<page> <title>Bruit blanc</title> <id>197930</id> <revision> <id>31586844</id> <timestamp>2008-07-15T05:22:45Z</timestamp> <contributor> <username>SieBot</username> <id>236006</id> </contributor> <minor /> <comment>robot Ajoute: [[be-x-old:Белы шум]]</comment> <text xml:space="preserve">[[Image:White noise.png|thumb|right|250px|Échantillon de bruit blanc]] Un '''bruit blanc''' est une réalisation d'un processus aléatoire dans lequel la [[densité spectrale de puissance]] est la même pour toutes les fréquences. On parle souvent de ''bruit blanc gaussien'', il s'agit d'un bruit blanc qui suit une [[loi normale]] de moyenne et variance données. En [[synthèse sonore|synthèse]] et traitement du [[son (physique)|son]], on ne considère que les fréquences comprises entre {{unité|20|[[Hertz|Hz]]}} et {{unité|20|kHz}} puisque l'oreille humaine n'est sensible qu'à cette bande de fréquences (en fait plutôt {{unité|25|Hz}}-{{unité|19|kHz}}). L'impression obtenue est celle d'un souffle. [[Image:Spectre bruit blanc.svg|thumb|400px|center|Spectre plat d'un bruit blanc (sur l'abscisse, la fréquence ; en ordonnée, l'intensité]] Le son produit lors de l'effet de « neige » sur un téléviseur non réglé est un très bon exemple de bruit blanc. Le bruit des gouttes d'eau tombant sur un toit est aussi un bruit blanc car les gouttes d'eau tombent de hauteurs différentes et ont ainsi des énergies différentes qui provoquent un spectre de fréquence large {{référence nécessaire}} == Bruit blanc sonore == Le bruit blanc, à l'instar de la lumière blanche qui est un mélange de toutes les couleurs, est composé de toutes les fréquences, chaque fréquence ayant la même énergie. Le nombre de fréquences doublant d'une octave à l'autre, l'énergie croît linéairement de 3 dB par [[octave]] <ref>Christian Hugonnet et Pierre Walder, ''Théorie et pratique de la prise de son stéréophonique'', éditions Eyrolles , Paris, deuxième édition 1998, p.&nbsp;32</ref>. == Bruit blanc et solutions analytiques d'équations différentielles == [[Image:Approximation d'une excitation aleatoire par un bruit blanc.png|right]] En toute rigueur un bruit blanc ne peut exister car une densité spectrale identique pour toutes les fréquences conduirait à une variance, mesurée par l'aire sous la courbe, infinie (et donc une énergie infinie). Il n'existe donc, comme dans l'exemple qui précède, que des bruits blancs limités à une bande de fréquences. Cette notion de bruit blanc est intéressante dans certains problèmes pratiques car, bien qu'il ne puisse exister, on montre que la réponse à un bruit blanc d'un système amorti reste finie. Le remplacement d'une excitation quelconque par un bruit blanc fournit donc, en simplifiant considérablement les calculs, une approximation d'autant meilleure que l'amortissement du système est plus faible. == Bruit blanc et simulations == Un bruit blanc de densité spectrale (voir [[analyse spectrale]]) S{{ind|0}} échantillonné au pas T contient des fréquences inférieures à ½T (voir '''[[Théorème de Shannon]]'''). Il possède donc une variance finie qui s'écrit, si la densité spectrale est exprimée sur une échelle en fréquences positives, σ{{ind|2}} = S{{ind|0}}/2T. Ce bruit blanc est considéré comme une réalisation d'un [[processus stochastique|processus aléatoire]] décrit, outre sa densité spectrale, par une loi de probabilité (voir [[Variable aléatoire]]). Un bruit blanc peut être engendré par une séquence de nombres au hasard qui correspond à une densité de probabilité uniforme sur un intervalle de largeur unité. Pour obtenir des nombres sur un intervalle de largeur a, il suffit de multiplier le résultat par a. Conséquence du [[théorème de la limite centrale]], le bruit blanc gaussien est particulièrement utile. Pour le créer, on peut utiliser la formule de Rice <center><math>X = A \cos \Phi</math></center> <math>\Phi</math> est une séquence de variables uniformes sur un intervalle de largeur 2Ï€. A est une séquence de variables de Rayleigh dont la fonction de répartition s'écrit, <math>\sigma^2</math> étant la variance cherchée pour la variable de Gauss : <center><math>{F_A}(a) = 1 - e^{-{{a^2}\over{2 \sigma^2}}}</math></center> En égalant cette fonction de répartition à celle d'un nombre au hasard noté r, on obtient une réalisation de la variable de Rayleigh : <center><math>a = \sigma \sqrt{-2 \ln (1-r)}</math></center> À partir de là , on construit une réalisation d'un bruit blanc gaussien. On peut alors obtenir une réalisation d'un processus gaussien quelconque en prenant sa [[transformée de Fourier]], en la multipliant par la racine carrée de la densité spectrale et en inversant la transformée. == Bruit blanc et statistique == Dans l'étude des [[séries temporelles]] en statistique, il est souvent utile de définir un processus de bruit blanc également dans le domaine temporel (alors que les définitions plus haut sont dans le domaine des fréquences). Selon [[Hamilton]] (1994)<ref> Hamilton, ''Time Series Analysis'', Princeton University Press, 1994</ref> : <u>Déf</u> Un processus <math> \epsilon_t</math> est qualifié de '''bruit blanc''' si : :::::::*<math> E[\epsilon_t]=0 \, </math> :::::::*<math> E[\epsilon_{t}^{2}]=\sigma ^2 </math> :::::::*<math> E[\epsilon_t \epsilon_{\tau}]=0 \qquad \forall t \ne \tau </math> Un processus de bruit blanc est donc par définition [[Stationnarité d'une série temporelle|stationnaire]]. <u>Déf</u> Un processus <math> \epsilon_t</math> est qualifié de '''bruit blanc indépendant''' si : :::::::*<math> E[\epsilon_t]=0 \, </math> :::::::*<math> E[\epsilon_{t}^{2}]=\sigma ^2 </math> :::::::*<math> \epsilon_t\,</math> et <math> \epsilon_{\tau} \,</math> sont indépendants <math> \forall t \ne \tau </math> <u>Déf</u> Finalement, si '''en plus''' des dernières définitions : :::::::*<math> \epsilon \sim \mathcal {N} (0,1) \, </math> Le processus <math> \epsilon_t</math> est qualifié de '''bruit blanc gaussien'''. ==Références== <references /> == Voir aussi == * [[Spectre sonore]] * [[Bruit rose]] * [[Processus continu]] * [[Processus de Gauss]] * [[Analyse spectrale]] * [[Systèmes oscillants à un degré de liberté]] * [[Interrogatoire]] {{Portail|électricité et électronique|physique}} [[Catégorie:Acoustique]] [[Catégorie:Bruit|Blanc]] [[ar:ضجيج أبيض]] [[be-x-old:Белы шум]] [[cs:BÃlý Å¡um]] [[da:Hvid støj]] [[de:Weißes Rauschen]] [[en:White noise]] [[eo:Blanka bruo]] [[es:Ruido blanco]] [[fi:Valkoinen kohina]] [[he:רעש לבן]] [[it:Rumore bianco]] [[ja:ホワイトノイズ]] [[lt:Baltasis triukÅ¡mas]] [[nl:Witte ruis]] [[no:Hvit støy]] [[pl:Szum biaÅ‚y]] [[pt:RuÃdo branco]] [[ru:Белый шум]] [[sv:Vitt brus]] [[uk:Білий шум]] [[zh:白雜訊]]</text> </revision> </page>