Biréfringence
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2008-06-17T19:35:09Z
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robot Ajoute: [[ro:Refracţie dublă]]
[[Image:Calcite.jpg|right|thumb|400px|Le texte apparait en double après avoir traversé le cristal de [[calcite]]. C'est la '''double réfraction''', un phénomène caractéristique des milieux biréfringents]]
La '''biréfringence''' est la propriété physique d'un matériau dans lequel la lumière se propage de façon [[Anisotropie|anisotrope]]. Dans un milieu biréfringent, l'[[indice de réfraction]] n'est pas unique, il dépend des directions de propagation et de [[polarisation (optique)|polarisation]] du [[rayon lumineux]].
Un effet spectaculaire de la biréfringence est la '''double réfraction''' par laquelle un rayon lumineux pénétrant dans le cristal est divisé en deux. C'est pourquoi, sur la photographie ci-contre, l'inscription apparaît en double après avoir traversé le cristal de calcite. Ce phénomène est caractéristique des milieux biréfringents, à tel point que les termes « double réfraction » et « biréfringence » sont parfois confondus. Le second tire d'ailleurs son étymologie du premier.
Lorsqu'on parle de biréfringence, on sous-entend en général '''biréfringence linéaire''', c'est-à-dire qu'on considère les indices de réfraction pour des ondes polarisées rectilignement. Par analogie, on utilise parfois l'expression '''biréfringence circulaire''' pour désigner l'[[activité optique]]. En effet, ces deux phénomènes peuvent se décrire de manière très similaire, mais ils ont des origines microscopiques différentes.
Dans le cas particulier des matériaux biréfringents uniaxes, on appelle également '''biréfringence''' la valeur de la différence entre les indices de réfraction ''extraordinaire'' et ''ordinaire'' du matériau (voir la définition de ces termes). La biréfringence peut ainsi être positive ou négative.
== Description des milieux biréfringents ==
On considère la propagation d'un rayon lumineux polarisé rectilignement dans un milieu biréfringent. De manière générale, la vitesse de cette onde, ou en d'autres termes l'indice de réfraction, dépend de la direction de polarisation du rayon. C'est le propre d'un milieu biréfringent.
Il existe cependant au moins une direction privilégiée pour laquelle l'indice est indépendant de la direction de polarisation. Une telle direction est appelée '''axe optique''' du milieu. Il existe alors deux possibilités correspondant à deux types de milieux :
* les milieux ''uniaxes'' qui possèdent un unique axe optique
* les milieux ''biaxes'' qui en possèdent deux.
=== Les milieux uniaxes ===
Les milieux uniaxes ont deux indices de réfraction principaux : on les appelle indices ordinaire et extraordinaire. Ils sont en général notés respectivement <math>n_o</math> et <math>n_e</math>. La différence <math>\Delta n = n_e - n_o</math> est alors appelée biréfringence (ou biréfringence absolue) du milieu. Pour la plupart des milieux, elle vaut en valeur absolue quelques pourcents.
On distingue deux cas selon le signe de la biréfringence :
* <math>\Delta n > 0 </math> : le milieu est dit ''uniaxe positif''. L'ellipsoïde des indices a une forme allongée (en forme de cigare).
* <math>\Delta n < 0 </math> : le milieu est dit ''uniaxe négatif''. L'ellipsoïde des indices a une forme aplatie (en forme de disque).
De très nombreux cristaux naturels sont uniaxes, comme le [[Quartz (minéral)|quartz]] ou la [[calcite]].
Les cristaux uniaxes appartiennent aux [[Système cristallin|systèmes cristallins]] [[Structure cristalline|trigonal]], [[Structure cristalline|tétragonal]] ou [[Structure cristalline|hexagonal]].
