Caractère de Dirichlet 10738 31685794 2008-07-18T16:46:24Z 81.184.47.48 /* Liens externes */ [[Image:johann_dirichlet.jpg|thumb|250px|right|Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] En [[mathématiques]], et plus précisément en [[arithmétique modulaire]], un '''caractère de Dirichlet''' est une [[fonction (mathématiques)|fonction]] souvent notée χ de l'ensemble des [[congruence sur les entiers|congruences sur les entiers]] dans l'ensemble des [[nombre complexe|nombres complexes]] particulière. Elle a été découverte par [[Dirichlet]] <small>([[1805 en science|1805]] - [[1859 en science|1859]])</small> pour la démonstration<ref>[[Dirichlet]] ''Recherches de diverses applications de l'analyse infinitésimale à la théorie des nombres'' J. Reine Angew math. (19) 1839 ibid (21) 1840</ref> de son [[théorème de la progression arithmétique]]. == Définitions == Dans cet article ''n'' désigne un entier strictement positif. Les caractères de Dirichlet se définissent naturellement sur le [[groupe des unités]], noté ''U'' dans la suite de l'article, de l'[[anneau Z/nZ]] : :* Un '''caractère de Dirichlet''' χ est un [[caractère d'un groupe fini|caractère]] du [[groupe des unités]] ''U''. Un caractère est ici un [[morphisme]] d'un [[groupe abélien fini]] dans l'ensemble des [[nombre complexe|nombres complexes]]. :* Le '''conducteur''' d'un caractère de Dirichlet est l'entier ''n'' définissant l'anneau ''Z''/''nZ''. :* Un caractère de Dirichlet est dit '''primitif''' si et seulement si son [[noyau (algèbre)|noyau]] est réduit à l'élément neutre. :* Le caractère de Dirichlet valant 1 sur le groupe des unités est appelé '''caractère principal''' de conducteur ''n''. :* Le caractère de Dirichlet valant 1 sur tous les entiers est dit '''caractère trivial'''. == Définition historique == La définition historique considère un caractère de Dirichlet comme la composition ψ''o'' φ ou φ désigne le morphisme canonique de l'ensemble des [[entier naturel|entiers]] ''Z'' dans ''Z''/''nZ'' et ψ le prolongement de χ sur ''Z''/''nZ'' par la valeur 0. Ainsi, si ''x'' est un élément non inversible de ''Z''/''nZ'', alors ψ(''x'') = 0, sinon ψ(''x'') = χ(''x'') . Un entier ''k'' a pour image l'image de sa classe par le morphisme prolongé en 0 hors du groupe des unités. Il est caractérisé par les propriétés suivantes : * il existe un entier positif ''n'' tel que quelque soit ''k'' entier χ(''k'' + ''n'') = χ(''k''), ce qui signifie que le caractère est périodique de période ''n''. * Si ''k'' n'est pas [[nombres premiers entre eux|premier]] avec ''n'' alors χ(''k'') est nul. * Si ''k'' et ''l'' sont deux entiers, alors χ(''k.l'')=χ(''k'').χ(''l'') * χ(''1'') = 1 Par définition, un caractère de Dirichlet est une [[fonction multiplicative|fonction complètement multiplicative]]. ==Propriétés== === Propriétés élémentaires === {{Article détaillé|Anneau Z/nZ}} :* ''L'ordre du groupe des unités est égal à φ(''n'') si φ désigne l'[[indicatrice d'Euler]].'' Cette propriété est démontrée dans l'article détaillé au paragraphe [[Anneau Z/nZ#Groupe des unités|Anneau Z/nZ]]. :* ''Les valeurs du caractères sont donc des racines φ(''n'')<sup>èmes</sup>''. Cette propriété est une conséquence du [[théorème de Lagrange]]. :* ''Le produit de deux caractères est un caractère.'' :* ''Si χ est un caractère, alors