Conduction thermique
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31264855
2008-07-03T15:14:26Z
Snipre
187752
La '''conduction thermique''' (ou '''diffusion thermique''') est un mode de [[phénomène de transfert|phénomène de transfert thermique]] provoqué par une différence de [[température]] entre deux régions d'un même milieu, ou entre deux milieux en contact, et se réalisant sans déplacement global de matière<ref>Pérez, page 153.</ref> par opposition à la [[convection]] qui est un autre [[transfert thermique]]. Elle peut s'interpréter comme la transmission de proche en proche de l'[[agitation thermique]] : un atome (ou une molécule) cède une partie de son [[énergie cinétique]] à l'atome voisin.
La conduction thermique est un [[phénomène de transport]] de l'[[énergie interne]] dû à une inhomogénéité de l'agitation moléculaire<ref name="PérezP158">Pérez, page 158</ref>. C'est donc un phénomène [[irréversible]]. Dans les [[fluide]]s (liquides et gaz) ce transport d'énergie résulte de la non uniformité du nombre de chocs par unité de volume, de façon analogue au phénomène de [[diffusion]]<ref name="PérezP158"/>. Dans les solides, la conduction thermique est assurée conjointement par les [[électron]]s de conduction et les vibrations du [[réseau cristallin]] ([[phonon]]s)<ref>Pérez, page 160.</ref>.
== Généralités ==
=== Loi de Fourier ===
La conduction thermique est un [[transfert thermique]] spontané d'une région de [[température]] élevée vers une région de température plus basse, et obéit à la loi dite de [[Joseph Fourier|Fourier]] établie mathématiquement par [[Jean-Baptiste Biot]] en [[1804]] puis expérimentalement par Fourier en [[1822]]<ref>{{Fourier1822}}</ref> : la densité de flux de chaleur est proportionnelle au [[gradient]] de température.
<center><math>\overrightarrow{\varphi}= - \lambda\,\overrightarrow{\mathrm{grad}}(T)</math></center>
La constante de proportionnalité λ est nommée [[conductivité thermique]] du matériau. Elle est toujours positive.
Avec les unités du système international, la conductivité thermique λ s'exprime en J.m<sup>-1</sup>.K<sup>-1</sup>.s<sup>-1</sup> ou, soit des W.m<sup>-1</sup>.K<sup>-1</sup>.
La loi de Fourier est une loi semi-empirique analogue à la [[loi de Fick]] pour la diffusion de particule ou la [[loi d'Ohm]] pour la conduction électrique. Ces trois lois peuvent s'interpréter de la même façon : l'inhomogénéité d'un paramètre [[intensif]] (température, nombre de particules par unité de volume, [[potentiel électrique]]) provoque un phénomène de transport tendant à combler le déséquilibre (flux thermique, courant de diffusion, courant électrique).
{{boîte déroulante|align=left|titre=Complément|contenu=
[[Image:Conduction fourier.png|500 px|center]]
Nous pouvons exprimer le transfert thermique selon ''Ox'' pendant un temps ''dt''. On suppose que la quantité de chaleur traversant une surface d'aire dS<sub>x</sub> est proportionnelle à ''dS<sub>x</sub>'', au temps de transfert ''dt'' et au taux de variation de la température ''T'' :
:<math>dQ_x= - \lambda_x\ \frac{\delta T}{\delta x} dS_x dt\,</math>
Le flux thermique à travers la surface élémentaire dS<sub>x</sub> est alors :
:<math> d\Phi_x= \frac{dQ_x}{dt}= - \lambda_x \frac{\delta T}{\delta x} dS_x\,</math>
Nous pouvons en déduire la densité de flux dans la direction Ox :
:<math>\varphi_x = \frac{d \Phi}{d S_x}\,</math>
:<math>\varphi_x = - \lambda \frac{\delta T}{\delta x}\,</math>
Le même raisonnement dans chacune des directions d'espace donne la loi de Fourier.
