Augustin Louis Cauchy 53196 31438888 2008-07-09T15:03:34Z Claudeh5 115936 /* Retour en France */ {{homon|Cauchy}} [[Image:Augustin_Louis_Cauchy.JPG|thumb|right|Augustin Louis Cauchy.]] '''Augustin Louis, baron Cauchy''', né à [[Paris]] le {{Date|21|août|1789}} et mort à [[Sceaux (Hauts-de-Seine)]] le {{Date|23|mai|1857}}, est un [[mathématicien]] français, membre de l’[[Académie des sciences (France)|Académie des sciences]] et professeur à l’[[École polytechnique (France)|École polytechnique]]. Catholique fervent, il est le fondateur de nombreuses œuvres chrétiennes, dont l’Œuvre des Écoles d’Orient. Royaliste légitimiste, il s’exila volontairement lors de l'avénement de [[Louis-Philippe Ier|Louis-Philippe]], après les [[Trois Glorieuses]]. Sa position politique et ecclésiastique lui valut nombre d’oppositions. Il fut l'un des mathématiciens les plus prolifiques, derrière [[Leonhard Euler]], avec près de 800 parutions et sept ouvrages; sa recherche couvre l’ensemble des domaines mathématiques de l’époque. On lui doit notamment en analyse l’introduction des [[fonction holomorphe|fonctions holomorphes]] et des critères de convergence des [[série (mathématiques)|série]]s et des [[série entière|séries entières]]. Ses travaux sur les [[permutation]]s furent précurseurs de la [[théorie des groupes]]. En [[optique]], on lui doit des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques. Son œuvre a fortement influencé le développement des mathématiques au {{s-|XIX|e}}. La négligence dont fit preuve Cauchy envers les travaux d'[[Évariste Galois]] et de [[Niels Abel]], perdant leurs manuscrits, a cependant entaché son prestige. == Biographie == [[Image:Pierre-Simon Laplace.jpg|right|thumb|Pierre-Simon Laplace]] Né le 21 août 1789 à [[Paris]], Augustin Louis Cauchy est le fils aîné de [[Louis François Cauchy]] <small>([[1760]]-[[1848]])</small> et de Marie-Madeleine Desestre <small>([[1767]]- ?)</small><ref>Valson, Tome I, pp. 3-5.</ref>. Son père fut premier commis du Lieutenant général de police de Paris [[Louis Thiroux de Crosne]] en [[1789]]; suite à l’excécution de ce dernier en avril [[1794]], Louis François se retira à [[Arcueil]] pour fuir la dénonciation et la [[Terreur (Révolution française)|Terreur]]. Sa famille subit néanmoins la [[loi du maximum]] et connut la famine. Il retourna occuper des postes administratifs divers en juillet<ref>{{Belhoste1}}, p. 14-15.</ref> et fut nommé secrétaire général du [[Sénat conservateur]] le {{Date|1|janvier|1800}}. Il obtint un appartement de fonction au [[palais du Luxembourg]] sous l'Empire. Il fut proche du ministre de l’Intérieur et mathématicien [[Pierre-Simon Laplace]] <small>([[1749]]-[[1827]])</small> et du sénateur et mathématicien [[Joseph-Louis Lagrange]] <small>([[1736]]-[[1813]])</small>. Augustin Louis reçoit une première éducation chrétienne de son père ; il apprend le latin, la littérature et la science. Il fréquente ensuite l’[[École centrale (Révolution française)|École centrale]] du Panthéon et se voit décerner en [[1803]] et en [[1804]] divers prix dans les épreuves littéraires du [[Concours général]]<ref>Valson, Tome I, pp. 19-20.</ref>. Il fréquente le [[lycée Henri-IV|lycée Napoléon]] et a notamment pour professeur [[Jacques Philippe Marie Binet|Jacques Binet]]. À 16 ans, en [[1805]], il est reçu deuxième à l'[[École polytechnique (France)|École polytechnique]] ; il est interrogé par [[Jean-Baptiste Biot]]. Des amis de la famille, Berthollet, Lagrange, et Laplace, l'ont soutenu durant ses études secondaires. ===Sous le Premier Empire=== [[Image:Napoleon a Cherbourg bordercropped.jpg|left|thumb|Statue de Napoléon à Cherbourg]] Il est reçu premier au corps prestigieux de l'[[École nationale des ponts et chaussées]] en [[1807]]. Devenu [[aspirant ingénieur]], il est appelé à participer à la construction du [[canal de l'Ourcq]] puis du [[Liste des ponts sur la Seine|pont de Saint-Cloud]]. L’ingénierie apparaissait alors comme le domaine naturel d’application des mathématiques. Le 18 janvier [[1810]], il est nommé pour s’occuper du chantier du port de [[Cherbourg]], qui devait devenir une position militaire stratégique du [[Premier Empire]]. Cauchy quitte ce poste en mars. Pendant son séjour à Cherbourg, il commence ses premiers travaux en mathématiques durant son temps libre, indépendamment des institutions académiques. Après qu’un premier écrit est égaré par [[Gaspard de Prony]]<small>([[1755]]-[[1839]])</small><ref>Valson, Tome I, p. 43.