Cercle
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2008-07-17T15:58:05Z
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{{Voir homonymes|cercle (homonymie)}}
Le terme '''cercle''' a plusieurs sens dérivés de son sens géométrique initial.
Dans son sens premier, le cercle est le « rond », la figure ''idéale'' à laquelle on réduit la forme de nombreux objets naturels ou artificiels : le [[Soleil]], un [[œil]], la [[circonférence]] d'un arbre ou une [[roue]].
Pendant longtemps, le langage courant employait ce terme autant pour nommer la courbe ([[circonférence]]) que la surface qu'elle délimite. De nos jours, en [[mathématiques]], le cercle désigne exclusivement la courbe ; la surface étant appelée [[disque (géométrie)|disque]].
Un cercle est une figure sans aucun angle. Un cercle est défini par un ensemble de points situés à égale distance d'un point appelé centre du cercle.
== Géométrie ==
[[Image:Cercle.png|thumb|left|Cercle de centre C et de rayon r dans un plan muni d'un repère orthonormé]]
[[Image:Cercle trigo.png|thumb|right|Cercle unité : centré sur l'origine du repère et de rayon 1 ; définition du sinus et du cosinus]]
Un '''cercle''' est une [[courbe plane]] constituée des points situés à égale distance d'un point nommé '''centre'''. La valeur de cette distance est appelée [[rayon (géométrie)|rayon]] du cercle. Celui-ci étant infiniment variable, il existe donc une infinité de cercles pour un centre quelconque, dans chacun des plans de l'espace.
[[Image:conique_cercle.png|thumb|left|130px|Un cercle est une section droite d'un cône.]]
Le cercle est une [[ellipse (mathématiques)|ellipse]] dont les foyers sont confondus au centre du cercle ; la longueur du grand axe est égale à la longueur du petit axe. C'est une [[conique]] dont l'excentricité <math>e</math> vaut 0. Elle peut être obtenue par l'intersection d'un plan avec un [[cône (géométrie)|cône]] de révolution lorsque le plan est perpendiculaire à l'axe de révolution du cône (on parle parfois de « section droite » du cône).
Dans un espace euclidien, il s'agit du ''rond'' qui est associé en français au terme de cercle. Dans un espace non euclidien ou dans le cas de la définition d'une distance non euclidienne, la forme peut être plus complexe.
Dans un plan muni d'un repère orthonormé, le [[cercle unité]] ou [[cercle trigonométrique]] est le cercle dont le centre est l'origine du repère, et dont le rayon vaut 1.
[[Image:Cercle_dessin_indus.png|thumb|Représentation conventionnelle d'un cercle en dessin industriel]]
En [[dessin industriel]], un cercle est le plus souvent représenté avec son axe horizontal et son axe vertical (en traits d'axe : trait fin composé de tirets longs et courts), ou bien simplement avec son centre matérialisé par un croix droite « + » en traits fins. Une forme de révolution, pleine ou creuse ([[cylindre]], [[cône (géométrie)|cône]], [[sphère]]) et vue selon l'axe de révolution est représentée par un cercle.
{{clr}}
=== Définitions ===
[[Image:Cercle definitions.png|thumb|right|définition d'objets géométriques liés au cercle]]
*Une '''corde''' est un segment de droite dont les extrémités se trouvent sur le cercle.
*Un '''arc''' est une portion de cercle délimitée par deux points.
*Une '''flèche''' est le segment reliant les milieux d'un arc et d'une corde définis par deux mêmes points.
*Un '''[[rayon (géométrie)|rayon]]''' est un segment de droite joignant le centre à un point du cercle.
*Un '''[[diamètre]]''' est une corde passant par le centre ; c'est un segment de droite qui délimite le disque en deux parts égales. Le diamètre est composé de deux rayons [[colinéarité|colinéaires]] ; sa longueur est <math>2r</math>.
=== Propriétés géométriques ===
Voici quelques propriétés géométriques du cercle.
==== Mesures ====
La [[longueur d'un arc]] sous-tendu par un angle <math>\alpha</math>, exprimé en [[radian]]s, est égale à <math>\alpha r</math>. Ainsi, pour un angle de <math>2\pi</math> (un tour complet), le périmètre (la circonférence) du cercle vaut <math>2\pi r</math>.
La longueur d'une corde sous-tendue par un angle <math>\alpha</math> est égale à <math>2r\sin(\alpha/2)</math>.