{{loupe|contenu=Pour les définitions précises de ''flux'' et ''densité de flux'' voir l'article '''[[transfert thermique]]'''}}
}}
=== Équation de la chaleur ===
{{Loupe|Équation de la chaleur}}
Un bilan d'énergie, et l'expression de la loi de Fourier conduit à l'équation générale de conduction de la chaleur dans un corps homogène :
<center><math>\lambda \Delta T + P = \rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t} </math></center>
où :
* <math>\Delta T</math> désigne le [[Opérateur laplacien|laplacien]] de la température,
* P est l'énergie produite au sein même du matériau en W.m<sup>-3</sup>. Elle est souvent nulle (cas des dépôts de chaleur en surface de murs, par exemple), mais l'on peut citer de nombreux cas où elle ne l'est pas ; citons parmi d'autres l'étude du transfert thermique par conduction au sein du combustible nucléaire, ou l'absorption de la lumière ou des micro-ondes au sein des matériaux semi-transparents ...,
* ρ est la masse volumique du matériau en kg.m<sup>-3</sup>,
* et c est la chaleur massique du matériau en J.kg<sup>-1</sup>.K<sup>-1</sup>.
([[Équation de la chaleur#Établissement de l'équation de la chaleur|établissement de l'équation de conduction de la chaleur]])
Sous forme unidimensionnelle et au cas où P est nulle, on obtient :
<center><math>\lambda\, \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t} </math></center>
En régime stationnaire, lorsque la température n'évolue plus avec le temps et si P est nul, elle se réduit à :
<center><math>\Delta T = 0 </math></center>
qui est une [[équation de Laplace]]. T est alors une [[fonction harmonique]].
Dans le cas unidimensionnel, l'équation précédente se réduit à :
<center><math>\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0 </math></center>
dont la solution est :
<center><math>T = A x + B</math>,</center>
où A et B sont des constantes à fixer selon les conditions aux limites.
== Conduction en régime stationnaire ==
=== Surface plane simple ===
[[Image:Mur generalite.png|250 px|right]]
Le matériau est un milieu conducteur thermiquement limité par deux plans parallèles (cas d'un mur). Chaque plan à une température T homogène sur toute sa surface. On considère que les plans ont des dimensions infinies pour s'affranchir des effets de bords. En conséquence le flux entrant est égal au flux sortant, il n'y a pas de pertes de chaleur sur les bords.
[[Image:Mur gradient.png|230 px|thumb|Profil de température dans un mur]]
Notons <math>T_1</math> la température du plan situé à l'abscisse <math>x_1</math>, et <math>T_2</math> la température du plan situé à l'abscisse <math>x_2</math>. Notons <math>e = x_2 - x_1</math> l'épaisseur du mur. En régime stationnaire, T est une fonction affine de <math>x</math>, d'où :
:<math>T = T_1 + \frac{x-x_1}{e}(T_2 - T_1)</math>
La densité de flux thermique surfacique s'écrit :
:<math>\varphi= -\lambda \frac{dT}{dx} = \frac{\lambda}{e} (T_1-T_2)</math>.
Le flux thermique à travers une surface S vaut :
:<math>\Phi = \frac{\lambda S}{e} (T_1-T_2)\,</math>
[[Image:Mur analogie elec.png|250 px|right]]
'''Analogie électrique'''
Par analogie avec l'[[électricité]] ([[loi d'Ohm]]) dans le cas particulier où la surface de contact entre chaque matériau est constante (flux surfacique <math>\varphi</math> constant) nous pouvons mettre en parallèle les deux expressions :
:<math>U_1-U_2= RI\,</math>
:<math>T_1-T_2= \frac{e}{\lambda S} \Phi\,</math>
Nous pouvons mettre en parallèle d'une part la tension et la température, d'autre part l'intensité et le flux thermique :
:<math>U_1-U_2 \leftrightarrow T_1-T_2,</math>
:<math> I \leftrightarrow \Phi,</math>
On peut définir alors une résistance thermique, jouant dans le transfert de chaleur un rôle comparable à la résistance électrique.
:<math> R \leftrightarrow R_{thc}= \frac{e}{\lambda S}\,</math>
où <math>S</math> est la surface du matériaux et <math> e </math> son épaisseur. La résistance thermique <math>R_{thc}</math> est homogène à des K.W<sup>-1</sup>
=== Surfaces planes en série ===
[[Image:Mur serie generalite.png|350 px|right]]
On considère des matériaux A B et C d'épaisseur respective <math>e_{A}</math>, <math>e_{B}</math> et <math>e_{C}</math> et de conductivité radiative respective <math>\lambda_{A}</math>, <math>\lambda_{B}</math> et <math>\lambda_{C}</math>.