{{boite déroulante début|titre=Liste d'indices de réfractions de cristaux uniaxes}}
{| class="wikitable"
|
{| class=wikitable
|+Quelques indices de matériaux biréfringents <br> à λ ~ 590 nm ([http://hypertextbook.com/physics/waves/refraction/ source]).
| Matériau || n<sub>o</sub> || n<sub>e</sub> || Δn
|-
| [[béryl]] ||1.602 ||1.557 ||-0.045
|-{{ligne grise}}
| [[calcite]] CaCO<sub>3</sub> || 1.658 || 1.486 || -0.172
|-
| [[calomel]] Hg<sub>2</sub>Cl<sub>2</sub> || 1.973 || 2.656 || +0.683
|-{{ligne grise}}
| [[glace]] H<sub>2</sub>O || 1.309 || 1.313 || +0.014
|-
| [[niobiate de lithium]] LiNbO<sub>3</sub>|| 2.272|| 2.187|| -0.085
|-{{ligne grise}}
| [[fluorure de magnésium]] MgF<sub>2</sub>|| 1.380|| 1.385|| +0.006
|-
| [[Quartz (minéral)|quartz]] SiO<sub>2</sub>|| 1.544|| 1.553|| +0.009
|-{{ligne grise}}
| [[rubis]] Al<sub>2</sub>O<sub>3</sub>|| 1.770|| 1.762|| -0.008
|-
| [[rutile]] TiO<sub>2</sub>|| 2.616|| 2.903|| +0.287
|-{{ligne grise}}
| [[péridot]] || 1.690|| 1.654|| -0.036
|-
| [[saphir]] Al<sub>2</sub>O<sub>3</sub>|| 1.768|| 1.760|| -0.008
|-{{ligne grise}}
| [[nitrate de sodium]] NaNO<sub>3</sub>|| 1.587|| 1.336|| -0.251
|-
| [[tourmaline]] || 1.669|| 1.638|| -0.031
|-{{ligne grise}}
| [[zircon]] (max) ZrSiO<sub>4</sub>|| 1.960|| 2.015|| +0.055
|-
| zircon (min) ZrSiO<sub>4</sub>|| 1.920|| 1.967|| +0.047
|}
|}
{{Boite déroulante fin}}
=== Les milieux biaxes ===
Les milieux biaxes ont trois indices de réfraction principaux notés en général <math>n_1</math>, <math>n_2</math> et <math>n_3</math>.
Les cristaux biaxes appartiennent aux systèmes cristallins [[Structure cristalline|triclinique]], [[Structure cristalline|monoclinique]] ou [[Structure cristalline|orthorhombique]].
{{clr}}
== Description mathématique, ellipsoïde des indices ==
L'[[indice de réfraction]] d'un milieu est lié à sa [[permittivité]] qu'on décrit mathématiquement par un [[tenseur]] d'ordre 2. Ce tenseur peut être représenté graphiquement par un ellipsoïde<ref>De manière générale, tout tenseur d'ordre deux peut être représenté par une [[quadrique]]. La nature de la quadrique depend des signes de ses valeurs propres.</ref> dont les longueurs des demi-axes sont les indices de réfraction principaux. C'est ce qu'on appelle l''''ellipsoïde des indices'''. Cette contruction graphique permet de visualiser la relation entre le champ électrique <math>E</math> et le déplacement électrique <math>D</math> ainsi que les directions des axes optiques.
=== Principe ===
Soit un milieu optiquement anisotrope. L'indice optique n correspondant à la direction du vecteur unitaire d'excitation électrique <math>\vec{d} = \begin{pmatrix} p \\ q \\ r \end{pmatrix}</math> vérifie l'équation <math> \frac{p^2}{n_x^2} + \frac{q^2}{n_y^2} + \frac{r^2}{n_z^2} = \frac{1}{n^2}</math>.
En notant <math>x = n.p</math>, <math>y = n.q</math>, <math>z = n.r</math>, on obtient l'équation de l'ellipsoïde des indices :<br>
<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
|<math> \frac{x^2}{n_x^2} + \frac{y^2}{n_y^2} + \frac{z^2}{n_z^2} = 1</math>
|}</center>
où (x,y,z) sont bien les coordonnées des points appartenant à un [[ellipsoïde]]. Les indices <math>n_x</math>, <math>n_y</math> et <math>n_z</math> sont donnés par les composantes <math>\varepsilon_x</math>, <math>\varepsilon_y</math> et <math>\varepsilon_z</math> du tenseur de [[permittivité| permittivité électrique]] du milieu dans ses [[espace propre|axes propres]], dans l'approximation d'un milieu non magnétique : <math>n_i^2 = \varepsilon_{r_i}</math> (avec <math>\mu_r = 1</math> et <math>\varepsilon_i = \varepsilon_0 \varepsilon_{r_i}</math>)
{{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu=
Il s'agit de travailler en cartésiennes pour exprimer les équations de Maxwell en fonction du vecteur <math>\vec{k}</math>. Une fois démontré que <math>k^2 \vec{E} - \omega^2 \mu \underline{\underline{\varepsilon}} \vec{E} = (\vec{k}.\vec{E})\vec{k}</math>, on projette cette équation sur <math>\vec{D}</math> en utilisant <math>\vec{k}.\vec{D} = div(\vec{D}) = 0</math>. Les relations entre la vitesse de la lumière, l'indice optique et les permittivités électriques relatives et absolues permettent de conclure.
