Carré
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2008-07-13T12:33:58Z
Valvino
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{{voir homonymes}}
Un '''[[carré]]''' est un [[polygone régulier]] à quatre côtés : c'est un [[quadrilatère]] qui est à la fois un [[rectangle]] (il a quatre angles droits) et un [[losange]] (ses quatre côtés ont la même longueur).
Le terme [[Carré (algèbre)|carré]] d'un nombre désigne également l'élévation de ce nombre à la [[puissance (mathématiques élémentaires)|puissance]] 2 (sans doute en référence à la manière de calculer l'aire à partir du côté) : « ''a''² » peut se lire « ''a'' au carré ». La [[courbe représentatrice]] de la fonction ƒ(''x'') = ''x''² est une [[parabole]].
[[Image:geometrie_carre.png|thumb|Un carré ''ABCD'']]
= Notions de bases =
Un '''carré''' est un à la fois un [[losange]] et un [[rectangle]].
Il a donc les propriétés de ces deux quadrilatères :
<ul>
<li>Quatre angles droits
<li>Tous les côtés ont la même longueur.
</ul>
De plus :
<ul>
<li>Ses diagonales ont la même longueur se coupent en leurs milieux en angle droit et séparent le carré en quatre triangles rectangles isocèles semblables.
</ul>
<li>la somme des carrés de ses diagonales est égales à la somme des carrés des 4 côtés</li>
On peut définir entièrement un carré par la longueur de ses côtés (la phrase « un carré de côté c » suffit à le décrire entièrement).
* L'aire d'un carré est c × c = c²
* Le périmètre d'un carré est 4c
= Pour approfondir =
== Propriétés ==
==== Angles et côtés ====
Les côtés d'un carré sont tous de même longueur.
Les quatre angles d'un carré sont droits.
Les côtés opposés d'un carré sont parallèles deux à deux.
Les diagonales d'un carré sont de même longueur, perpendiculaires et se coupent en leur milieu O.
Soit "a" la longueur d'un côté d'un carré, alors :
:* le périmètre du carré vaut 4a ;
:* chaque diagonale mesure ''a''√2 ;
:* l'aire du carré est ''a''².
==== Symétries ====
* Le carré est invariant par les rotations de centre O et d'angles π/4, π/2 ou 3π/4.
:* La rotation d'angle π/2 équivaut à une symétrie centrale : le carré a donc O pour centre de symétrie.
* Le carré est invariant par symétrie axiale selon les bissectrices des côtés et selon les diagonales.
* Toute droite passant par O divise le carré en deux parties superposables.
Il est enfin à noter que le carré possède les propriétés de tous les autres quadrilatères.
*
*
*
*
== Propriétés caractéristiques ==
à l'inverse du rond, qui abonde dans la nature, le carré n'est pas présent à l'état naturel; l'angle droit est une production humaine, signe de civilisation.
== Construction ==
=== Construction au compas seul ===
[[Image:Square with compass only.svg|300px]]
On souhaite construire le carré de sommets <math>ABCD</math> connaissant seulement les points <math>A</math>et <math>B</math>. Posons <math>R</math> la distance entre <math>A</math>et <math>B</math>; alors, on procède comme suit:
*On trace <math>C_1</math>le cercle de centre <math>A</math> et de rayon <math>R</math> (qui contient alors <math>B</math>)
<math>\Rightarrow</math> on a un troisième point du carré sur cette courbe.
*On trace <math>C_2</math> le cercle de centre <math>B</math>et de rayon <math>R</math> (qui contient alors <math>A</math>)
<math>\Rightarrow </math> le quatrième point du carré se trouve sur cette courbe.
*Posons <math>G</math> un point d'intersection de <math>C_1</math> avec <math>C_2</math>; on construit alors <math>C_3</math> centré en <math>G</math> et de rayon <math>R</math>. Ce cercle intersecte <math>C_1</math> en <math>B</math> et en un autre point <math>H</math>.
*<math>C_4</math>, de centre <math>H</math> et de rayon <math>R</math>, intersecte <math>C_1</math> en <math>G</math> et en un nouveau point <math>I</math>.
*Posons <math>S</math> la distance entre <math>G</math> et <math>I</math>; on construit alors <math>C_5</math> de centre <math>I</math> et de rayon <math>S</math> (il contient forcément <math>G</math>).
*<math>C_6</math> s'obtient en prenant pour centre <math>B</math> et pour rayon <math>S</math> (il contient forcément <math>H</math>). On note <math>J</math> le point d'intersection entre <math>C_6</math> et <math>C_5</math> qui est du même côté que <math>G</math> par rapport à la droite <math>AB</math>.
*Si <math>T</math> est la distance entre <math>A</math> et <math>J</math>, on construit <math>C_7</math> le cercle de centre <math>A</math> et de rayon <math>T</math> (il contient forcément <math>J</math>).
<math>\Rightarrow </math> Le point <math>C</math> est obtenu par intersection entre <math>C_7</math> et <math>C_2</math>.
*On construit alors <math>C_8</math> de centre <math>C</math> et de rayon <math>R</math>.
<math>\Rightarrow </math> L'intersection de <math>C_8</math> et <math>C_1</math> est le point <math>D</math>.
== Voir aussi ==
* [[Cube]]
* [[Hypercube]]
* [[Racine carrée de deux]]
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