Caractère (mathématiques)
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2008-02-08T23:11:43Z
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{{Voir homonymes|Caractère}}
{{ébauche|algèbre}}
En [[mathématiques]], un '''caractère''' est une notion associée à la [[théorie des groupes]].
Un '''caractère''' sur un [[groupe (mathématiques)|groupe]] ''G'', est un [[homomorphisme de groupe|morphisme]] de ''G'' dans le groupe multiplicatif (''C''<sup>*</sup>,•) du corps des [[nombre complexe|nombres complexes]].
Les caractères permettent une généralisation de l'[[analyse harmonique]] à de nombreux groupes.
==Définitions==
Ici ''G'' désigne un groupe, ''C'' le corps des nombres complexes et ''C''<sup>*</sup> son [[groupe des unités]].
:* Un '''caractère''' de ''G'' est un morphisme de groupe de ''G'' dans ''C''<sup>*</sup>.
Ils correspondent à un cas particulier de [[représentation des groupes|représentations]], celles complexe de dimension ''un''.
Un exemple d'un tel ''caractère'' en mathématiques est le [[caractère de Dirichlet]].
:* Le '''groupe dual''' de ''G'' est l'ensemble des caractères du groupe munis de la multiplication des fonctions.
Si le groupe ''G'' est [[groupe topologique|topologique]], alors un caractère est par définition [[Continuité|continu]], si ''G'' est un [[groupe de Lie]], alors un caractère est [[Différentielle|différentiable]].
La notion de caractère se généralise aux structure d'[[algèbre sur un corps|algèbres]] (i.e. un espace vectoriel muni d'une structure d'anneau).
:* Un '''caractère sur une algèbre''' est un morphisme d'algèbre (au sens de la structure d'espace vectoriel et de la structure multiplicative) de l'algèbre dans ''C''.
Dans le cas où l'algèbre est l'[[algèbre d'un groupe fini|algèbre d'un groupe]], alors les deux notions sont équivalentes.
:* Un '''caractère d'une représentation''' est une notion associée aux représentations d'un groupe, elle correspond à la trace de l'image d'un élément du groupe par la représentation.
==Groupe fini==
===Structure du groupe dual===
{{Article détaillé|Caractère d'un groupe fini}}
Dans le cas d'un groupe fini, le groupe dual est aussi fini. Il s'identifie au caractères de l'algèbre du groupe complexe associé et forme une famille [[orthogonalité|orthogonale]] incluse dans le [[centre (algèbre)|centre]] de l'algèbre.
Si le groupe est de plus abélien, alors le groupe dual est isomorphe à ''G'', les caractères forment alors une [[base orthonormale]] de l'algèbre.
===Analyse harmonique sur un groupe abélien fini===
{{Article détaillé|Analyse harmonique sur un groupe abélien fini}}
Dans le contexte d'un groupe abélien fini, la théorie de l'analyse harmonique est relativement simple à établir. La [[transformée de Fourier]] correspond à une somme finie et le groupe dual est isomorphe à ''G''.
En conséquence, les résultats classiques comme l'[[égalité de Parseval]], le [[théorème de Plancherel]] ou la [[formule sommatoire de Poisson]] s'appliquent.
==Dualité de Pontryagin==
{{Article détaillé|Dualité de Pontryagin}}
L'objectif de la théorie de la dualité de Pontryagin est la généralisation de l'analyse harmonique au cas où le groupe est [[groupe abélien|abélien]] et [[espace localement compact|localement compact]].
Associée à la avec la [[mesure de Haar]] introduite par [[John von Neumann]], [[André Weil]] et d'autres, elle permet d'établir les principaux résultats associés à la transformée de Fourier.
==Références==
*{{Serre1}}
* J-P. Serre, ''Représentations linéaires des groupes finis''.
* A. Warusfel ''Structures algébriques finies'' Hachette 1971
* G. Peyré ''L'algèbre discrète de la transformée de Fourier'' Ellipses Marketing 2004
* J. Dixmier, ''Les C*-algèbres et leurs Représentations'' Gauthier-Villars 1969
* W. Rudin, ''Fourier Analysis on Groups'', 1962
[[Catégorie:Théorie des représentations]]
[[Catégorie:Analyse harmonique]]
{{Portail mathématiques}}
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[[ru:Характер (теория групп)]]