Calcul numérique d'une intégrale
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2008-07-10T09:36:24Z
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robot Ajoute: [[zh:數值積分]]
En [[analyse numérique]], il existe toute une famille d'[[Algorithmique|algorithmes]] permettant d'approcher la valeur numérique d'une [[intégrale]]. Toutes consistent à approcher l'intégrale <math>I = \int f(x) \, dx</math> par une formule dite de '''quadrature''', du type <math>I(f) = \sum_{i=0}^p \omega_i f(x_i)</math>. Le choix de ''p'', des pondérations <math>\omega_i</math> et des nœuds <math>x_i</math> dépendent de la méthode employée. Il conviendra aussi de s'intéresser à la précision des formules utilisées.
Une première indication de l'efficacité d'une méthode est donnée par son '''ordre'''. Par définition, une méthode de quadrature est d'ordre ''n'' quand elle donne la valeur exacte de l'intégrale pour tout [[polynôme]] de degré inférieur ou égal à ''n'', et un résultat faux pour au moins un polynôme de degré ''n+1''.
== Méthode de calcul d'intégrale à une dimension ==
Ces méthodes utilisent l'[[interpolation (mathématiques)|interpolation]] des fonctions à intégrer. Généralement, les fonctions sont interpolées par des [[polynôme]]s dont on connait facilement la primitive.
=== Formules simples ===
==== Formules du rectangle et du point milieu ====
C'est la méthode la plus simple qui consiste à interpoler la fonction <math>f</math> à intégrer par une fonction constante (polynôme de degré 0). Soit <math>\xi</math> le point d'interpolation; la formule devient alors:
:<math>I(f) = (b-a) f(\xi)\,</math>
Le choix du point a de l'importance pour la détermination du terme d'erreur <math>E(f) = I - I(f)\,</math> :
* Si <math>\xi = a\,</math> ou <math>\xi = b\,</math>, l'erreur est <math>E(f) = \frac{(b-a)^2}{2} f'(\eta), \quad \eta \in [a,b]</math>. C'est la ''méthode du rectangle'';
* Si <math>\xi = (a+b)/2\,</math>, alors l'erreur devient <math>E(f) = \frac{(b-a)^3}{24} f''(\eta), \quad \eta \in [a,b]\,</math>. Il s'agit de la ''méthode du point milieu''.
Ainsi, le choix du point milieu améliore l'ordre de la méthode. La méthode du rectangle est exacte (c'est-à-dire <math>E(f) = 0</math>) pour les fonctions constantes et celle du point milieu est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à 1. Ceci s'explique par le fait que pour l'intégration de <math>x</math>, la méthode du point milieu donne lieu à deux erreurs d'évaluation, égales en valeur absolue et opposées en signe.
==== Formule du trapèze ====
Si on interpole ''f'' par un polynôme de degré un ([[fonction affine]]), on a besoin de deux points d'interpolation, à savoir (''a'', ''f''(''a'')) et (''b'', ''f''(''b'')). L'intégrale est alors approchée par l'aire du polynôme interpolateur, en l'occurrence un trapèze. Ceci justifie le nom de [[méthode des trapèzes]]:
:<math>I(f) = (b-a) \, \frac{f(a) + f(b)}{2}</math>
L'erreur commise est
:<math>E(f) = - \frac{(b-a)^3}{12} f''(\eta), \quad \eta \in [a,b]</math>
L'erreur s'annule pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à un. Selon ce critère, la méthode des trapèzes est donc moins performante que celle du point milieu, étant donné que les degrés d'exactitude sont les mêmes et que le nombre d'évaluations est plus grand pour la méthode des trapèzes que pour celle du point milieu.
==== Formule de Simpson ====
La fonction ''f'' est maintenant remplacée par une parabole, qui nécessite trois points d'interpolation. Les extrémités ''a'', ''b'', et leur milieu ''m'' sont choisis. La [[méthode de Simpson]] consiste alors à remplacer l'intégrale par
:<math>I(f) = \frac{(b-a)}{6} \left[ f(a) + 4 f(m) + f(b) \right]</math>
L'erreur est
:<math>E(f) = - \frac{(b-a)^5}{2880} f^{(4)}(\eta), \quad \eta \in [a,b]</math>
Le degré d'exactitude est de 3 pour cette méthode, pour 3 évaluations de ''f''.
