Composition des mouvements
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2008-03-01T19:54:04Z
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La '''loi de composition des mouvements''' permet en [[mécanique newtonienne]] de relier les accélérations et les vitesses observées dans deux [[référentiel]]s distincts. C'est une loi de [[cinématique]] c'est-à-dire essentiellement de description. Néanmoins, elle permet d'introduire le concept de [[forces d'inertie]] dans un référentiel non [[référentiel galiléen|galiléen]].
==Cadre==
Soit (R) et (R') des référentiels respectivement centrés en O et A, et <math>\vec{\Omega}_{(R'/R)}</math> la rotation de (R') par rapport à (R).
La loi de composition des mouvements se démontre grâce à la propriété suivante, la formule de Varignon: si <math>\vec{B}(t)</math> est un vecteur, alors:
<center>
{| border=1 cellpadding=5 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |<math>\left ( \frac{d\vec{B}}{dt} \right )_{(R)}=\left ( \frac{d\vec{B}}{dt} \right )_{(R')}+\vec{\Omega}_{(R'/R)}\wedge \vec{B}</math>
|}</center>
==Composition des vitesses==
Soit M un point mobile dans l'espace. On définit:
* La '''vitesse absolue''' de M est la vitesse de M dans (R) notée :<br/>
<math>\vec{v}_a=\vec{v}(M)_{(R)}</math>
* La '''vitesse relative''' de M est la vitesse de M dans (R') notée :<br/>
<math>\vec{v}_r=\vec{v}(M)_{(R')}</math>
* La '''vitesse d'entraînement''' est la vitesse de M par rapport à (R) '''s'il était fixe dans (R')''' notée :<br/>
<math>\vec{v}_e=\vec{v}(A)_{(R)}+\vec{\Omega}_{(R'/R)}\wedge \vec{AM}</math>
La loi de composition est assez intuitive puisqu'elle s'écrit:
<center>
{| border=1 cellpadding=5 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |<math>\vec{v}_a=\vec{v}_r+\vec{v}_e</math>
|}</center>
==Composition des accélérations==
La composition des accélérations est beaucoup moins intuitive, car elle fait intervenir non seulement une accélération d'entraînement, mais aussi une accélération complémentaire dite de Coriolis, qui n'a été découverte qu'au {{XIXe siècle}} par [[Gaspard-Gustave Coriolis]].
On définit ainsi:
* L''''accélération absolue''' de M comme l'accélération de M dans (R), notée :<br /><math>\vec{a}_a=\vec{a}(M)_{/R}</math>
* L''''accélération relative''' de M comme l'accélération de M dans (R'), notée :<br /><math>\vec{a}_r=\vec{a}(M)_{/R'}</math>
* L''''accélération d'entraînement''' comme l'accélération de M dans (R) '''s' il était fixe dans (R')''' :<br /> <math>\vec{a}_e=\vec{a}(A)_{(R)}+\left ( \frac{d\vec{\Omega}_{(R'/R)}}{dt} \right )_{(R)}\wedge \vec{AM}+\vec{\Omega}_{(R'/R)}\wedge(\vec{\Omega}_{(R'/R)}\wedge\vec{AM})</math>
* L' '''accélération de Coriolis''': <br /><math>\vec{a}_c=2\vec{\Omega}_{(R'/R)}\wedge \vec{v}_r</math>
La formule de composition des accélérations est alors donnée par:
<center>
{| border=1 cellpadding=5 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |<math>\vec{a}_a=\vec{a}_r+\vec{a}_e+\vec{a}_c</math>
|}</center>
==Voir aussi==
*[[forces d'inertie]]
*[[force de Coriolis]]
*[[Référentiel non inertiel]]
{{portail physique}}
[[Catégorie:Cinématique]]