Les hypothèses sont identiques à celles d'une surface plane simple. On considère que le contact entre chaque couche est parfait ce qui signifie que la température à l'interface entre 2 matériaux est identique dans chaque matériau (Pas de saut de température au passage d'une interface).
Enfin la surface de contact entre chaque matériau est constante ce qui implique un flux surfacique <math>\varphi</math> constant.
Les résistances thermiques s'additionnent :
:<math>T_1- T_4= (\frac{e_A}{\lambda_A S}+ \frac{e_B}{\lambda_B S}+ \frac{e_C}{\lambda_C S}) \Phi\ = (R_{thA}+ R_{thB}+ R_{thC}) \Phi</math>
{{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu=
Globalement, nous avons
:<math>T_1- T_4= \frac{e}{\lambda S} \Phi\,</math>
Si l'on décompose
:Pour la couche A : <math>T_1- T_2= \frac{e_A}{\lambda_A S} \Phi\,</math>
:pour la couche B : <math>T_2- T_3= \frac{e_B}{\lambda_B S} \Phi\,</math>
:pour la couche C : <math>T_3- T_4= \frac{e_C}{\lambda_C S} \Phi\,</math>
Nota : Compte tenu des hypothèses, le flux (ou la densité de flux reste constant).
Avec :
:<math>T_1- T_4= (T_1-T_2)+(T_2-T_3)+(T_3-T_4)\,</math>
Donc
:<math>T_1- T_4= (\frac{e_A}{\lambda_A S}+ \frac{e_B}{\lambda_B S}+ \frac{e_C}{\lambda_C S}) \Phi\,</math>
:<math>T_1- T_4= (R_{thA}+ R_{thB}+ R_{thC}) \Phi\,</math>
}}
'''Le profil des températures'''<br>
Pour chaque matériau la variation de température suit une loi du type :
:<math>T= T_1- \frac{e_X}{\lambda_X S}\Phi\,</math>
La variation de température est donc linéaire dans l'épaisseur du matériau considéré. La pente dépend de λ ([[conductivité thermique]]) caractéristique de chaque matériau. Plus la conductivité thermique sera faible (donc plus le matériau sera isolant) plus la pente sera forte.
[[Image:Mur serie gradient.png|350 px|center]]
'''Analogie électrique'''<br>
De la même manière que les résistances électriques en série s'additionnent, les résistances thermiques en série s'additionnent.
[[Image:Mur serie analogie elec.png|350 px|center]]
=== Surfaces planes en parallèle ===
[[Image:Mur parrallele.png|350 px|right]]
On considère des matériaux plans juxtaposés côte à côte. Chaque matériau est homogène et limité par deux plans parallèles. C'est par exemple le cas d'un mur avec une fenêtre.
Les hypothèses sont identiques à celles d'une surface plane simple. En supplément, on considère que la température est uniforme en surface de chaque élément (T<sub>1</sub> et T<sub>2</sub>).
Soit S<sub>A</sub>, S<sub>B</sub> et S<sub>C</sub> les surfaces respectives des éléments A, B et C.