le [[conjugué]] de χ est aussi un caractère, il correspond à son caractère inverse pour la multiplication.'' :* ''L'image de l'inverse d'une unité par un caractère de Dirichlet est le conjugué de son image.'' === Analyse harmonique === {{Article détaillé|Analyse harmonique sur un groupe abélien fini}} :* ''Les caractères de Dirichlet forment un groupe [[isomorphisme|isomorphe]] au groupe des unités ''U''. Cette propriété est le propre de l'ensemble des caractères de tout groupe abélien fini. Elle est démontrée dans le paragraphe [[Caractère d'un groupe fini#Groupe abélien|Groupe abélien]] de l'article [[Caractère d'un groupe fini]]. Ici ''C''<sup>U</sup> désigne l'ensemble des fonctions du groupe des unités à valeurs complexes. C'est un [[espace vectoriel]] complexe. Il peut être muni du [[produit hermitien]] noté ici < , > et défini par : <center><math>\forall f,g \in \mathbb C^U \quad < f , g > = \frac 1{\varphi(n)}\sum_{x \in \mathbb U} f(x)^*g(x)</math></center> Ici le conjugué d'un nombre complexe ''c'' est noté ''c''<sup>*</sup>. :* ''L'ensemble des caractères de Dirichlet forme une [[base orthonormale]] de ''C''<sup>U</sup>.'' C'est propriété est aussi générale à tout groupe de caractères d'un groupe abélien fini, elle est démontrée dans le paragraphe [[Caractère d'un groupe fini#Algèbre du groupe|Algèbre du groupe]] de l'article [[Caractère d'un groupe fini]]. La [[transformée de Fourier]] d'une fonction ''f'' de ''C''<sup>U</sup> est définie, c'est une fonction notée ici <math>\scriptstyle \widehat f </math> de l'ensemble des caractères, noté ici <math>\scriptstyle \widehat U </math> et à valeurs dans les complexes. Elle vérifie la formule suivante : <center><math>\forall \chi \in \widehat U \quad \widehat f (\chi) = \frac1{\sqrt {\varphi (n)}}\sum_{x \in \mathbb U} f(x)\chi (x)^* </math></center> La [[théorème de Plancherel]] exprime l'égalité suivante : <center><math>\forall f \in \mathbb C^U \quad f = \frac1{\sqrt {\varphi (n)}} \sum_{\chi \in \widehat {\mathbb U}} \widehat f (\chi).\chi </math></center> === Symbole de Legendre === {{Article détaillé|Symbole de Legendre}} :* ''Si ''n'' est plus grand que deux, alors l'ordre du groupe des unités est pair.'' En effet, si ''p'' est un [[nombre premier]] diviseur de ''n'' différent de deux alors ''p'' - 1 est un diviseur de φ(''n'') et ''p'' - 1 est pair. Sinon ''n'' est égal à 2<sup>r</sup> où ''r'' est un entier strictement supérieur à 1 et φ(''n'') est égal à 2<sup>r - 1</sup>. :* ''Si ''n'' est une puissance d'un nombre premier impair alors il existe un unique caractère non principal à valeurs [[nombre réel|réelles]], c'est le symbole de Legendre.'' En effet, si le conducteur est une puissance d'un nombre premier impair, alors le groupe des unités est cyclique ''(cf le paragraphe [[Anneau Z/nZ#Cas où n n'est pas premier|Cas où n n'est pas premier]] de l'article [[Anneau Z/nZ]])''. L'ordre du groupe multiplicatif est pair, il existe donc un unique élément d'ordre deux. Le groupe des caractères, isomorphe au groupe multiplicatif ne contient lui aussi qu'un élément d'ordre deux. Si un caractère est à valeurs réelles, comme les valeurs sont des racines de l'unité, elles ne peuvent être égales qu'à 1 ou -1, elle est donc d'ordre deux. Comme il n'existe qu'un élément d'ordre deux, il n'existe