L'aire du [[disque (géométrie)|disque]] délimité par un cercle de rayon <math>r</math> vaut <math>\pi r^2</math> ; si l'on prend une corde de longueur <math>l</math> donnée et que l'on s'en sert pour délimiter une surface fermée, la surface ayant la plus grande aire est délimitée par un cercle.
Selon la légende de la fondation de [[Carthage]], le souverain avait permis aux Phéniciens de fonder une ville dont le pourtour serait délimité par une peau de [[vache]] ; [[Didon]] en fit une grande lanière et choisit une forme circulaire pour avoir la plus grande surface.
==== Tangente ====
[[Image:Cercle tangente rayon.png|thumb|right|Tangente perpendiculaire au rayon]]
La tangente en un point du cercle est perpendiculaire au rayon en ce point.
Cette propriété a des applications en [[optique géométrique]] : un rayon lumineux passant par le centre d'un [[miroir]] sphérique repart en sens inverse selon la même direction (on a une [[Réflexion optique|réflexion]] perpendiculaire au miroir). Si l'on met une ampoule au centre d'un miroir sphérique, la lumière est renvoyée de l'autre côté, ce qui permet par exemple de « rabattre » la lumière vers un miroir parabolique (principe du contre-miroir).
==== Médiatrice ====
[[Image:Cercle mediatrice corde.png|thumb|left|La médiatrice d'une corde passe par le centre.]]
On peut montrer que la médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle.
Ceci permet de trouver le centre d'un cercle : il suffit de tracer deux cordes non parallèles et de rechercher l'intersection de leurs médiatrices.
On peut aussi montrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes et que le point de concours est le centre du cercle passant par les trois sommets, appelé [[cercle circonscrit]] au [[triangle]].
==== Cercle et triangle rectangle ====
[[Image:Cercle triangle rectangle inscrit.png|thumb|right|Triangle rectangle inscrit dans un cercle]]
Prenons trois points du cercle <math>A</math>, <math>B</math> et <math>C</math>, dont deux — <math>A</math> et <math>C</math> — sont diamétralement opposés (c'est-à-dire sont les intersections du cercle avec un diamètre). Alors, <math>ABC</math> est un triangle rectangle en <math>B</math>.
Ceci découle du fait que la médiane de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse (on a un rayon et un diamètre) ; ceci est une [[triangle|propriété du triangle]] appelé dans les pays anglo-saxons le [[théorème de Thalès (cercle)|théorème de Thalès]].
==== Angle inscrit, angle au centre ====
[[Image:Cercle angles interceptant arc.png|thumb|left|Illustration de la relation entre les secteurs angulaires interceptant un même arc.]]
{{article détaillé|Théorème de l'angle inscrit|Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre}}
Prenons deux points distincts <math>A</math> et <math>B</math> du cercle. <math>O</math> est le centre du cercle et <math>C</math> est un autre point du cercle. Alors, on a
<center><math>\widehat{AOB} = 2 \cdot \widehat{ACB}</math></center>
Pour l'angle au centre <math>\widehat{AOB}</math>, il faut considérer le secteur angulaire qui intercepte l'arc opposé à l'arc contenant <math>C</math>.
Cette propriété est utilisée dans les appareils d'analyse spectrale par dispersion de [[longueur d'onde]], c'est la notion de ''cercle de [[focalisation (optique)|focalisation]]'' ou ''cercle de Rowland''.
==== Rapport des cercles inscrits ====
[[Image:CerclesInscrits2a7.png|thumb|right|Illustration de l'unique disposition de <math>N</math> cercles inscrits.]]
* Rayon <math>R'</math> des 2 plus grands cercles inscrits dans le cercle de rayon <math>R</math> et surface de <math>S</math><center><math>R' = \frac{R}{2}</math></center>
* Rayon <math>R'</math> et surface <math>S'</math> des 3 plus grands cercles inscrits<center><math>R' = \frac{R}{1+\sqrt{\frac{4}{3}}}\qquad 3S' = \frac{S}{ \left(\frac{2+\sqrt[]{3}}{3}\right)^2} </math></center>
* Rayon <math>R'</math> et surface <math>S'</math> des 4 plus grands cercles inscrits<center><math>R' = \frac{R}{1+\sqrt{2}}\qquad 4S'=\frac{S}{\frac{3+\sqrt{8}}{4}}</math></center>
* Rayon <math>R'</math> des 5 plus grands cercles inscrits<center><math>R' = \frac{R}{1+\sqrt{2+\sqrt{\frac{4}{5}}}}</math></center>
* Rayon <math>R'</math> des 7 plus grand cercles inscrits (1 cercle au centre entouré de 6)<center><math>R' = \frac{R}{3}</math></center>
==== Puissance d'un point par rapport à un cercle ====
[[Image:Puissance point.gif|thumb|Puissance d'un point par rapport à un cercle]]
Si <math>M</math> est un point et <math>\Gamma</math> est un cercle de centre <math>O</math> et de rayon <math>R</math>, alors, pour toute droite passant par <math>M</math> et rencontrant le cercle en <math>A</math> et <math>B</math>, on a
<center><math>MA\times MB = |OM^2 - R^2|</math>.</center>
Cette valeur ne dépend pas de la droite choisie, mais seulement de la position de <math>M</math> par rapport au cercle.