Le tableau suivant résume les performances de chaque méthode
{|border="1" style="border:1px solid #999999;border-collapse:collapse"
|-bgcolor="#CCCCFF"
! Nom de la<br />Méthode
! Degré du<br />polynome
! Nombre de<br />points
! Degré<br />d’exactitude
! Degré<br />d’erreur
! Coefficient<br />d’erreur
|-align="center"
|align="left"| Rectangle || 0 || 1 || 0 || 2 || 1/2
|-align="center" bgcolor="#EEEEFF"
|align="left"| Point Milieu || 0 || 1 || 1 || 3 || 1/24
|-align="center"
|align="left"| Trapèze || 1 || 2 || 1 || 3 || -1/12
|-align="center" bgcolor="#EEEEFF"
|align="left"| Simpson || 2 || 3 || 3 || 5 || -1/2880
|}
Les [[formules de Newton-Cotes]] permettent de généraliser ces résultats sur des intervalles constants, où la fonction ''f'' est interpolée par des polynômes de degré de plus en plus élevé. Pour des questions de stabilité numérique, il est préferable de limiter le degré du polynôme d'interpolation en subdivisant l'intervalle en sous-intervalles, pour lesquels une interpolation linéaire est suffisante.
=== Formules composites ===
Pour chacune des méthodes précédentes, le terme d'erreur dépend de ''b-a''. Si cette amplitude est trop élevée, on peut réduire simplement l'erreur en découpant l'intervalle [''a'', ''b''] en ''n'' sous-intervalles, sur lesquels on calculera la valeur approchée de l'intégrale. On parle alors de '''formule composite'''. La valeur sur l'intervalle [''a'', ''b''] sera la somme de la valeur sur chaque sous-intervalle.
Pour la méthode du point milieu, la formule devient
:<math> I(f) = \frac{(b-a)}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f( m_k )</math>
où <math>m_k</math> est le milieu du ''k''-ième sous-intervalle. Puisque les ''n'' sous-intervalles sont identiques, ils sont de la forme [''a'' + ''k'' ''h'', ''a'' + (''k''+1) ''h''], avec ''h'' = (''b''-''a'')/''n'' et ''k'' = 0, 1, 2, ..., ''n''-1. Ceci entraîne finalement que <math>m_k = a + k h + h/2</math>.
Le terme d'erreur s'écrit <math>E(h)= h^2 \frac{(b-a)}{24} f''(\eta),\quad \eta\in [a,b]</math>. La formule composite a un ordre 1, comme précédemment. L'agrégation a fait baisser d'une puissance le terme en ''(a-b)''.
Pour la méthode des trapèzes, la formule composite est
:<math>I(f) = \frac{(b-a)}{n} \left( {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{n-1} f \left( a + k h \right) \right)</math>
Le terme d'erreur s'écrit <math>E(f)=-h^2 \frac{(b-a)}{12} f''(\eta),\quad \eta\in [a,b]</math>.
La formule composite de Simpson prend la forme
:<math>I(f) = \frac{h}{6} \left[f(a)+f(b) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + 4 \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i + h/2) \right]</math>
et l'erreur devient
:<math>E(f) = -h^4 \frac{(b-a)}{2880} f^{(4)}(\eta),\quad \eta\in [a,b]</math>
== Autres méthodes de quadrature numérique ==
* [[Méthode de Romberg]]
* [[Méthodes de quadrature de Gauss]]
=== Méthode de calcul d'intégrale à plusieurs dimensions ===
* [[Méthode de Monte-Carlo]]
=== Méthode de calcul d'intégrale de forme particulière===
[[Méthode de Laplace]] (<math>\int_a^b\! e^{M f(x)}\, dx\,</math>), [[Méthode du point col]] (<math>I(\lambda) = \int_\mathcal{C} f(z) e^{\lambda g(z)} \, dz\,</math>)
== Voir aussi ==
[http://cid-751a64d0d548d24b.skydrive.live.com/self.aspx/Public/Calcul%20approch%c3%a9%20d|4int%c3%a9grales,correction.rtf Corrections:cas d'exactitude]
{{Intégrale et primitive}}
* [[Règles de Bioche]]
{{portail mathématiques}}
[[Catégorie:Algorithme numérique]]
[[Catégorie:Intégration numérique|*]]
[[ca:Integració numèrica]]
[[cs:Numerická integrace]]
[[de:Numerische Integration]]
[[en:Numerical integration]]
[[es:Integración numérica]]
[[nl:Numerieke integratie]]
[[pl:Całkowanie numeryczne]]
[[pt:Integração numérica]]
[[ru:Численное интегрирование]]
[[sr:Нумеричка интеграција]]
[[uk:Чисельне інтегрування]]
[[zh:數值積分]]