</ref>, il publie, encouragé par Lagrange, ses deux premiers mémoires, portant sur les [[polyèdre]]s, en février [[1811]] et en janvier [[1812]]. Il donne aussi des heures officieuses d’enseignement pour préparer des étudiants aux examens d’entrée, et se passionne pour l’[[histoire naturelle]]<ref>Valson, Tome I, pp. 27-31.</ref>. [[Image:SiméonDenisPoisson.jpg|right|thumb|Siméon Denis Poisson]] Durant une grave maladie (dont les causes peuvent être attribuées à un surmenage<ref>{{Belhoste1}}, p. 33.</ref> ou aux séquelles de la famine qu’il connut durant son enfance), il retourne en automne [[1812]] à Paris, et prend quelques mois de congés. Après qu'un poste de professeur-adjoint lui est refusé, il est appelé par son ancien professeur [[Pierre-Simon Girard]] à participer de nouveau en mars [[1813]] au chantier de l'Ourcq. À cette époque, sous l’influence de Lagrange et de Laplace, il exprime le souhait d’abandonner ses travaux d’ingénieur pour se consacrer aux mathématiques<ref>Valson, Tome I, p. 42.</ref>. Deux demandes auprès de l'[[Académie des sciences (France)|Académie des sciences]], appelée alors l'[[Institut de France|Institut]], furent appuyées par Laplace et [[Siméon Denis Poisson]] <small>([[1741]]-[[1840]])</small>, en mai [[1813]] et en novembre [[1814]] après la mort de Lagrange et de Lévêque ; mais elles furent toutes deux rejetées<ref>{{Belhoste1}}, pp. 47-53.</ref>. Cauchy reçoit temporairement un poste à la [[Société philomatique]] en décembre 1814. En [[1816]], il remporte le prix des mathématiques pour des travaux sur la [[propagation des ondes]]. Membre de la [[La Congrégation|Congrégation de la Sainte-Vierge]] depuis ses études à Polytechnique<ref>{{Belhoste1}}, pp. 59-62</ref>, Cauchy peut bénéficier de l'importance que prend ce mouvement dès le début de la [[Seconde Restauration]]. Il devient professeur assistant à l’École polytechnique en novembre [[1815]], puis professeur d'analyse et de mécanique en décembre. Suite à une ordonnance du 21 mars 1816 rétablissant les Académies, il intégre l'[[Académie des sciences (France)|académie des sciences]] sous nomination royale, parallèlement au renvoi d'importants mathématiciens connus pour leurs positions républicaines et libérales, [[Lazare Nicolas Marguerite Carnot|Lazare Carnot]] <small>([[1753]]-[[1823]])</small> et [[Gaspard Monge]] <small>([[1746]]-[[1818]])</small><ref>{{BouvItardSallé}}, p 164, biographie de Cauchy</ref>. Cauchy est durement accusé par ses pairs : « Il accepta sans hésiter, non par intérêt, jamais il ne fut sensible à un motif pareil, mais par conviction.<ref>Lettre de Biot à de Falloux. ''Le Correspondant'', 1857.</ref> » En [[1818]], il épouse Aloïse de Bure<ref>Valson, Tome I, pp. 67-69</ref>, avec laquelle il aura deux filles, Alicia (1819) et Mathilde (1823). Il donné chaque année à l'École polytechnique un cours d'[[Analyse (mathématiques)|analyse]] jusqu'en 1830. Des confrontations avec ses collègues, [[François Arago]] <small>([[1786]]-[[1853]])</small> et [[Alexis Thérèse Petit]] <small>[[1791]]-[[1820]])</small>, surviennent, ayant pour objet l'insuffisance supposée de ses cours d'analyse, et il est aussi critiqué par certains élèves pour la surcharge horaire de ses cours<ref>{{Belhoste1}}, p. 78.</ref>. Invité à les rédiger, il publie divers traités durant cette période : une première partie des notes de cours sous le titre ''Analyse algébrique'' en [[1821]] ; puis les notes complètes sous le titre ''Leçons sur le calcul différentiel'' en [[1829]], sans tenir compte des exigences de ses collègues et du ministère. ===Exil=== À l'issue des [[Trois glorieuses]] (juillet 1830), son cléricalisme revendiqué et sa position antilibérale le contraignent à l'exil. En effet, royaliste dévoué à [[Charles X de France|Charles X]], il refuse de prêter serment au nouveau roi [[Louis-Philippe Ier|Louis-Philippe]] comme l'exige la loi du 30 août 1830. En conséquence, il perd son poste à l’École polytechnique en novembre. À cause de son attachement à la dynastie des Bourbons et par réaction au soutien des étudiants de l’École polytechnique à la Révolution, Cauchy s'exile volontairement à [[Fribourg (Suisse)|Fribourg]] en [[Suisse]] en septembre [[1830]], sa femme et ses enfants restant à Paris<ref>{{Belhoste1}}, p. 124.</ref>. Il tente vainement d'y fonder une Académie où les savants émigrés pourraient enseigner<ref>{{Belhoste2}}, p. 149-150.