Carré 3039336 31541458 2008-07-13T12:33:58Z Valvino 116222 Révocation de vandalisme par [[Special:Contributions/78.114.216.50|78.114.216.50]] ; retour à la version de [[Special:Contributions/MelancholieBot|MelancholieBot]] {{voir homonymes}} Un '''[[carré]]''' est un [[polygone régulier]] à quatre côtés : c'est un [[quadrilatère]] qui est à la fois un [[rectangle]] (il a quatre angles droits) et un [[losange]] (ses quatre côtés ont la même longueur). Le terme [[Carré (algèbre)|carré]] d'un nombre désigne également l'élévation de ce nombre à la [[puissance (mathématiques élémentaires)|puissance]] 2 (sans doute en référence à la manière de calculer l'aire à partir du côté) : « ''a''² » peut se lire « ''a'' au carré ». La [[courbe représentatrice]] de la fonction ƒ(''x'') = ''x''² est une [[parabole]]. [[Image:geometrie_carre.png|thumb|Un carré ''ABCD'']] = Notions de bases = Un '''carré''' est un à la fois un [[losange]] et un [[rectangle]]. Il a donc les propriétés de ces deux quadrilatères : <ul> <li>Quatre angles droits <li>Tous les côtés ont la même longueur. </ul> De plus : <ul> <li>Ses diagonales ont la même longueur se coupent en leurs milieux en angle droit et séparent le carré en quatre triangles rectangles isocèles semblables. </ul> <li>la somme des carrés de ses diagonales est égales à la somme des carrés des 4 côtés</li> On peut définir entièrement un carré par la longueur de ses côtés (la phrase « un carré de côté c » suffit à le décrire entièrement). * L'aire d'un carré est c × c = c² * Le périmètre d'un carré est 4c = Pour approfondir = == Propriétés == ==== Angles et côtés ==== Les côtés d'un carré sont tous de même longueur. Les quatre angles d'un carré sont droits. Les côtés opposés d'un carré sont parallèles deux à deux. Les diagonales d'un carré sont de même longueur, perpendiculaires et se coupent en leur milieu O. Soit "a" la longueur d'un côté d'un carré, alors : :* le périmètre du carré vaut 4a ; :* chaque diagonale mesure ''a''√2 ; :* l'aire du carré est ''a''². ==== Symétries ==== * Le carré est invariant par les rotations de centre O et d'angles π/4, π/2 ou 3π/4. :* La rotation d'angle π/2 équivaut à une symétrie centrale : le carré a donc O pour centre de symétrie. * Le carré est invariant par symétrie axiale selon les bissectrices des côtés et selon les diagonales. * Toute droite passant par O divise le carré en deux parties superposables. Il est enfin à noter que le carré possède les propriétés de tous les autres quadrilatères. * * * * == Propriétés caractéristiques == à l'inverse du rond, qui abonde dans la nature, le carré n'est pas présent à l'état naturel; l'angle droit est une production humaine, signe de civilisation. == Construction == === Construction au compas seul === [[Image:Square with compass only.svg|300px]] On souhaite construire le carré de sommets <math>ABCD</math> connaissant seulement les points <math>A</math>et <math>B</math>. Posons <math>R</math> la distance entre <math>A</math>et <math>B</math>; alors, on procède comme suit: *On trace <math>C_1</math>le cercle de centre <math>A</math> et de rayon <math>R</math> (qui contient alors <math>B</math>) <math>\Rightarrow</math> on