On effectue les approximations suivantes pour exprimer les [[équations de maxwell]] :
* pas de charge extrinsèque : <math>\rho_{ex} = 0</math> donc <math>div \vec{D} = 0</math> (<math>\vec{D}</math> étant le vecteur excitation électrique)
* pas de courant extrinsèque : <math>\vec{J_{ex}} = \vec{0}</math> donc <math>\vec{rot}(\vec{B}) = - \mu \frac{\partial \vec{D}}{ \partial t}</math> (<math>\vec{B}</math> étant le vecteur champ électrique)
* milieu homogène et linéaire : <math>\vec{D} = \underline{\underline{\varepsilon}} \vec{E}</math>
Il s'agit tout d'abord de calculer, en coordonnées cartésiennes, la quantité <math>\vec{rot}(\vec{rot}(\vec{E}))</math> pour une [[onde plane]] progressive [[monochromatique]] de deux façons différentes. Cette quantité s'écrit <math>\vec{k} \wedge (\vec{k} \wedge \vec{E})</math>.<br>
En utilisant les équations de Maxwell, on peut l'écrire <math>\vec{k} \wedge (\omega \vec{B}) = \omega \vec{rot} \vec{B} = - \omega^2 \mu \vec{D} = - \omega^2 \mu \underline{\underline{\varepsilon}} \vec{E}</math>.<br>
En utilisant les propriétés vectorielles du [[produit mixte]], on peut l'écrire <math>(\vec{k}.\vec{E})\vec{k} - (\vec{k}.\vec{k})\vec{E}</math>.<br>
D'où l'équation de départ du raisonnement : <math>k^2 \vec{E} - \omega^2 \mu \underline{\underline{\varepsilon}} \vec{E} = (\vec{k}.\vec{E})\vec{k}</math>
Plaçons-nous dans le référentiel propre du tenseur <math>\underline{\underline{\varepsilon}}</math>. Il s'assimile alors à une matrice diagonale 3*3. En indiçant par i les coordonnées cartésiennes (x,y,z) du repère, on obtient pour chaque coordonnée l'équation <math>(k^2 - \omega^2 \mu \varepsilon_i)E_i = (\vec{k}.\vec{E})k_i</math>.<br>
On divise ensuite l'équation par <math>\vec{k}.\vec{E}</math> et on la multiplie par <math>D_i</math>, sachant que <math>E_i = \frac{D_i}{\varepsilon_i}</math>. En sommant les 3 relations obtenues (une pour chaque coordonnée), on a <br>
* <math>\sum_{i=1}^{3} (k^2 - \omega^2 \mu \varepsilon_i)\frac{D_i^2}{\varepsilon_i (\vec{k}.\vec{E})} = \sum_{i=1}^{3} k_i D_i</math>
Le membre de droite correspond au produit scalaire <math>\vec{k}.\vec{D}</math>, c'est-à-dire <math>div(\vec{D}) = 0</math>. Puisque le membre de gauche est nul, on peut éliminer le facteur <math>\vec{k}.\vec{E}</math> et remplacer <math>\varepsilon_i</math> par <math>n_i^2</math> qui lui est proportionnel. De même, en faisant apparaître la [[célérité|vitesse de la lumière dans le vide]] <math>c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}</math> et sachant que <math>\mu \varepsilon_i = \mu_0 \mu_r \varepsilon_0 \varepsilon_{r_i}</math> (avec <math>\mu_r = 1</math> vu que le matériau est considéré non magnétique aux longueurs d'onde considérées), on obtient après avoir tout divisé par <math>n^2</math> :
* <math>\sum_{i=1}^3 \left( \frac{n^2 - n_i^2}{n^2 n_i^2} \right)D_i^2 = 0</math>
On peut encore écrire cette égalité <math>\sum_{i=1}^3 \frac{D_i^2}{n_i^2} = \frac{\sum D_i^2}{n^2} = \frac{D^2}{n^2}</math>. Introduisant maintenant le vecteur unitaire <math>\vec{d} = \frac{\vec{D}}{\|D\|}</math> de coordonnées (p,q,r). En divisant l'égalité précédente par <math>D^2</math>, on obtient <math> \frac{p^2}{n_x^2} + \frac{q^2}{n_y^2} + \frac{r^2}{n_z^2} = \frac{1}{n^2}</math>.
