Aritmètica]] [[cs:Aritmetika]] [[da:Aritmetik]] [[de:Arithmetik]] [[el:Αριθμητική]] [[en:Arithmetic]] [[eo:Aritmetiko]] [[es:Aritmética]] [[et:Aritmeetika]] [[eu:Aritmetika]] [[fa:حساب]] [[fi:Aritmetiikka]] [[fiu-vro:Arvokunst]] [[gd:Àireamhachd]] [[gl:Aritmética]] [[he:אריתמטיקה]] [[hi:अंकगणित]] [[hr:Aritmetika]] [[ia:Arithmetica]] [[id:Aritmatika]] [[io:Aritmetiko]] [[is:Talnareikningur]] [[it:Aritmetica]] [[ja:算術]] [[jbo:sapme'ocmaci]] [[jv:Ilmu hitung]] [[ka:არითმეტიკა]] [[kn:ಅಂಕಗಣಿತ]] [[ko:산술]] [[la:Arithmetica]] [[lt:Aritmetika]] [[mk:Аритметика]] [[ml:അങ്കഗണിതം]] [[mr:अंकगणित]] [[ms:Aritmetik]] [[nl:Rekenen]] [[nn:Aritmetikk]] [[no:Aritmetikk]] [[nov:Aritmetike]] [[oc:Aritmetica]] [[pl:Arytmetyka]] [[pt:Aritmética]] [[qu:Yupa hap'ichiy]] [[ro:Aritmetică]] [[ru:Арифметика]] [[sc:Aritmètica]] [[simple:Arithmetic]] [[sk:Aritmetika]] [[sl:Aritmetika]] [[sr:Аритметика]] [[sv:Aritmetik]] [[sw:Hesabu]] [[ta:எண்கணிதம்]] [[th:เลขคณิต]] [[tl:Aritmetika]] [[tr:Aritmetik]] [[uk:Арифметика]] [[ur:حساب]] [[yi:חשבון]] [[zh:算术]] [[zh-yue:算術]]