</ref>. Sur invitation du roi de [[Piémont]], [[Charles-Albert de Sardaigne|Charles-Albert]], il occupe la chaire nouvellement créée de physique sublime à l'université de [[Turin]] en janvier [[1832]]. Il effectue un voyage à [[Rome]] et est reçu par le pape [[Grégoire XVI]]. Après l’enlèvement de son frère cadet Amédée Cauchy à 26 ans, Augustin fait deux voyages consécutifs à Paris. Refusant de rentrer en France malgré les demandes réitérées de sa famille, il accepte l’invitation du roi en exil Charles X de devenir le précepteur du duc de Bordeaux [[Henri d'Artois]] <small>([[1820]]-[[1883]])</small>. Il est choisi pour ses connaissances scientifiques et son attachement à la religion. Il s’installe en [[1833]] à [[Prague]], bientôt rejoint par sa femme en [[1834]]. Devenu membre de l’[[Académie de Prague]], il séjourne en [[1835]] à Toeplitz, puis en [[1836]] à Budweitz, [[Kirchberg]], et Gloritz. En remerciement pour son dévouement, Charles X le crée [[Baron (noblesse)|baron]] en [[1839]]. ===Retour en France=== Il regagne Paris fin [[1838]], souhaitant rester politiquement neutre, et reprend sa place à l'Académie. Toutefois, il ne récupère pas son poste d’enseignant à l’École polytechnique. Alors qu'il avait peu publié durant son séjour en Allemagne, il publie près d’un article par semaine de 1839 à février 1848, excepté en 1844. En novembre [[1839]], il est élu pour succéder à [[Gaspard Marie Riche de Prony|Gaspard de Prony]] au [[Bureau des longitudes]]. Mais, parce qu'il refuse de prêter serment, sa nomination est officiellement rejetée par le gouvernement en [[1843]]. Il rend l’affaire publique en décembre. La même année, il est candidat à la chaire de mathématiques du [[Collège de France]], laissée vacante après la mort de [[Sylvestre-François Lacroix]] <small>([[1765]]-[[1843]])</small> ; il se la voit refuser au profit du [[Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja|comte Libri]]. L’insurrection en février 1848 conduit à la suppression temporaire du serment politique. Après la fuite du comte Libri pour poursuites judiciaires pour vols et vente illégale de livres, Cauchy postule à nouveau à la chaire de mathématiques du Collège de France, mais se retire au profit de [[Joseph Liouville]] <small>([[1809]]-[[1822]])</small>, finalement élu en janvier [[1851]]. En [[1849]], Cauchy devient, après [[Urbain Le Verrier]] <small>([[1811]]-[[1877]])</small>, titulaire de la chaire d'astronomie mathématique à la [[Faculté des sciences de Paris]]. [[Victor Puiseux]], un de ses amis et élèves, lui succèdera à sa mort. Il prend aussi une chaire à la Sorbonne. Cauchy refuse de prêter serment à [[Napoléon III]] <small>([[1808]]-[[1873]])</small>, rétabli en [[1852]]. Il n'en est cependant pas moins maintenu dans ses fonctions, grâce à l'intervention d’[[Hippolyte Fortoul]] <small>([[1811]]-[[1856]])</small><ref>{{Belhoste1}}, pp. 207-208.</ref>. En [[1857]], ont lieu des querelles sur la mécanique impliquant Cauchy. Le 23 mai vers 4&nbsp;h du matin heure locale, il meurt d'un [[rhume]] dans la maison familiale de sa femme à Sceaux. Il est enterré au cimetière de Sceaux<ref>Valson, Tome I, p. 267.</ref>. Son dernier vœu fut que son œuvre fasse l'objet d'une publication intégrale<ref>{{Belhoste1}}, p. 213.</ref>. Durant sa vie, il avait publié plus de 800 mémoires. == Position == ===Engagement ecclésiastique=== [[Image:Franz Joseph Gall.jpg|right|thumb|Franz Joseph Gall]] Chrétien convaincu, proche des [[Jésuite]]s, Augustin Cauchy s’engagea dans une confrérie, la Congrégation de la Sainte-Vierge, lors de ses études. Il fut critiqué dès son séjour à Cherbourg pour son usage de prier matin et soir : « On dit que ma dévotion me fera tourner la tête.<ref>Lettre de Cauchy à sa mère, rapportée dans Valson, Tome I, p. 38.</ref> » De retour à Paris, il utilisa à plusieurs reprises sa position à l’Académie pour promulguer sa pensée. Il défendait ouvertement le [[créationnisme]]. En [[1824 en science|1824]], il condamna les recherches en neurologie de [[Franz Joseph Gall]] <small>([[1758 en science|1758]]-[[1828 en science|1828]])</small>. Sa prise de position fut considérée comme non scientifique et fortement condamnée dans la presse écrite par [[Stendhal]] dans deux articles successifs<small>([[1783]]-[[1842]])</small>. Il éprouvait une antipathie pour les [[libéralisme|idées libérales]] issues du {{s-|XVIII|e}}. Cependant, il s’engagea pour la liberté d’enseignement en défendant les écoles des [[jésuite]]s dès son retour en France en [[1838]]. Supprimées en [[1772]] et rétablies sous la Restauration, elles furent remises en cause sous la Monarchie de Juillet. Engagé aux côtés de [[Xavier de Ravignan]], prêtre de Notre-Dame, Cauchy fit appel à l’Institut : « Catholique, je ne peux rester indifférent aux intérêts de la religion ; géomètre, je ne peux rester indifférent aux intérêts de la Science. […] Vous ne considérez pas comme des ennemis de la civilisation, ceux-là même qui ont éclairé et civilisé tant de peuples divers.