En notant <math>x = n.p</math>, <math>y = n.q</math>, <math>z = n.r</math>, on obtient l'équation de l'ellipsoïde des indices :<br>
<center>
<math> \frac{x^2}{n_x^2} + \frac{y^2}{n_y^2} + \frac{z^2}{n_z^2} = 1</math>
</center>
}}
=== Interprétation physique ===
Considérons une onde plane électromagnétique. L'analyse vectorielle (en cartésiennes) des équations de Maxwell permet de conclure que les vecteurs suivants sont coplanaires :
* <math>\vec{D}</math> (excitation électrique) et donc le vecteur <math>\vec{d} = n \frac{\vec{D}}{\|D\|}</math> dont les coordonnées interviennent dans l'équation de l'ellipsoïde
* <math>\vec{E}</math> (champ électrique)
* <math>\vec{k}</math> ([[vecteur d'onde]] colinéaire à la direction de propagation de l'onde)
* <math>\vec{P}</math> ([[vecteur de Poynting]] colinéaire à la direction de propagation de l'énergie)
Le plan auquel appartiennent ces vecteurs est le plan de polarisation de l'onde. C'est le vecteur <math>\vec{D}</math> qui est perpendiculaire à <math>\vec{k}</math> dans les milieux matériels, et non <math>\vec{E}</math> comme c'est habituellement le cas dans le vide.
De plus, on montre que le vecteur <math>\vec{E}</math> est normal à l'ellipsoïde au point d'intersection avec <math>\vec{d}</math>.
{{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu=
Le vecteur normal à l'ellipsoïde en un de ses points de coordonnées <math>(x,y,z)</math> est <math>\vec{grad}(f)</math> où l'équation de l'ellipsoïde est <math>f(x,y,z) = 0</math>. Le vecteur [[gradient]] au point considéré est
<math>\vec{grad}(f) = \left( \frac{2x}{n_x^2} , \frac{2y}{n_y^2} , \frac{2z}{n_z^2} \right)</math>
où <math>(x,y,z)</math> sont les coordonnées du vecteur <math>\vec{d}</math>. Chacune de ses composantes <math>d_i</math> (<math>i \in {x,y,z}</math>) est reliée à <math>\vec{D} </math> par <math> d_i = n \frac{D_i}{\| \vec{D} \|}</math> et les composantes de <math>\vec{D}</math> sont reliées à celles de <math>\vec{E}</math> par <math>D_i = \varepsilon_i E_i</math> où <math>\varepsilon_i = \varepsilon_0 n_i^2</math>. <br>
Le vecteur <math>\left( \frac{2n \varepsilon_0 \varepsilon_x E_x}{\| \vec{D} \| \varepsilon_x}, \frac{2n \varepsilon_0 \varepsilon_y E_y}{\| \vec{D} \| \varepsilon_y}, \frac{2n \varepsilon_0 \varepsilon_z E_z}{\| \vec{D} \| \varepsilon_z} \right)</math> est donc perpendiculaire à la surface au point <math>(x,y,z)</math>, et par conséquent, le vecteur <math>\vec{E}</math> également.
