Concept de solution
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2007-05-01T14:42:52Z
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En [[théorie des jeux]] et en [[théorie économique]], un '''concept de solution''' est un processus par lequel les [[équilibre]]s d'un jeu sont identifiés. Ils sont donc employés comme des ''prédictions de jeu'', suggérant quel sera le résultat du jeu, c'est-à-dire quelles stratégies seront ou pourront être employées par les joueurs.
Chacun des concepts de solution suivants (mise à part la
[[rationalisabilité]]) constitue un raffinement du concept précédent en ce
qu'il élimine des équilibres peu plausibles dans des jeux plus riches que
ceux considérés par le concept précédent.
== Rationalisabilité et dominance répétée ==
''Article principal : [[Rationalisabilité]]''
Dans ce concept de solution, on suppose que les joueurs sont
[[rationalité|rationnels]] et donc qu'ils éliminent les [[dominance stratégique|stratégies strictement dominées]]. Une stratégie strictement
dominée est une stratégie telle qu'un joueur à toujours avantage à ne pas
jouer, et donc qu'un joueur rationnel ne va jamais jouer (les stratégies
strictement dominées sont également importantes dans la recherche du
[[Algorithme MinMax|minimax]] par parcours d'[[arbre de jeu]]). Par exemple, dans le
[[dilemme du prisonnier]] à une seule période tel qu'illustré ci-dessous,
''coopérer'' est strictement dominé par ''dévier'' pour les deux joueurs
car chacun a avantage à jouer ''dévier'' quel que soit la stratégie retenue
par l'autre joueur.
{| border cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-----
|
! scope="col" | Prisonnier 1 Coopérer
! scope="col" | Prisonnier 1 Dévier
|-----
! scope="row" | Prisonnier 2 Coopérer
| <s>-0.5, -0.5<s> || <s>-10, 0<s>
|-----
! scope="row" | Prisonnier 2 Dévier
| <s>0, -10<s> || -2, -2
|}
== Équilibre de Nash ==
''Article principal : [[Équilibre de Nash]]''
Un équilibre de Nash est un profil de stratégies (c'est-à-dire la donnée
d'une stratégie d'équilibre pour chaque joueur) dans laquelle chaque
stratégie est une [[meilleure réponse]] à toute autre stratégie jouée. Une
meilleure réponse est une stratégie telle qu'il n'existe pas d'autre
stratégie possible qui fournirait un paiement plus élevé quelle que soit la
stratégie jouée par l'autre joueur.
== Induction à rebours ==
''Article principal : [[Induction à rebours]]''
Il existe des jeux présentant plusieurs équilibres de Nash, dont certains
sont peu réalistes, car reposant sur des stratégies qui ont rationnellement
peu de chances d'être choisies. Dans le cas des jeux dynamiques, certains
équilibres de Nash irréalistes peuvent être éliminés par induction à
rebours, qui suppose que tous les coups futurs seront rationnels. Ce
faisant, on élimine des menaces non crédibles car de telles menaces de
jouer une stratégie dommageable à l'autre joueur en réponse à une stratégie
donnée de sa part peuvent être non rationnelles à jouer une fois que
l'autre joueur a quand même joué la stratégie en question.
Par exemple, considérons un jeu dynamique où les joueurs sont une
entreprise établie dans un secteur d'activité et une entreprise pouvant
entrer dans ce secteur. À l'état initial, l'entreprise établie jouit d'un
monopole sur le secteur, et ne veut pas perdre de [[pouvoir de marché]] au
profit de l'entrant. Si l'entrant potentiel choisit de ne pas entrer, le
monopole maintient son profit élevé (profit de monopole ''M''), et
l'entrant ne perd ni ne gagne. Si l'entrant potentiel entre, le monopole
peut soit engager une guerre des prix contre lui, ou s'accommoder de sa
présence. On suppose qu'une guerre des prix peut conduire l'entrant à la
faillite (en présence de coûts fixes ''F'' à l'entrée par exemple) et
qu'elle réduit à zéro le profit du monopole. En revanche, si le monopole
s'accommode de la présence de l'entrant, il peut ne perdre qu'une partie de
son profit en partageant le marché dans le cadre d'un accord tacite
(profits de duopole ''D'' et ''d'').