<ref>Valson, Tome I, pp. 108-121.</ref> » [[Pierre-Antoine Berryer]] <small>([[1790]]-[[1868]])</small>, [[Charles de Montalembert]] <small>([[1810]]-[[1870]])</small> et de Vatisménil le soutinrent dans sa démarche. Il est probable que les raisons pour lesquelles il ne put entrer au Collège de France en 1843 soient son engagement aux côtés des jésuites et la forte opposition du comte Libri<ref>{{Belhoste2}}, pp. 184-187.</ref>. Seuls certains établissements des jésuites furent finalement fermés en 1845. L’affaire prit fin en 1848 : la Deuxième République assura l’indépendance de l’enseignement. Cauchy fonda diverses œuvres chrétiennes : * Il apporta un soutien actif dès 1838 à la [[Société de Saint-Vincent-de-Paul]], œuvre chrétienne fondée en 1833 pour apporter une aide aux démunis. * Il fonda en 1842 l’[[Institut catholique]], ou Centre du Luxembourg, dont il présida la section scientifique. * Il proposa en 1843 un opuscule sur la [[prévention des crimes]] envoyé à [[Alexis de Tocqueville]] <small>([[1805]]-[[1859]])</small>. * Sous une demande signée par l’Institut, fut fondée en 1846 l’[[œuvre d’Irlande]] visant à combattre la famine en Irlande. * En 1854, il fonda l’œuvre pour l’observation du dimanche, demandant la fermeture des commerces le [[dimanche]]. * En 1855, Cauchy est l’un des fondateurs de l’[[œuvre des Écoles d’Orient]], dont l’objectif est de consolider l’émancipation par l’éducation. Lenormant et Cauchy devinrent les vice-présidents de l’œuvre. Le premier président était le [[Pierre Louis Aimé Mathieu|contre-amiral Mathieu]], collègue de Cauchy au Bureau des longitudes. ===Engagement politique=== [[Image:Andre-Marie Ampere.jpg|thumb|150px|right|Ampère]] Cauchy est un monarchiste antilibéral, proche d'[[André-Marie Ampère]] <small>([[1775 en science|1775]]-[[1836 en science|1836]])</small>. Il utilisa sa position à l'Académie pour promouvoir la pensée royaliste<ref>Bruno Belhoste, p. 114.</ref>, et s’exila volontairement en 1830 pour s’opposer au nouveau régime. Il considérait la dynastie des Bourbons comme « les soutiens de la religion et de la civilisation chrétienne, les défenseurs des idées et des principes auxquels il avait voué de bonne heure son âme et son cœur.<ref>Valson, Tome I, p. 71.</ref> » Son engagement politique lui valut de fortes oppositions au sein de l'Institut, puis de l'Académie, venant notamment de [[Louis Poinsot|Poinsot]] ou d'[[François Arago|Arago]]. Cependant, Arago apporta son soutien en [[1839 en science|1839]] à Cauchy pour sa candidature au Bureau des longitudes<ref>Bruno Belhoste, p. 157.</ref>. Il connut aussi des oppositions avec les ministères, par son refus réitéré de prêter un serment de fidélité à chaque nouveau régime. ===Position scientifique=== Le génie de Cauchy fut reconnu dès son plus jeune âge. Dès [[1801]], Lagrange eut ce commentaire : « Vous voyez ce petit homme, eh bien ! Il nous remplacera tous tant que nous sommes de géomètres.<ref>Valson, Tome I, p. 20.</ref> » La prédominance de Cauchy en sciences s’explique par la multitude de ses domaines d’études : ses travaux « embrassent à peu près toutes les branches des sciences mathématiques, depuis la théorie des nombres et la géométrie pure jusqu’à l’astronomie et l’optique.<ref>Valson, Tome II, Introduction.</ref> » Bien que ses talents de mathématicien aient été applaudis, les faveurs dont il bénéficia durant la Seconde Restauration ne furent pas appréciées. Critiquant ouvertement Laplace et Poisson, il connut rapidement des conflits avec ses anciens appuis à qui il devait ses premières publications. Ses rapports avec Poisson se dégradèrent avec le temps et une rivalité entre eux s’installa. Ses votes à l’Académie étaient considérés comme orientés. Malgré l’influence de Cauchy sur les nouvelles générations, ses dernières années furent obscurcies par une querelle de priorité en mécanique, où il refusa de reconnaître son erreur. En tant que membre de l’Académie, Cauchy devait lire et corriger les articles envoyés. Il