Calcul d'incertitude 145918 29194367 2008-05-02T11:33:09Z Sherbrooke 18624 /* Utilisation de graphes et de barres d'erreurs */ Mettre en page. Le '''calcul d'incertitude''' permet d'évaluer correctement les erreurs qui se produisent lors de mesures liées à la vérification d'une relation entre différentes grandeurs physiques. Les [[instrument de mesure|instruments de mesure]] n'étant pas de '''précision''' infinie, les mesures faites pendant une expérience ne sont pas '''exactes'''. Il faut donc évaluer ces incertitudes pour répondre à la question : « la relation n'est pas vérifiée exactement parce qu'elle est fausse ou parce que les mesures sont incertaines ? » On en déduit des marges d'erreurs, en dehors desquelles la relation sera invalidée. Cela fait partie intégrante de la [[méthode scientifique]]. == Utilisation des différentielles totales exactes == Une loi physique s'exprime par une relation algébrique entre un certain nombre de grandeurs mesurables. === Exemples simples : surface et volume === Le calcul de la surface d'un rectangle de côtés L et l : : <math>S=L \cdot l </math> devient lorsque les côtés deviennent L+dL et l+dl: : <math>S(L+dL,l+dl) = (L+dL) \cdot(l+dl) = L\cdot l + L \cdot dl +l\cdot dL + dl\cdot dL</math> Donc la variation de la surface dS peut s'écrire : : <math> dS = (L+dL)\cdot (l+dl) - L \cdot l = L\cdot dl +l\cdot dL + dL\cdot dl </math> que l'on approche par : : <math> dS = L\cdot dl +l\cdot dL </math> </center> car dL.dl est négligeable. Noter que : <math> dS = \frac{\partial (L\cdot l) }{\partial L}dL+\frac{\partial (L\cdot l) }{\partial l}dl</math> car : <math> \frac{\partial (L\cdot l) }{\partial L}= l ; \frac{\partial (L\cdot l) }{\partial l}=L </math> d'où : <math> dS = \frac{\partial S(L,l) }{\partial L}dL+\frac{\partial S(L,l) }{\partial l}dl</math> De même la variation de volume d'une boîte de côtés x, y, z de volume V=xyz : : <math> V(x+dx,y+dy,z+dz) = (x+dx)\cdot(y+dy)\cdot(z+dz) </math> <math>= x\cdot y\cdot z +dx\cdot y \cdot z+x\cdot dy\cdot z + x\cdot y\cdot dz + x\cdot dy\cdot dz + y\cdot dx\cdot dz + z\cdot dx\cdot dy + dx\cdot dy\cdot dz </math> peut s'écrire :<math> dV =V(x+dx,y+dy,z+dz) - x\cdot y\cdot z = </math> <math>= dx\cdot y \cdot z+x\cdot dy\cdot z + x\cdot y\cdot dz + x\cdot dy\cdot dz + y\cdot dx\cdot dz + z\cdot dx\cdot dy + dx\cdot dy\cdot dz</math> que l'on approche par : : <math> dV = y\cdot z\cdot dx +z\cdot x\cdot dy + x\cdot y\cdot dz </math> Noter que :<math> dV = yz dx +zx dy + xy dz = \frac{\partial (xyz) }{\partial x}dx+\frac{\partial (xyz) }{\partial y}dy+\frac{\partial (xyz) }{\partial z}dz </math> car :<math> \frac{\partial (xyz) }{\partial x}= yz ; \frac{\partial (xyz) }{\partial y}=xz ; \frac{\partial (xyz) }{\partial z}=xy </math> et donc :<math> dV = \frac{\partial (xyz) }{\partial x}dx+\frac{\partial (xyz) }{\partial y}dy+\frac{\partial (xyz) }{\partial z}dz= \frac{\partial V(x,y,z) }{\partial x}dx+\frac{\partial V(x,y,z) }{\partial y}dy+\frac{\partial V(x,y,z) }{\partial z}dz </math> === La variation d'une fonction f(x,y,z) === Et plus généralement, pour le calcul de la variation d'une fonction f(x,y,z). <math> \frac{\partial f(x,y,z) }{\partial x} </math> = dérivée partielle par rapport à x <math> d f(x,y,z) = \frac{\partial f(x,y,z) }{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y,z) }{\partial y}dy+\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}dz</math> === Loi des gaz parfaits === Prenons par exemple la [[loi des gaz parfaits]] reliant : * ''P'' : la [[pression]] du gaz * ''V'' : le [[volume]] occupé par le gaz * ''n'' : la [[quantité de matière|quantité de gaz]] en [[Mole (unité)|mole]]s (1 mole = [[nombre d'Avogadro|6,022 10<sup>23</sup>]] [[molécule]]s) * ''R'' : la [[constante des gaz parfaits]] = 8,314 