{| border cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-----
|
! scope="col" | Guerre des Prix
! scope="col" | S'accommoder
|-----
! scope="row" | Entrer
| 0, <em>-F</em> || <em>D</em>, <em>d</em>
|-----
! scope="row" | Ne pas entrer
| <em>M</em>, 0 || <em>M</em>, 0
|}
Si l'entrant potentiel entre effectivement, la meilleure réponse du
monopole est donc de s'accommoder. Sachant cela, la meilleure réponse de
l'entrant est d'entrer. Ainsi, le profil stratégique où l'entrant entre et
le monopole s'accommode est un équilibre de Nash. Cependant, si le monopole
choisit la guerre des prix, la meilleure réponse de l'entrant est de ne pas
entrer. Si l'entrant n'entre pas, peu importe la stratégie prévue par le
monopole. La guerre des prix constitue donc une meilleure réponse si
l'entrant potentiel n'entre pas. Le profil où le monopole prépare la guerre
des prix et où l'entrant potentiel n'entre pas est donc également un
équilibre de Nash. Comme le jeu est dynamique, tout engagement du monopole
à mener une guerre des prix en cas d'entrée n'est pas crédible, puisque si
l'entrant potentiel entre quand même, le monopole aura avantage à
s'accommoder plutôt que lutter. L'équilibre de Nash avec guerre des prix
peut donc être éliminé par induction à rebours.
Voir aussi :
*[[Politique monétaire]]
*[[Concurrence à la Stackelberg]]
== Équilibre de Nash parfait en sous-jeux ==
''Article principal : [[Équilibre parfait en sous-jeux]]''
La perfection en sous-jeux constitue une généralisation de l'induction à
rebours. L'induction à rebours suppose que tous les coups futurs seront
rationnels. Dans un équilibre parfait en sous-jeux, les coups joués doivent
constituer un équilibre de Nash dans chaque [[sous-jeu]]. L'induction à
rebours ne peut être employée que dans le cas de jeux à nombre fini de
coups et en information parfaite. Dans le cas de jeux infinis ou
d'[[asymétrie d'information|information imparfaite]], la notion d'équilibre
parfait en sous-jeux peut être employée. L'équilibre de Nash éliminé par
induction à rebours dans la section précédente n'est pas non plus un
équilibre en sous-jeux puisqu'il ne constitue pas un équilibre de Nash pour
le sous-jeu correspondant au moment où l'entrant a décidé d'entrer.
== Équilibre bayésien parfait ==
''Article principal : [[Jeu bayésien]]''
Parfois, la perfection en sous-jeux n'impose pas de restrictions
suffisantes pour éliminer des stratégies déraisonnables. Par exemple, comme
les sous-jeux ne peuvent discriminer à l'intérieur d'un même ensemble
d'information, un jeu en information imparfaite peut avoir un seul
sous-jeu, lui-même, et donc la perfection en sous-jeu ne peut éliminer
aucun équilibre de Nash. Un équilibre bayésien parfait est une
spécification des stratégies des joueurs ''et de leurs croyances'' à propos
du nœud atteint dans un ensemble d'information donné. Une croyance au sujet
d'un nœud est ma probabilité qu'un joueur donné pense que ce jeu est ou
sera partie du jeu (sur le ''chemin d'équilibre''). En particulier,
l'intuition de l'équilibre bayésien en sous-jeux est qu'il spécifie des
stratégies rationnelles pour chaque joueur étant données les croyances de
ce joueur ainsi que des croyances qui sont cohérentes avec les stratégies
spécifiées.