commit une négligence envers les travaux de [[Niels Henrik Abel]] <small>([[1802 en science|1802]]-[[1829 en science|1829]])</small> et d'[[Évariste Galois]] <small>([[1811 en science|1811]]-[[1832 en science|1832]])</small>. Son avis sur le mémoire d'Abel tarda et le rapport fourni en juin [[1829 en science|1829]] fut finalement défavorable ; les recherches de Galois lui avaient été soumises en mai et n'eurent aucune réponse. Une telle attitude lui a été violemment reprochée. Dans sa biographie, Valson donne une explication : « On doit l’excuser de n’avoir pas toujours eu le temps de s’occuper des publications d’autrui, quand il n’a pas trouvé dans le cours de sa propre vie le loisir nécessaire pour relier et classer ses travaux personnels.<ref>Valson, Tome I, p. 251.</ref> » == Travaux == L’ensemble des travaux de Cauchy furent publiés de 1882 à 1974 chez Gauthier-Villars, dans les ''Œuvres complètes'' en 27 tomes qui rassemblent environ 800 articles couvrant l’analyse, l’[[algèbre]], la [[mécanique]] et les [[probabilité]]s<ref>{{Belhoste2}}, chaps. 6, 7 et 12.</ref>. Lors de la préparation de ses cours et conférences, Cauchy réfléchit sur les fondements de l’analyse et introduisit des définitions rigoureuses de notions seulement intuitivement utilisées avant lui<ref>{{Dieudonné (dir.)}}, vol. 1, pp. 341-344</ref>. Une partie importante de ses travaux concerne l’introduction des fonctions holomorphes et les séries convergentes<ref>{{Dieudonné (dir.)}}, vol. 1, pp. 141-149.</ref>. ===Analyse=== Avant les travaux de Cauchy en analyse, les [[Série (mathématiques)|série]]s et séries de fonctions étaient couramment utilisées dans les calculs, sans qu’un formalisme précis ne soit développé. Des erreurs courantes étaient commises : les mathématiciens ne se posaient pas de question sur l'éventuelle divergence des séries utilisées, ce qui fut mentionné par Cauchy. Dans son ''Cours d’Analyse'', il définit rigoureusement la [[série convergente|convergence]] des séries, et étudie en particulier les [[série à terme positif|séries à termes positifs]] : les sommes partielles convergent si et seulement si elles sont bornées. Il donne des résultats de [[comparaison de séries]]. Il déduit de la convergence des [[série trigonométrique|séries trigonométriques]] un critère de convergence qui porte aujourd’hui son nom, le [[critère de Cauchy]] : si la [[limite supérieure]] de la suite <math>|a_n|^{1/n}</math> est inférieure à 1, la série de terme général <math>a_n</math> converge. Intéressé par les [[série entière|séries entières]] (appelées alors séries de puissances), il met en évidence l'existence d'un [[rayon de convergence]] (qu’il appelle cercle de convergence), et en donne une méthode de calcul, conséquence de son critère de convergence. Il démontre que sous certaines hypothèses, le produit des sommes de deux séries convergentes peut s’obtenir comme la somme d’une série, appelée par la suite [[produit de Cauchy]]. Il en donne une version pour les séries entières. Une fonction régulière était à tort considérée comme la somme de sa série de MacLaurin : autrement dit, on pensait à tort qu'une fonction indéfiniment dérivable était déterminée par la suite de ses dérivées successives en un point. Cauchy relève deux problèmes : d’une part, le rayon de convergence de cette série entière peut être nul, et d’autre part, sur l’intersection des domaines de définition, la fonction et la somme de sa série de MacLaurin ne sont pas nécessairement égales. Cependant des solutions d’équations différentielles linéaires avaient été exprimées sous forme de séries entières sans aucune justification. Après avoir exhibé des exemples de [[fonction plate|fonctions plates]], Cauchy s’intéresse de près au [[développement de Taylor]], et évalue le reste sous forme de la détermination principale. Il donne ainsi des conditions suffisantes pour obtenir des réponses positives aux questions soulevées. Toujours dans son ''Cours d’Analyse'', il énonce et démontre le [[théorème des valeurs intermédiaires]]<ref> {{Bourbaki}}, p. 192.</ref>, démonstration finalisée par [[Bernard Bolzano|Bolzano]]. Il précise les notions de [[limite]] ; et formalise en termes de limites la [[continuité]] et la [[dérivée|dérivabilité]]. Il est arrêté dans ses travaux par une nuance qu'il ne perçoit pas : la différence entre [[convergence simple]] et [[convergence uniforme]]<ref>{{Bourbaki}}, p. 257.