a un troisième point du carré sur cette courbe. *On trace <math>C_2</math> le cercle de centre <math>B</math>et de rayon <math>R</math> (qui contient alors <math>A</math>) <math>\Rightarrow </math> le quatrième point du carré se trouve sur cette courbe. *Posons <math>G</math> un point d'intersection de <math>C_1</math> avec <math>C_2</math>; on construit alors <math>C_3</math> centré en <math>G</math> et de rayon <math>R</math>. Ce cercle intersecte <math>C_1</math> en <math>B</math> et en un autre point <math>H</math>. *<math>C_4</math>, de centre <math>H</math> et de rayon <math>R</math>, intersecte <math>C_1</math> en <math>G</math> et en un nouveau point <math>I</math>. *Posons <math>S</math> la distance entre <math>G</math> et <math>I</math>; on construit alors <math>C_5</math> de centre <math>I</math> et de rayon <math>S</math> (il contient forcément <math>G</math>). *<math>C_6</math> s'obtient en prenant pour centre <math>B</math> et pour rayon <math>S</math> (il contient forcément <math>H</math>). On note <math>J</math> le point d'intersection entre <math>C_6</math> et <math>C_5</math> qui est du même côté que <math>G</math> par rapport à la droite <math>AB</math>. *Si <math>T</math> est la distance entre <math>A</math> et <math>J</math>, on construit <math>C_7</math> le cercle de centre <math>A</math> et de rayon <math>T</math> (il contient forcément <math>J</math>). <math>\Rightarrow </math> Le point <math>C</math> est obtenu par intersection entre <math>C_7</math> et <math>C_2</math>. *On construit alors <math>C_8</math> de centre <math>C</math> et de rayon <math>R</math>. <math>\Rightarrow </math> L'intersection de <math>C_8</math> et <math>C_1</math> est le point <math>D</math>. == Voir aussi == * [[Cube]] * [[Hypercube]] * [[Racine carrée de deux]] {{Portail mathématiques}} [[Catégorie:Quadrilatère]] [[Catégorie:Polygone]] [[af:Vierkant]] [[an:Cuadrato]] [[ar:مربع]] [[ast:Cuadráu]] [[ay:Pusi k'uchuni]] [[az:Kvadrat]] [[be:Квадрат]] [[be-x-old:Квадрат]] [[bg:Квадрат]] [[bn:বর্গক্ষেত্র]] [[bs:Kvadrat]] [[ca:Quadrat (polígon)]] [[cs:Čtverec]] [[cy:Sgwâr]] [[da:Kvadrat]] [[de:Quadrat (Geometrie)]] [[el:Τετράγωνο]] [[en:Square (geometry)]] [[eo:Kvadrato (geometrio)]] [[es:Cuadrado]] [[et:Ruut]] [[eu:Lauki]] [[fa:مربع]] [[fi:Neliö (geometria)]] [[gl:Cadrado]] [[he:ריבוע]] [[hi:वर्गाकार]] [[hr:Kvadrat]] [[ht:Kare]] [[hu:Négyzet]] [[id:Bujur sangkar]] [[io:Quadrato]] [[is:Ferningur]] [[it:Quadrato (geometria)]] [[ja:正方形]] [[ka:კვადრატი]] [[km:ការ៉េ]] [[ko:정사각형]] [[la:Quadrum]] [[li:Veerkant]] [[lo:ຮູບຈັດຕຸລັດ]] [[lt:Kvadratas]] [[lv:Kvadrāts]] [[mk:Квадрат]] [[mn:Квадрат]] [[mr:चौरस]] [[nl:Vierkant (meetkunde)]] [[nn:Kvadrat]] [[no:Kvadrat]] [[pl:Kwadrat]] [[pt:Quadrado]] [[qu:T'asra]] [[ro:Pătrat]] [[ru:Квадрат]] [[scn:Quatratu]] [[sco:Squerr]] [[sh:Kvadrat]] [[simple:Square (geometry)]] [[sk:Štvorec]] [[sl:Kvadrat (geometrija)]] [[sr:Квадрат]] [[sv:Kvadrat]] [[sw:Mraba]] [[ta:சதுரம்]] [[th:รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส]] [[tl:Parisukat]] [[tr:Kare]] [[uk:Квадрат]] [[uz:Kvadrat]] [[vi:Hình vuông]] [[vls:Vierkant]] [[yi:קוואדראט]] [[zh:正方形]] [[zh-yue:正方形]]