qu'un caractère à valeur réelles différent du caractère principal. Or le symbole de Legendre est un caractère non principal. Ce qui termine la démonstration. == Théorème de la progression arithmétique == === Produit eulérien === {{Article détaillé|Produit eulérien}} L'objectif initial des caractères de Dirichlet est de dénombrer les nombres premiers dans une classe ''x'' de ''Z''/''nZ'' ce qui revient à démontrer le [[théorème de la progression arithmétique]]. On remarque que, à l'exception des diviseurs premiers de ''n'', qui sont en nombre fini, ces nombres premiers se trouvent tous dans les classes du groupes des unités noté ''U''. Il est donc utile de choisir ''x'' une classe inversible. Dirichlet cherche une fonction ω de ''D''x''U'' où ''D'' désigne le demi-[[plan complexe]] des nombres dont la partie réelle est strictement supérieure à ''un'' et à valeurs complexes. La valeur en (''s'', ''x'') doit fournir suffisamment d'informations pour conclure. Il choisit la fonction suivante : <center><math>\forall s \in \mathbb C \quad \forall x \in \mathbb U \quad \mathfrak {Re} (s) > 1 \ \Rightarrow \ \omega (s, x) = \sum_{p \in \mathcal P \ p^k \in x}\sum_{k=1}^{+\infty} \frac 1{k(p^k)^s} </math></center> Le théorème de Plancherel permet une expression plus agréable de l'expression : <center><math>\forall s \in \mathbb C \quad \forall x \in \mathbb U \quad \mathfrak {Re} (s) > 1 \ \Rightarrow \ \omega (s, x) = \frac 1{\varphi (n)}\sum_{\chi \in \widehat \mathbb U} \chi(x)^* \; log \Bigg( \prod_{p \in \mathcal P} \Big(1 -\frac {\chi(p)}{p^s}\Big)^{-1} \Bigg) </math></center> La formule finale possède un avantage : le produit n'est plus limité aux nombres premiers inclus dans la classe ''x'' mais à tous les nombres premiers. Un tel produit porte le nom de '''produit eulérien'''. {{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu= Ici, ''s'' désigne un nombre complexe dont la partie réelle est strictement supérieure à ''un'' et ''x'' une classe du groupe des unités ''U''. Avant d'établir les convergences, définissons ''P'' <sub>l</sub> comme l'ensemble des ''l'' premiers nombres premiers et ''m'' un entiers strictement positif. Soit alors ω<sub>lm</sub> la fonction définie par : <center><math>\omega_{lm} (s,x) = \sum_{p \in \mathcal P_l \ p^k \in x}\sum_{k=1}^m \frac 1{k(p^k)^s} </math></center> La transformée de Fourier de ω<sub>lm</sub>, pour le caractère χ, est définie par : <center><math>(1) \quad \widehat \omega_{lm} (s, \chi) = \frac1{\sqrt {\varphi (n)}}\sum_{u \in \mathbb U} \omega_{lm} (u)\chi (u)^* = \frac1{\sqrt {\varphi (n)}}\sum_{u \in \mathbb U} \sum_{p \in \mathcal P_l \ p^k \in u}\sum_{k=1}^{m} \frac {\chi (p^k)^*}{k(p^k)^s} = \frac1{\sqrt {\varphi (n)}}\sum_{p \in \mathcal P_l}\sum_{k=1}^{m} \frac 1k \Big( \frac {\chi (p)^*}{p^s}\Big)^k </math></center> La série suivante est [[Convergence absolue|absolument convergente]] car la norme de la valeur d'un caractère est égale à un et ''p'' <sup>s</sup> est, en module, strictement supérieur à un. Elle converge vers un [[logarithme complexe]] noté ici ''log''. Le logarithme choisi est tel que l'image de un est égal à zéro et il est bien défini sur le disque de centre un et de rayon un demi. <center><math>(2) \quad \sum_{k=1}^{m} \frac 1k \Big( \frac {\chi (p)^*}{p^s}\Big)^k = - log \Big( 