Par la suite, on fait l'hypothèse que le flux est toujours perpendiculaire à la paroi composée ; ceci n'est pas réaliste puisque la température de surface de chaque élément qui la composent est différente et qu'il existe par conséquent un gradient de température latéral (à l'origine des ponts thermiques). Aussi, il est nécessaire de corriger le flux de chaleur calculé dans la paroi composée à l'aide de coefficients de déperdition linéiques, spécifiques à chaque jonction de paroi (et pouvant être négligeables, cf. règlementation thermique TH 2000)
Les conductances thermiques s'additionnent :
:<math>C_{th}= \frac{1}{R_{th}} = \frac{1}{\frac{e_A}{\lambda_A S_A}}+\frac{1}{\frac{e_B}{\lambda_B S_B}}+\frac{1}{\frac{e_C}{\lambda_C S_C}} = \frac{1}{R_{thA}} + \frac{1}{R_{thB}} + \frac{1}{R_{thC}}</math>
{{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu=
Pour chaque élément, le flux s'exprime suivant la relation
:<math>T_1- T_2= \frac{e_X}{\lambda_X S} \Phi\,</math>
Avec en prenant l'analogie électrique
:<math>R_X= \frac{e_X}{\lambda_X S_X}\,</math>
où <math>X</math> est égale à <math>A</math>, <math>B</math> ou <math>C</math>
Nous avons donc
:<math>\Phi_A= \frac{T_1- T_2}{R_A}\,</math>
:<math>\Phi_B= \frac{T_1- T_2}{R_B}\,</math>
:<math>\Phi_C= \frac{T_1- T_2}{R_C}\,</math>
Le flux total est égale à la somme des flux dans chaque élément
:<math>\Phi= \Phi_A+ \Phi_B+ \Phi_C\,</math>
:<math>\Phi= (T_1- T_2) (\frac{1}{R_A}+ \frac{1}{R_B}+ \frac{1}{R_C})\,</math>
Soit S la surface totale
:<math>S= S_A+ S_B+ S_C\,</math>
Le flux surfacique s'écrit alors
:<math>\varphi=\frac{\Phi}{S}\,</math>
Toujours par analogie avec les lois électriques, l'inverse de la résistance thermique est parfois appelé conductance thermique.
:<math>C_{th}= \frac{1}{R_{th}} = \frac{1}{\frac{e_A}{\lambda_A S_A}}+\frac{1}{\frac{e_B}{\lambda_B S_B}}+\frac{1}{\frac{e_C}{\lambda_C S_C}} = \frac{1}{R_{thA}} + \frac{1}{R_{thB}} + \frac{1}{R_{thC}}</math>
}}
'''Analogie électrique'''<br>
Il est donc également possible de faire une analogie entre un montage électrique de résistances en parallèle.
{| border="0"
|-----
| [[Image:Mur parrallele analogie elec.png|400 px|center]]
| [[Image:Mur parrallele analogie elec 2.png|400 px|center]]
|-----
|align="center"|<math>I = (\frac{1}{R_1}+ \frac{1}{R_2}+ \frac{1}{R_3}) \Delta U\,</math>
|align="center"|<math>\Phi = (\frac{1}{R_{th1}}+ \frac{1}{R_{th2}}+ \frac{1}{R_{th3}}) \Delta T\,</math>
|}
=== Surface cylindrique simple ===
[[Image:Tube simple.png|350 px|right]]
Le tube simple est constitué d'un seul matériau homogène. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube à une longueur infinie afin de s'affranchir des effets de bord.
La variation de température s'écrit :
:<math>\ T_1-T_2= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda L } \ln \frac{R_2}{R_1}</math>
{{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu=
Si l'on considère une variation dR à l'intérieur du matériau constituant le tube, la loi de Fourier s'exprime alors :
:<math>\Rightarrow \Phi= - \lambda S \frac{dT}{dR}\,</math>
'''Variation de la température dans l'épaisseur du tube'''<br>
[[Image:Tube simple temperature.png|350 px|right|thumb|Évolution de la température dans l'épaisseur d'un tube simple avec T<sub>intérieure</sub>>T<sub>extérieure</sub>]]
Soit S la surface d'un cylindre :
:<math> S= 2 \pi R L\,</math>
Nous pouvons écrire la loi de Fourier sous la forme :
:<math> \Phi= - \lambda 2 \pi R L \frac{dT}{dR}\,</math>
:<math>\frac{dR}{R}= - \frac{2 \pi \lambda L dT}{\Phi}\,</math>
:<math>\int_{R_1}^{R_2} \frac{dR}{R}= - \frac{2 \pi \lambda L }{\Phi} \int_{T_1}^{T} dT\,</math>
:<math>\ln \frac{R_2}{R_1}= \frac{2 \pi \lambda L }{\Phi} (T_1-T)\,</math>
La variation de température dans le matériau est donc
:<math>\ T= T_1 - \frac{\Phi}{2 \pi \lambda L } \ln \frac{R_2}{R_1}\,</math>
Sur la totalité de l'épaisseur du tube, la variation est
:<math>\ T_1-T_2= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda L } \ln \frac{R_2}{R_1}\,</math>
}}
=== Surfaces cylindriques concentriques ===
[[Image:Tube concentrique.png|350 px|right|thumb|Schéma d'un tube concentrique]]
Le tube concentrique est constitué de tubes disposés en couches concentriques. On considère que le contact est parfait entre les tubes. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube à une longueur L infinie afin de s'affranchir des effets de bord.