</ref>. Pourtant, la convergence simple (convergence d'une suite de fonctions en chaque point d'évaluation) n'est pas une condition suffisante pour préserver la continuité par passage à la limite. Il est le premier à donner une définition sérieuse de l’[[intégrale|intégration]]. Il définit l’intégrale d’une fonction d’une variable réelle sur un intervalle comme une limite d’une suite de sommes de Riemann prises sur une suite croissante de subdivisions de l’intervalle considéré. Sa définition permet d'obtenir une théorie de l’intégration pour les fonctions continues. Dans son ''Analyse algébrique'', il définit les [[logarithme]]s et les [[exponentielle]]s comme uniques fonctions continues vérifiant respectivement les équations fonctionnelles <math>f(x+y)=f(x)f(y)</math> et <math>f(xy)=f(x)+f(y)</math>. Bien qu'il se soit efforcé de donner des bases rigoureuses à l'analyse, il ne s'est pas interrogé sur l’existence du corps des nombres réels, établie plus tard par [[Georg Cantor]]. Dans son cours de Polytechnique, ''Leçon de calcul différentiel et intégral'', il apporte clarté et rigueur aux résolutions des équations différentielles linéaire d'ordre un <ref>{{Bourbaki}}, p. 81.</ref> et s'intéressa aux équations au dérivées partielles ([[théorème de Cauchy-Lipschitz]]). ===Analyse complexe=== On doit à Cauchy l'introduction des fondements de l'[[analyse complexe]]. Sous l’influence de Laplace, il présente dans le mémoire ''Sur les intégrales définies'' ([[1814 en science|1814]]) la première écriture des [[équations de Cauchy-Riemann]] comme condition d'[[analycité]] pour une fonction d'une variable complexe. Dans cet article, il s’intéresse à l’intégration d’une fonction analytique d’une variable complexe sur le contour d’un [[rectangle]], donne la définition de [[résidu]], et fournit un premier calcul de résidu. Dans ''Sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires'' ([[1825]]), il donne la première définition d'[[intégrale curviligne]], démontre l'invariance par homotopie (formulée en termes d'analyse), et énonce précisément le [[théorème des résidus]] pour les fonctions analytiques comme outil pour le calcul d'intégrales. En [[1831]], Cauchy propose une expression du nombre de racines complexe d’un polynôme dans une région du plan complexe. Si ''F'' et ''P'' sont des polynômes, il démontre : <center><math>\int_{\partial U}F(z).\frac{P'(z)}{P(z)}dz= \sum F(z_i),</math></center> où l'intégrale est prise sur le contour du domaine ''U'', et où la somme porte sur les racines de ''P'' appartenant au domaine ''U''. Durant son séjour à Turin, il déduit de la formule de Cauchy précédemment énoncée une expression des coefficients de la série de Taylor d'une fonction analytique d'une variable complexe comme intégrales. Il en déduit les [[Inégalité de Cauchy|inégalités dites de Cauchy]] et des résultats sur la convergence des fonctions analytiques d’une variable complexe. Ses travaux seront publiés en [[1838]] et poursuivis par [[Pierre Alphonse Laurent|Laurent]], qui fournit comme généralisation des séries entières les [[série de Laurent|séries de Laurent]]. Vers [[1845]], Cauchy s'inspire des travaux des mathématiciens allemands sur les nombres imaginaires, et en particulier l'écriture trigonométrique. Il repousse dans un premier temps cet aspect géométrique pour ensuite l'utiliser dans ses propres travaux. Il définit la notion de dérivée d'une fonction d'une variable complexe ; il établit ensuite l'équivalence entre dérivabilité et analycité, fondant ainsi la définition des [[fonction holomorphe|fonctions holomorphes]]. Tous ses résultats précédents sur le sujet concernent les fonctions holomorphes ; la formule de Cauchy devint un outil central dans l’étude des fonctions holomorphes, et il étudie alors à nouveau les équations de Cauchy-Riemann. ===Algèbre=== Lagrange avait démontré que la résolution d’une équation algébrique générale de degré ''n'' passe par l’introduction d’une équation intermédiaire : sa [[résolvante]] dont le degré est le nombre de fonctions à ''n'' variables obtenues par permutation des variables dans l’expression d’une fonction polynomiale. Ce nombre est un diviseur de <math>n !