J.K<sup>-1</sup>.mol<sup>-1</sup> * ''T'' : la [[température]] absolue du gaz, en [[kelvin]]. : <math> P =\frac{n \times R \times T}{V} </math> exprime la pression en fonction de n, R, T et V. Écrivons sa différentielle : : <math>dP (T,R,n,V)=P (T+dT,R+dR,n+dn,V+dV)-P (T,R,n,V) = \frac{n \times R}{V} dT + \frac{n \times T}{V} dR + \frac{ R \times T}{V}dn - \frac{n \times R \times T}{V^2}dV</math>. la variation la plus grande s'obtiendra lorsque les 4 termes ci-dessus s'ajouteront : : <math>\delta P =\frac{n \times R}{V}\delta T + \frac{n \times T}{V}\delta R +\frac{ R \times T}{V}\delta n + \frac{n \times R \times T}{V^2}\delta V</math> donne l'erreur absolue sur P déduite du calcul de P à partir de la connaissance des erreurs sur T, R, n et V. Dans ce cas particulier, on a : : <math>\frac{dP (T,R,n,V)}{P} = \frac{P (T+dT,R+dR,n+dn,V+dV)-P (T,R,n,V)}{P}</math>. : <math>\frac{dP (T,R,n,V)}{P} = \frac{ \frac{n \times R}{V} dT + \frac{n \times T}{V} dR +\frac{ R \times T}{V} dn - \frac{n \times R \times T}{V^2} dV }{P}= \frac{dT}{T} + \frac{dR}{R} +\frac{dn}{n} - \frac{dV}{V}</math>. et donc dans l'absolu : : <math>\frac{\delta P}{P} =\frac{\delta T}{T} + \frac{\delta R}{R} +\frac{\delta n}{n} + \frac{\delta V}{V}</math>. On peut aussi utiliser la différentielle logarithmique : : <math> P =\frac{n \times R \times T}{V} </math>. Donc :<math> \ln(P) =\ln(n) +\ln(R) +\ln(T) -\ln(V)\,</math>. En dérivant, on obtient : : <math>\frac{dP}{P} =\frac{dT}{T} + \frac{dR}{R} +\frac{dn}{n} - \frac{dV}{V}</math>. Cette méthode plus rapide s'applique lorsqu'on cherche à faire la différentielle d'une fonction, quotient ou produit de plusieurs variables. Les incertitudes relatives s'ajoutent lorsque l'on a un produit de variables et ce résultat est remarquable car il est facile à retenir : les incertitudes relatives s'ajoutent lorsque la formule ne comporte que des produit (au sens large : une division est un produit par l'inverse). ==Utilisation de calculatrices== Ce qui vient d'être fait peut être fait par calcul direct avec une calculatrice ou un tableur (sur ordinateur): ; Utilisation de graphes et de barres d'erreurs Reprenons l'exemple de l'étude des gaz parfaits. Si l'on trace P en fonction de 1/V, on obtiendra théoriquement une droite passant par l'origine, avec comme pente RnT : y=(RnT).x. n et T étant maintenus constants (l'enceinte ou cellule de mesure contenant le gaz étant sans fuite et thermostatée avec T connu à 0,2%), P étant mesuré, en utilisant un [[manomètre]], avec 5% d'erreur relative, et V étant mesuré avec 2% d'erreur relative, pour chaque point de mesure expérimentale (P,1/V), on trace des barres d'erreurs représentant l'erreur absolue. [[Image:PV=nRT.jpg]] Un programme de « fit » ou d'ajustage de courbe, basé sur l'idée de minorer la distance de la droite (ou courbe) à tous les points expérimentaux, permet de tracer la droite théorique et de calculer sa pente nRT avec un coefficient de confiance r² proche de l'unité, si le fit est bon. On utilise la "[[méthode des moindres carrés]]" : le programme utilisé somme les distances entre la droite et chaque point, le minimum de cette somme correspondant à la meilleure droite de régression. Dans le cas de figure ci dessus, on obtient ainsi nRT= 2.54 (1 ± 0.07) Joule Ceci permet de dire que à n et T constants, l'expérience confirme que PV est constant à 7% près pour le gaz étudié et que pour améliorer ce résultat, il faut mesurer V à mieux que 5%. *[http://www.mrouaud.com/Incertitudes.html Proposition d'un tableur qui réalise la régression linéaire avec ou sans barres d'erreurs] *[http://www.uncertainty.de/Ten_Theses.pdf Ten Theses for a New GUM] {{Portail physique}} [[Catégorie:Statistiques]] [[de:Genauigkeit]] [[en:Accuracy and precision]] [[es:Exactitud]] [[nl:Nauwkeurigheid en precisie]]