La résistance totale du tube s'exprime suivant une loi de type « série » comme le mur composé série :
:<math>\ R_{thT}= R_{thA} + R_{thB}</math>
{{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu=
Évolution de la température dans la première couche :
:<math>\ T_1-T_2= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda_A L } \ln \frac{R_2}{R_1}\,</math>
Évolution de la température dans la deuxième couche :
:<math>\ T_2-T_3= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda_B L } \ln \frac{R_3}{R_2}\,</math>
Sur la totalité de l'épaisseur du tube :
:<math>\ T_1-T_3= \frac{\Phi}{2 \pi L } \left ( \frac {\ln \frac {R_2}{R_1} }{\lambda_A} + \frac {\ln \frac {R_3}{R_2} }{\lambda_B}\right )\,</math>
La résistance thermique de la couche A
:<math>\ R_{thA}= \frac {\ln \frac {R_2}{R_1} }{\lambda_A}\,</math>
La résistance thermique de la couche B
:<math>\ R_{thB}= \frac {\ln \frac {R_3}{R_2} }{\lambda_B}\,</math>
La résistance totale du tube s'exprime suivant une loi de type « série » comme le mur composé série :
:<math>\ R_{thT}= R_{thA} + R_{thB}\,</math>
}}
== Conduction en régime dynamique ==
La résolution de l'équation de la chaleur en régime dynamique est beaucoup plus délicate. Elle fait appel aux notions de [[transformée de Fourier|transformées de Fourier]], de [[produit de convolution]] et de [[Distribution (mathématiques)|distributions]]. Nous donnons quelques exemples de résolution.
=== Cas d'un domaine illimité ===
==== Principe général ====
Ecrivons l'équation de la chaleur sous la forme :
<center><math>\frac{\partial T}{\partial t} - D \Delta T = P</math></center>
où D est le coefficient de [[diffusivité thermique]] et P représente des sources de chaleur. P peut être une fonction du temps et de la position de la source de chaleur, mais aussi une [[Distribution (mathématiques)|distribution]]. Par exemple, l'injection instantanée et ponctuelle d'une quantité de chaleur peut se représenter par le produit <math>\delta(t)\delta(x)</math> d'une [[distribution de Dirac]] à l'instant t = 0 par une distribution de Dirac en x = 0, x étant l'abscisse dans le cas d'un problème unidimensionnel ou le vecteur position dans le cas général.
On se donne également l'état initial du domaine <math>T_0 = T(0,x)</math>, qui peut être également une fonction de x ou une distribution. On considère que T est nulle pour <math>t < 0</math>.
La méthode de résolution consiste à<ref>L. Landau, E. Lifchitz, ''Physique théorique, mécanique des fluides'', Mir-Ellipses, (1994)</ref> <ref>Laurent Schwartz, ''Méthodes mathématiques pour les sciences physiques'', Hermann, (1965)</ref> :
* Appliquer une transformée de Fourier relative à la variable x, à tous les termes de l'équation différentielle. Cela transforme la dérivation par rapport à x par un produit. Si on prend <math>F(T)(p, t) = \int T(x, t) \exp(-2i\pi px) dx</math>, alors l'équation devient :
<center><math>\frac{\partial F(T)}{\partial t} + D 4\pi^2p^2F(T) = F(P)</math></center>
où plutôt, au sens des distributions :
<center><math>\frac{\partial F(T)}{\partial t} + D 4\pi^2p^2F(T) = F(P) + F(T_0)\delta(t)</math></center>
pour tenir compte de la condition initiale.