}}
Tenant compte de cette condition et de la coplanarité de <math>\vec{E}</math>, <math>\vec{k}</math> et <math>\vec{D}</math>, seules deux orientations sont géométriquement permises pour <math>\vec{D}</math>. En effet, l'intersection du plan d'onde (plan perpendiculaire à <math>\vec{k}</math>, auquel appartient donc <math>\vec{d}</math>) avec l'[[ellipsoïde]] est une [[ellipse]]. Les conditions géométriques sont remplies dans 2 cas : lorsque <math>\vec{D}</math> est selon le petit axe et lorsqu'il est selon le grand axe de cette ellipse.
* Lorsque <math>\vec{D}</math> est colinéaire à <math>\vec{E}</math>, on parle de rayon "ordinaire". Rien de spécial n'arrive au rayon lumineux
* Il existe une autre configuration, qui donne lieu à un rayon extraordinaire. Cette dénomination lui est donnée en raison de la violation des [[lois de Snell-Descartes]] par ce rayon. Cette violation n'est pas paradoxale, car les lois de Descartes découlent elles-mêmes des [[équations de Maxwell]] dans un cas précis (l'isotropie cristalline), qui, elles, sont toujours vérifiées dans le cas de la biréfringence.
== Biréfringence induite ==
Il est possible de créer de la biréfringence dans un milieu optiquement isotrope de plusieurs manières.
=== Par un [[champ électrique]] ===
* on parle d’''[[effet Pockels]]'' ou ''effet électro-optique du premier ordre'' lorsque la biréfringence est proportionnelle au champ électrique appliqué. Cet effet se produit dans les cristaux non [[Symétrie centrale (mathématiques élémentaires)|centro-symétrique]]s.
* si la biréfringence est proportionnelle au [[Carré (algèbre)|carré]] du champ électrique on parle d’[[effet Kerr]]. L’effet Kerr peut intervenir pour des [[gaz]] et des [[liquide]]s. Pour les cristaux il est généralement négligeable devant l’effet Pockels qui est beaucoup plus fort, sauf pour les cristaux [[Ferroélectricité|ferroélectrique]]s proches de la [[température de Curie]] tels que la [[pérovskite]].
* l’effet Kerr s’observe également à très haute [[fréquence]] : il peut être produit par le champ électrique même du rayon lumineux. On parle alors d’[[effet Kerr optique]], et l’indice de réfraction varie linéairement avec l’intensité lumineuse. C’est cet effet qui est à l’origine du ''self-focusing'' (auto-focalisation) des faisceaux [[laser]]s de très forte intensité.
=== Par un [[champ magnétique]] ===
* L’[[effet Faraday]] est une ''biréfringence circulaire'' ou ''[[pouvoir rotatoire]]'' qui apparaît si on applique un champ magnétique statique ou de basse fréquence parallèlement à la direction de propagation du [[rayon lumineux]]. La biréfringence créée est proportionnelle au champ magnétique. On parle alors de ''biréfringence magnétique circulaire''. Cet effet est utilisé dans les isolateurs de Faraday, ou diodes optiques en [[télécommunication]]s.
* L’[[effet Cotton-Mouton]] (découvert par Kerr (1901) et étudié par Majorana (1902) puis Cotton et Mouton (1904)), appelé parfois ''effet Voigt'' exhibe une biréfringence induite par un champ magnétique perpendiculaire à la direction de propagation. La biréfringence est alors proportionnelle au carré du champ appliqué. Il s’agit d’une biréfringence ''linéaire'' et non ''circulaire''. L’effet est faible sauf dans des cas particuliers (suspensions colloïdales avec particules métalliques). Il existe également un effet Cotton-Mouton dans le vide (''biréfringence magnétique du vide'').
* L'[[effet Kerr magnéto-optique]] s’observe par réflexion sur une surface d’un matériau soumis à un champ magnétique. Ces effets sont proportionnels au champ magnétique, comme l’effet Faraday, mais ne s’apparentent pas à la biréfringence. Une application bien connue est celle des disques et [[lecteur magnéto-optique|lecteurs magnéto-optiques]].
=== Par une contrainte mécanique ===
Les cristaux soumis à des ''contraintes'' [[mécanique]]s peuvent présenter une biréfringence : on parle de [[photoélasticité]]. Lorsque le matériau est transparent, cet effet permet de visualiser les contraintes par [[interférométrie]]. Les [[liquide]]s peuvent également présenter une biréfringence sous contrainte mécanique. Les contraintes étant généralement observées en régime d’[[écoulement stationnaire]], on parle de [[biréfringence d’écoulement]].