</math> : ce résultat est aujourd’hui vu comme une conséquence de l’actuel [[théorème de Lagrange (algèbre)|théorème de Lagrange]]. En 1813, Cauchy améliore cette estimation et démontre que ce nombre est supérieur au plus petit diviseur premier de ''n''. Son résultat fut généralisé ensuite en l’actuel [[théorème de Cauchy (groupes)|théorème de Cauchy]]. Il fut le premier à réaliser une étude des permutations comme des objets (appelés alors ''substitutions''). Il introduit les écritures encore utilisées aujourd’hui pour noter les permutations ; il définit le [[loi de composition|produit]], l’ordre, et établit l’existence et l’unicité de la décomposition des permutations en produit de cycles (''substitutions circulaires'') à supports disjoints. Les travaux de Cauchy et de Lagrange sur le sujet sont considérés comme précurseurs de la [[théorie des groupes]]. Cependant, Cauchy ne connaissait pas la théorie des groupes et donna sans le savoir une première étude du [[groupe symétrique]]. En [[algèbre linéaire]], il écrivit un traité sur le [[déterminant (mathématiques)|déterminant]]<ref>[[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] ''Mémoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et des signes contraires par suite des transpositions opérées entre les variables qu'elles renferment'' adressé en [[1812 en science|1812]] et publié dans le Journal de l'Ecole Poytechnique, XVIIe Cahier, Tome X, Paris [[1815 en science|1815]] [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90193x lire sur Gallica]</ref> contenant l'essentiel des propriétés de cette application. Il étudia la [[diagonalisation]] des [[endomorphisme symétrique|endomorphismes symétriques]] [[nombre réel|réels]] et qu'il démontra en dimension deux et trois<ref>[[Augustin Louis Cauchy]] ''Mémoire sur l’équation qui a pour racines les moments d’inertie principaux d’un corps solide et sur diverses équations du même genre'' Mémoires de l'Académie des sciences, t. IX, p. 111; présenté en [[1826 en science|1826]] et publié en [[1830 en science|1830]]</ref> et dans le cas où le [[polynôme caractéristique]] ne possède aucune racine multiple<ref>[[Augustin Louis Cauchy]] ''L’équation qui a pour racines les moments d’inertie principaux d’un corps solide, et sur diverses équations du même genre'' Mem. Acad. des Sci. Paris [[1830 en science|1830]]</ref>. Enfin, il formalisa la notion de polynôme caractéristique<ref>[[Augustin Louis Cauchy]] ''Méthode générale propre à fournir les équations de condition relatives aux limites des corps dans les problèmes de physique mathématique'' Comptes rendus Acad. Sci. 8 Paris pp 79-81 [[1940 en science|1940]] lu en [[1939 en science|1939]]</ref>. ===Géométrie=== [[Image:POV-Ray-Dodecahedron.svg|thumb|right|Le dodécaèdre, un polyèdre régulier convexe]] En [[1811]], il s’intéresse dans son premier mémoire à l’égalité de polyèdres convexes dont les faces sont égales. Il propose une démonstration du [[théorème de Descartes-Euler]], concernant les nombres de sommets, de faces et d'arêtes d'un [[polyèdre]] convexe. Sa preuve consiste à projeter le polyèdre en un graphe planaire suivant ce qui est aujourd’hui appelé une [[projection stéréographique]]. Cependant, Cauchy commit une erreur, en ne faisant pas d’hypothèse claire sur les polyèdres étudiés. Dans son second mémoire en 1812, il donna des formules pour calculer les [[angle dièdre|angles dièdres]]. ===Mécanique et optique=== En [[mécanique]], Cauchy proposa pour décrire la matière d’opposer à la continuité de la matière un système de points matériels dont les mouvements sont continus. Selon Cauchy, les forces entre ces particules doivent devenir négligeables sur les distances estimables. Cauchy énonça des lois sur les variations de tension, de condensation et de dilatation. Il fit une étude sur l’[[Déformation élastique|élasticité des corps]]. S’intéressant à la variation des molécules d’[[Éther diéthylique|éther]], Cauchy établit les équations de [[Optique physique|propagation de la lumière]] en [[1829]]. Il établit les modes de [[Polarisation (optique)|polarisation]] des ondes planes, mises en évidence par des travaux antérieurs de [[Augustin Fresnel|Fresnel]]. S’intéressant aux conditions limites au niveau d’une interface, Cauchy démontra les lois de la [[réflexion optique|réflexion]] et de la [[réfraction]] de la lumière. Il retrouva les résultats de [[David Brewster|Brewster]] sur la variation de l’angle de polarisation lors d’une réflexion ou d’une réfraction. Enfin, il démontra l’existence d’[[onde évanescente|ondes évanescentes]], vérifiée expérimentalement par Jasmin. Sous l’influence de [[Gaspard-Gustave Coriolis|Coriolis]], Cauchy étudia la dispersion de la lumière. Ses travaux sur les ombres rejetèrent une des objections à la théorie ondulatoire de la lumière. Il mit en évidence le