1 - \frac {\chi (p)^*}{p^s} \Big) = log \Bigg( \Big( 1 - \frac {\chi (p)^*}{p^s} \Big)^{-1} \Bigg) </math></center> On en déduit que la suite qui à ''m'' associe <math>\scriptstyle \widehat \omega_{lm}</math> est absolument convergente, soit <math>\scriptstyle \widehat \omega_{l}</math> sa limite. L'égalité ''(1)'' devient, avec l'expression de l'égalité ''(2)'' : <center><math>(3) \quad \widehat \omega_{l} (s, \chi) =\frac1{\sqrt {\varphi (n)}}\sum_{p \in \mathcal P_l} log \Bigg( \Big( 1 - \frac {\chi (p)^*}{p^s} \Big)^{-1} \Bigg) = \frac1{\sqrt {\varphi (n)}} log \Bigg( \prod_{p \in \mathcal P_l} \Big( 1 - \frac {\chi (p)^*}{|p^s|} \Big)^{-1} \Bigg) </math></center> La majoration suivante montre que la suite (<math>\scriptstyle \widehat \omega_{l}</math>) est absolument convergente : <center><math>\forall p \in \mathcal P \quad \left| \frac {\chi(p)^*}{p^s} \right| = \frac1{|p^s|} \ \le \ \frac 12 \ \Rightarrow \ \left| log \Bigg( \Big(1 - \frac {\chi (p)^*}{p^s}\Big)^{-1} \Bigg) \right| \le - log (1 - \frac1{|p^s|}) < \frac2{|p^s|} </math></center> Soit <math>\scriptstyle \widehat \omega </math> la limite on obtient, à partir de la formule ''(3)'' : <center><math>\widehat \omega (s,\chi) =\frac1{\sqrt {\varphi (n)}}\sum_{p \in \mathcal P} log \Bigg( \Big( 1 - \frac {\chi (p)^*}{p^s} \Big)^{-1} \Bigg)</math></center> Ce qui termine la démonstration. }} === Séries L de Dirichlet === {{Article détaillé|série L de Dirichlet}} Les techniques associés au produit eulérien permettent d'exprimer le produit précédent sous une forme plus plaisante : <center><math>\forall s \in \mathbb C \quad \forall \chi \in \widehat U \quad \mathfrak {Re} (s) > 1 \ \Rightarrow \ L(s, \chi) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac {\chi(k)}{k^s} \ = \ \prod_{p \in \mathcal P} \Big(1 -\frac {\chi(p)}{p^s}\Big)^{-1} </math></center> :* La fonction ''L''(''s'', χ) est appelée '''série L de Dirichlet''' du caractère χ. La convergence est absolue si ''s'' est un [[nombre complexe]] avec une partie réelle > 1. Par [[prolongement analytique]], cette fonction peut être étendue à une [[fonction méromorphe]] sur le [[plan complexe]] entier. Les séries L de Dirichlet sont les généralisations directes de la [[fonction zêta de Riemann]] et apparaissent comme prééminentes dans l' [[hypothèse de Riemann généralisée]]. == Histoire == Les caractères de Dirichlet et leurs séries L furent introduits par [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]], en [[1831]], en vue de prouver le [[théorème de Dirichlet]] à propos de l'infinité des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. L'extension aux [[fonction holomorphe|fonctions holomorphes]] fut accomplie par [[Bernhard Riemann]]. == Voir aussi == *[[Caractère d'un groupe fini]] *[[Analyse harmonique sur un groupe abélien fini]] *[[Dualité de Pontryagin]] *[[Hypothèse de Riemann généralisée]] === Notes === <references /> === Liens externes === * {{en}} [http://www.uni-math.gwdg.de/tschinkel/gauss-dirichlet/elstrodt-new.pdf The life and work of Dirichlet] par Jürgen Elstrodt {{portail mathématiques}} [[Catégorie:Caractère de Dirichlet]] [[Catégorie:Analyse harmonique discrète]] [[ca:Caràcter de Dirichlet]] [[en:Dirichlet character]] [[hu:Dirichlet-karakter]] [[ja:ディリクレ指標]] [[ru:Характер (теория чисел)]] [[zh:狄利克雷特徵]]