== Applications ==
Il existe de nombreuses applications de la biréfringence.
=== Fabrication d'instruments d'optique ===
Les propriétés de double réfraction de cristaux tels que le [[Quartz (minéral)|quartz]] ou la [[calcite]] sont utilisées en [[optique]] pour former des [[polariseur]]s ( [[prisme de Glan-Thompson]], [[prisme de Glan-Taylor]], [[prisme de Nicol]], ...) ou des [[miroir semi-réfléchissant|diviseurs de faisceaux]] ([[prisme de Rochon]] et [[prisme de Wollaston]]). On peut aussi utiliser le double indice de réfraction pour fabriquer des [[lame à retard|lames à retard]].
=== Microscopie en lumière polarisée ===
[[Image:BasalteRefring.jpg|thumb|right|250px|Biréfringence dans un basalte]]
La biréfringence est largement utilisée en [[microscopie]]. Le [[microscope de Normasky]] et les [[microscope polariseur analyseur|microscopes polarisants]] permettent de visualiser des objets de faible [[contraste]] : les deux rayons dûs à la biréfringence peuvent [[interférence|interférer]] entre eux. Un des deux rayons, en traversant l'objet à étudier, prend du [[différence de marche|retard]] par rapport à l'autre, et l'interférence obtenue dépend de ce retard. Ce microscope permet donc d’observer directement les variations d’épaisseur d’un objet transparent. Cette technique permet de différencier, dans un minéral, différents cristaux de biréfringences différentes, qui apparaîtront avec une couleur et une luminosité différente.
{{Article détaillé|Microscopie en lumière polarisée}}
{{clr}}
=== [[Photoélasticimétrie]] ===
[[Image:Photoelasticimetry.JPG|thumb|250px|right|Image obtenue par [[photoélasticimétrie]].]]
La [[photoélasticité]] des matériaux permet de visualiser les [[tenseur des contraintes|contraintes]] présentes à l'intérieur par la méthode de [[photoélasticimétrie]].
{{Article détaillé|Photoélasticimétrie}}
{{clr}}
== Notes et références ==
<references/>
- Biréfringence du vide : http://www.phys.ens.fr/IMG/pdf/CRizzo_ENS.pdf
- Ellipsoïde des indices, ... : "Optique", Georges BRUHAT
- Biréfringences induites, ... : "Polarisation de la lumière", Serge HUARD
== Voir aussi ==
{{commons|Birefringence|la biréfringence}}
* [[Anisotropie]]
* [[Cristallographie]]
* [[Minéralogie]]
* [[Polariseur]]
* [[Microscopie en lumière polarisée]]
* [[Lame à retard]]
== Sites web ==
* [http://melusine.eu.org/syracuse/mluque/fresnel/augustin/polarisation.html Polarisation et biréfringence]
* [http://planet-terre.ens-lyon.fr/planetterre/XML/db/planetterre/metadata/LOM-Img71-2004-02-16.xml La double réfraction de la calcite]
* [http://www.lac.u-psud.fr/experiences-optique/polarisation/Tutton/Tutton.htm Ellipsoïde des indices et test de Tutton]
{{Portail|physique|Minéraux et roches}}
[[Catégorie:phénomène optique]]
[[Catégorie:Optique non-linéaire]]
[[Catégorie:Cristallographie]]
[[Catégorie:Minéralogie]]
[[bs:Birefringencija]]
[[cs:Dvojlom]]
[[de:Doppelbrechung]]
[[en:Birefringence]]
[[es:Birrefringencia]]
[[et:Kaksikmurdumine]]
[[he:שבירה כפולה]]
[[it:Birifrangenza]]
[[ja:複屈折]]
[[ko:복굴절]]
[[nds:Dubbelbreken]]
[[nl:Dubbelbreking]]
[[pl:Dwójłomność]]
[[pt:Birrefringência]]
[[ro:Refracţie dublă]]
[[ru:Двойное лучепреломление]]
[[sv:Dubbelbrytning]]
[[uk:Двозаломлення мінералів]]
[[vi:Khúc xạ đúp]]
[[zh:双折射]]