phénomène de [[diffraction]]. En [[astronomie]], sa recherche sur les séries lui permit de réviser la [[théorie des perturbations]] mise en place par Lagrange, Laplace, et Poisson pour étudier la stabilité du [[système solaire]]. Cauchy s’intéressa de plus près aux calculs astronomiques à partir de son élection au Bureau des Longitudes en 1839. En 1842, il proposa des méthodes de calculs de primitives d’expressions rationnelles en cosinus et sinus ; ces méthodes furent motivées par le développement de la fonction perturbative. En [[1845]], le mémoire de [[Urbain Le Verrier|Le Verrier]] sur la [[(2) Pallas|planète Pallas]] est vérifié en quelques heures par Cauchy. ===Probabilités=== Les travaux de Cauchy sur le principe du minimax permirent de développer la théorie de la décision statistique. En 1853, il étudia une famille de distributions paires via leurs fonctions caractéristiques répondant à un problème variationel<ref> Sur les résultats moyens d’observations de même nature, et sur les résultats les plus probables, 1853.</ref> ; parmi ces lois doivent être mentionnées la [[loi normale]] et la [[loi de Cauchy]], découverte par Poisson. Faisant usage des fonctions caractéristiques, il publia une preuve du [[théorème central limite]]. == Principales publications == * ''Cours d'analyse'' (1821) * ''Leçons sur les applications du calcul infinitésimal à la géométrie'' (1826) * ''Exercices de mathématiques'' (1827) * ''Œuvres complètes'' (28 volumes, 1882-1974) [http://gallica.bnf.fr/Catalogue/noticesInd/FRBNF30207318.htm Texte complet en ligne] ;Mémoires *''Théorie des ondes'' *''Mémoires sur la polarisation de la lumière'' *''Théorie des nombres'' ==Hommages== *Son nom est inscrit sur la [[Liste des soixante-douze noms de savants inscrits sur la tour Eiffel|tour Eiffel]] ; *Une rue porte son nom dans le [[15e arrondissement de Paris]]. ==Notes et références== {{références}} ==Bibliographie== * Claude-Alphonse Valson, ''La vie et les travaux du Baron Cauchy'', Paris, Gauthier-Villars, 1868 * {{Belhoste1}} * {{Belhoste2}} == Liens internes == * [[Suite de Cauchy]] * [[Règle de Cauchy]] * [[Loi de Cauchy]] *[[Formule de Binet-Cauchy]] * [[Formule intégrale de Cauchy]] *[[Équations de Cauchy-Riemann]] * [[Inégalité de Cauchy]] * [[Inégalité de Cauchy-Schwarz]] **[[Produit de Cauchy]] * {{Page h|Théorème de Cauchy}} ** [[Théorème de Cauchy-Lipschitz]] **[[Théorème intégral de Cauchy]] ** [[Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà]] **[[Théorème de Cauchy-Kovalevskaïa]] ** [[Théorème de Cauchy (théorie des groupes)]] ** [[Théorème de la moyenne de Cauchy]] == Liens externes == {{Commons|Augustin Louis Cauchy|Cauchy}} * {{fr}} [http://www.bibmath.net/bios/index.php3?action=affiche&quoi=cauchy Notice biographique sur BibM@th] * [http://portail.mathdoc.fr/cgi-bin/oetoc?id=OE_CAUCHY_1_2 Œuvres complètes de Cauchy sur le site de la Bibliothèque nationale de France - Gallica-math] {{Portail Mathématiques}} {{DEFAULTSORT:Cauchy, Augustin Louis}} [[Catégorie:Mathématicien français]] [[Catégorie:Polytechnicien]] [[Catégorie:Ingénieur du Corps des Ponts et Chaussées]] [[Catégorie:Membre de l'Académie des sciences (France)]] [[Catégorie:Membre étranger de la Royal Society]] [[Catégorie:Lauréat du Concours général]] [[Catégorie:Cherbourg]] [[Catégorie:Académie de Cherbourg]] [[Catégorie:Membre de la Société philomathique de Paris]] [[Catégorie:Naissance en 1789]] [[Catégorie:Décès en 1857]] [[Catégorie:Savants de la Tour Eiffel]] {{Lien AdQ|de}} [[bg:Огюстен Луи Коши]] [[bn:ওগ্যুস্তাঁ লুই কোশি]] [[bs:Augustin Louis Cauchy]] [[ca:Augustin Louis Cauchy]] [[cs:Augustin Louis Cauchy]] [[da:Augustin Louis Cauchy]] [[de:Augustin Louis Cauchy]] [[en:Augustin Louis Cauchy]] [[eo:Augustin Louis Cauchy]] [[es:Augustin Louis Cauchy]] [[fi:Augustin Louis Cauchy]] [[he:אוגוסטן לואי קושי]] [[hr:Augustin Louis Cauchy]] [[hu:Augustin Cauchy]] [[hy:Կոշի Օգյուստեն Լուի]] [[id:Augustin Louis Cauchy]] [[is:Augustin Louis Cauchy]] [[it:Augustin-Louis Cauchy]] [[ja:オーギュスタン=ルイ・コーシー]] [[ka:ოგიუსტენ ლუი კოში]] [[ko:오귀스탱 루이 코시]] [[lt:Augustinas Luisas Koši]] [[mr:ओगुस्तँ लुई कॉशी]] [[nl:Augustin Louis Cauchy]] [[no:Augustin Louis Cauchy]] [[pl:Augustin Louis Cauchy]] [[pms:Augustin-Louis Cauchy]] [[pt:Augustin Louis Cauchy]] [[ro:Augustin Louis Cauchy]] [[ru:Коши, Огюстен Луи]] [[sr:Огистен Луј Коши]] [[sv:Augustin Louis Cauchy]] [[tr:Augustin Louis Cauchy]] [[uk:Коші Оґюстен-Луї]] [[vi:Augustin Louis Cauchy]] [[zh:奧古斯丁·路易·柯西]]