* Reconnaître dans cette équation un [[produit de convolution]] :
<center><math>(\frac{\partial \delta(t)}{\partial t} + 4\pi^2Dp^2 \delta(t)) * F(T) = F(P) + F(T_0)\delta(t)</math></center>
L'opérateur qu'on applique à F est un produit de convolution relatif à la variable ''t''.
* Appliquer la réciproque de l'opérateur dont on montre qu'il vaut <math>H(t) \exp(- 4\pi^2Dp^2t)</math>, où H est la [[fonction de Heaviside]], pour aboutir à :
<center><math>F(T) = F(P) * H(t)\exp(- 4\pi^2Dp^2t) + F(T_0)H(t)\exp(- 4\pi^2Dp^2t)</math></center>
Si F(P) est une fonction et non une distribution, cette relation devient, pour t > 0 :
<center><math>F(T) = \int_0^t F(P)(\tau)\exp(- 4\pi^2Dp^2(t-\tau)) d\tau + F(T_0)exp(- 4\pi^2Dp^2t)</math></center>
* Prendre la transformée de Fourier inverse pour en déduire T.
==== Cas particulier ====
[[Image:Conduction thermique.gif|right|thumb|220px|Propagation par conduction dans le plan à partir d'un point chaud. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point]]
Si on prend <math>T_0 = 0</math> et <math>P = \delta(t)\delta(x)</math> (injection instantanée de chaleur en un point donné), la méthode décrite ci-dessus conduit à :
:<math> F(P) = \delta(t)</math>
donc, pour t > 0 :
:<math>F(T) = \exp(- 4\pi^2Dp^2t)</math>
dont la transformée de Fourier inverse est, pour t > 0 :
:<math> T = \frac{\exp(- \frac{x^2}{4Dt})}{2\sqrt{\pi tD}}</math> dans le cas unidimensionnel.
:<math> T = \frac{\exp(- \frac{r^2}{4Dt})}{8\sqrt{\pi tD}^3}</math> dans le cas tridimensionnel.
==== Domaine illimité sans source de chaleur ====
Si on se donne seulement la température initiale <math>T_0</math> du milieu sans source de chaleur (P = 0), alors on trouve que :
:<math>T = \frac{1}{2\sqrt{\pi tD}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(- \frac{(x - u)^2}{4tD}) T_0(u)\, du</math> dans le cas unidimensionnel.
:<math>T = \frac{1}{8\sqrt{\pi tD}^3} \int_{\mathbb R^3} \exp(- \frac{(r - s)^2}{4tD}) T_0(r)\, dx_s dy_s dz_s</math> dans le cas tridimensionnel.
=== Cas de domaines limités, sans source de chaleur ===
==== Cas d'un domaine limité par un plan. Le problème de Kelvin ====
[[Image:Conduction thermique KelvinPlan.gif|right|thumb|260px|Problème de Kelvin. L'axe des x est orienté vers la droite. Le demi-espace x>0, dont la température initiale est T<sub>0</sub>, possède une frontière x=0 dont la température est constamment nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point]]
Supposons le domaine limité par le plan x=0. Si on se donne pour condition aux limites supplémentaire T(0,t) = 0 pour tout t, alors, il suffit de prolonger la répartition initiale de température <math>T_0</math> par une fonction impaire en x et d'appliquer le résultat précédent.
Le cas le plus célèbre est celui du problème de [[William Thomson|Kelvin]]. Ce dernier a considéré dans les années 1860 que la Terre était initialement à une température constante <math>T_0</math> de l'ordre de 3000° et qu'elle s'est refroidie par simple conduction. Utilisant la valeur actuelle du [[gradient]] de température en fonction de la profondeur, il en a déduit une estimation de l'âge de la Terre. On peut appliquer la méthode de résolution précédente en considérant la Terre comme plate et infiniment profonde, limitée par le plan de sa surface. Le calcul conduit à :
<center><math>T= \frac{T_0}{\sqrt{\pi t D}} \int_0^x \exp(- \frac{u^2}{4tD})\, du = T_0 \,{\rm erf}(\frac{x}{2\sqrt{Dt}})</math></center>
où erf est dite [[fonction d'erreur de Gauss]].