On peut remarquer que
* si <math>M</math> est à l’extérieur du cercle,<center><math>MA\times MB = OM^2 - R^2</math> ;</center>
* si <math>M</math> est à l’intérieur du cercle, <center><math>OM^2 - R^2 = -MA\times MB</math> ;</center>ce produit correspond au produit des [[mesure algébrique|mesures algébriques]] {{math|§={{surligner|''MA''}}}} et {{math|§={{surligner|''MB''}}}}.
On appelle alors ''puissance du point'' <math>M</math> par rapport au cercle <math>\Gamma</math> le produit des mesures algébriques {{math|§={{surligner|''MA''}}}} et {{math|§={{surligner|''MB''}}}}. Ce produit est indépendant de la droite choisie et vaut toujours <math>OM^2 - R^2</math>.
Lorsque le point <math>M</math> est à l'extérieur du cercle, il est possible de mener des tangentes au cercle. En appelant <math>T</math> le point de contact d'une de ces tangentes, d'après le [[théorème de Pythagore]] dans le triangle <math>OMT</math>, la puissance de <math>M</math> est <math>MT^2</math>. L'égalité
<center><math>MA\times MB = MT^2</math></center>
est suffisante pour affirmer que la droite (<math>MT</math>) est tangente au cercle.
La ''puissance d'un point'' permet de vérifier que quatre points sont cocycliques : en effet, si
* <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math> sont quatre points tels que (<math>AB</math>) et (<math>CD</math>) se coupent en <math>M</math> et
* {{math|§={{surligner|''MA''}}×{{surligner|''MB''}} = {{surligner|''MC''}}×{{surligner|''MD''}}}} (en mesures algébriques),
alors les quatre points sont cocycliques.
=== Équations ===
Dans un plan muni d'un repère orthonormé, l'équation du cercle de centre <math>C(a, b)</math> et de rayon <math>r</math> est :
<center><math>(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2</math></center>
cette équation est en fait une application du [[théorème de Pythagore]] pour le [[triangle]] rectangle formé par le point du cercle et sa projection sur les deux rayons parallèles aux axes ; l'équation du [[cercle unité]] est donc
<center><math>x^2 + y^2 = 1</math>.</center>
En mettant <math>y</math> en évidence, on obtient les équations cartésiennes du cercle :
<center><math>y = b \pm \sqrt{r^2 - (x-a)^2}</math>.</center>
Les équations [[paramétrage|paramétriques]] du cercle sont
<center><math>\begin{cases}x=a+r \cos\theta \\ y=b+r \sin\theta\end{cases}</math></center>
soit pour le cercle unité
<center><math>\begin{cases}x=\cos\theta \\ y=\sin\theta\end{cases}</math></center>
On peut également déterminer une équation pour le cercle de diamètre <math>[AB]</math> :
<center><math>(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0</math>,</center>
soit encore
<center><math>x^2 + y^2 - (x_A + x_B)x - (y_A + y_B)y + x_A x_B + y_A y_B = 0</math>.</center>
On peut enfin exprimer le rayon, la corde et la flèche selon deux d'entre eux :
<center><math>C = 2\sqrt{F(2R - F)}</math></center>
<center><math>R = \frac{4F^2+C^2}{8F}</math></center>
<center><math>F = R - \sqrt{R^2 - \tfrac{C^2}4}</math></center>
== Voir aussi ==
* [[Cercle polaire]]
* [[Sphère]]
* [[Algorithme de tracé d'arc de cercle de Bresenham]]
* [[Cercle chromatique]]
* [[Problème de Napoléon]]
* [[Cercle vicieux]]
[[Catégorie:Courbe]]
[[Catégorie:Cercle et sphère]]
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