Dans un jeu bayésien, une stratégie spécifie ce que joue un joueur dans
chaque ensemble d'information contrôlé par ce joueur. La condition de
cohérence entre les croyances et les stratégies est absente de la notion de
perfection en sous-jeu. De ce fait, l'équilibre bayésien parfait constitue
une condition de cohérence sur les croyances des joueurs. Tout comme dans
un équilibre de Nash, aucune stratégie retenue dans un équilibre bayésien
parfait ne peut être une stratégie strictement dominée, puisqu'en tout
ensemble d'information, aucune stratégie retenue ne peut être strictement
dominée en considérant le jeu commençant en cet ensemble
d'information. Cela revient à dire que pour toute croyance que le joueur
pourrait avoir en cet ensemble d'information, il n'existe pas de stratégie
qui conduise à un paiement plus important pour ce joueur quelle que soit la
stratégie de l'autre joueur. Contrairement à ce qui peut se passer dans les
cas précédents, aucune stratégie d'équilibre ne peut être strictement
dominée à partir d'un quelconque ensemble d'information, même si cette
stratégie est hors du chemin d'équilibre. Ainsi, dans le cas d'un équilibre
bayésien parfait, les joueurs ne peuvent menacer de jouer des stratégies
strictement dominées à partir d'un quelconque ensemble d'information hors
du chemin d'équilibre.
Le terme ''bayésien'' fait référence au fait que les joueurs mettent à jour
leurs croyances en utilisant la [[formule de Bayes]]. Ils calculent les
probabilités des différents coups à chaque étape étant donnés les coups qui
ont déjà été joués.
== Induction vers l'avant ==
tout comme l'induction à rebours suppose que tous les coups futurs seront
rationnels, l'induction vers l'avant suppose que les coups passés sont
rationnels. Quand un joueur ne sait pas que est le ''type'' de l'autre
joueur (l'information est imparfaite et asymétrique), ce joueur peut
concevoir une croyance sur le type de l'autre joueur en observant les
actions passées de ce joueur. De ce fait, la croyance formée par ce joueur
concernant la probabilité que l'autre joueur soit d'un type donné est
fondée sur les coups passés de l'autre joueur en supposant que ce dernier
est rationnel.
== Références ==
* {{en}} Cho, I-K. & Kreps, D. M. (1987) Signaling games and stable equilibria. ''Quarterly Journal of Economics'' 52:179-221.
* {{en}} [[John Harsanyi|Harsanyi, J.]] (1973) Oddness of the number of equilibrium points: a new proof. ''International Journal of Game Theory'' 2:235-250.
* {{en}} Hines, W. G. S. (1987) Evolutionary stable strategies: a review of basic theory. ''Theoretical Population Biology'' 31:195-272.
* {{en}} Noldeke, G. & Samuelson, L. (1993) An evolutionary analysis of backward and forward induction. ''Games & Economic Behaviour'' 5:425-454.
* {{en}} [[John Maynard Smith|Maynard Smith, J.]] (1982) ''[[Evolution and the Theory of Games]]''. ISBN 0521288843
* {{en}} [[Reinhard Selten|Selten, R.]] (1983) Evolutionary stability in extensive two-person games. ''Math. Soc. Sci.'' 5:269-363.
* {{en}} [[Reinhard Selten|Selten, R.]] (1988) Evolutionary stability in extensive two-person games --- correction and further development. ''Math. Soc. Sci.'' 16:223-266
* {{en}} Thomas, B. (1985a) On evolutionary stable sets. ''J. Math. Biol.'' 22:105-115.
* {{en}} Thomas, B. (1985b) Evolutionary stable sets in mixed-strategist models. ''Theor. Pop. Biol.'' 28:332-341
== Voir aussi ==
*[[Jeu sous forme extensive]]
[[Catégorie:théorie des jeux|Concept de solution]]
[[en:Solution concept]]