Le gradient de température à la surface est :
<center><math>\frac{\partial T}{\partial x}= \frac{T_0}{\sqrt{\pi t D}}</math></center>
Connaissant <math>\frac{\partial T}{\partial x}</math> de l'ordre de 3°C pour 100 mètres de profondeur et D estimé à <math>10^{-6} \,m^2s^{-1}</math>, on trouve que t vaut 100 millions d'années. Ce résultat est largement sous-estimé car Kelvin ignorait les phénomènes de [[convection]] au sein du [[Manteau (géologie)|manteau terrestre]]<ref>England P, Molnar P, Richter F, ''Kelvin, Perry et l'âge de la terre'', Pour la Science, février 2008, p.32-37, traduit d'un [http://courses.washington.edu/ess408/KelvinPerry2007.pdf article d'American Scientist]</ref> <ref>Jean-Louis Le Mouël, ''Le refroidissement de la Terre'', 196ème conférence de l’Université de tous les savoirs, 14 juillet 2000, [http://telechargeu.cines.fr/3517/load/documents/utls/download/pdf/140700.pdf] ou [http://www.canalu.tv/index.php/canalu/producteurs/universite_de_tous_les_savoirs/dossier_programmes/les_conferences_de_l_annee_2000/la_terre_les_oceans_le_climat/le_refroidissement_de_la_terre_depuis_son_origine_le_champ_geomagnetique]</ref>.
==== Cas d'un domaine limité par deux plans parallèles ====
[[Image:Conduction thermique Biplan.gif|right|thumb|280px|Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine limité 0 < x < L. Les deux frontières du domaine sont maintenues à température constante. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point]]
Considérons un domaine limité par les deux plans x=0 et x=L. Supposons qu'on se donne comme conditions aux limites T(0,t) = T(0,L) = 0. On utilise une méthode de résolution basée sur les [[série de Fourier|séries de Fourier]], en cherchant T sous la forme :
<center><math>T = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin(n\pi \frac{x}{L}) \exp(- \frac{Dn^2\pi^2t}{L^2})</math></center>
Cette expression vérifie à la fois l'équation de la chaleur et les conditions aux limites. Si on se donne la répartition de température initiale <math>T_0</math>, il suffit de développer celle-ci en série de Fourier pour déterminer les <math>b_n</math>.
Par exemple, si on prend <math>T_0</math> constant, on obtient :
<center><math>T = \frac{4T_0}{\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1} \sin(\frac{(2n+1)\pi x}{L}) \exp(- \frac{D(2n+1)\pi^2t}{L^2})</math></center>
En faisant tendre L vers l'infini, on retrouve la solution de Kelvin du [[#Cas d'un domaine limité par un plan. Le problème de Kelvin|paragraphe précédent]], la somme précédente étant considérée comme une [[somme de Riemann]] convergeant vers l'intégrale.
==== Cas d'un domaine à géométrie sphérique ====
[[Image:Conduction_thermique_KelvinCirculaire.gif|right|thumb|250px|Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine circulaire. Problème de Kelvin : la température initiale est uniforme, la température sur le cercle frontière est maintenue nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point]]
Dans le cas où la propagation se fait dans un domaine sphérique, et où la température ne dépend que de la distance ''r'' au centre, l'équation de la chaleur devient, compte tenu de l'expression du [[Opérateur laplacien#Coordonnées sphériques|laplacien en sphérique]] :
<center><math>\frac{\partial T}{\partial t} = D(\frac{2}{r} \frac{\partial T}{\partial r} + \frac{\partial^2 T}{\partial r^2})</math></center>
Si on pose <math>F = rT</math>, l'équation devient :
<center><math>\frac{\partial F}{\partial t} = D \frac{\partial^2 F}{\partial r^2}</math></center>
On peut alors appliquer les méthodes précédentes pour déterminer F, puis en déduire T en divisant par ''r''.
Ainsi, la résolution du problème de Kelvin dans le cas d'une boule de rayon R (température initiale uniformément égale à <math>T_0</math>, la surface étant maintenue à une température nulle) conduit à l'expression suivante de T :
<center><math>T(r,t) = 2T_0 \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \, {\rm sinc}(n\pi \frac{r}{t}) \exp(- \frac{Dn^2\pi^2t}{R^2})</math></center>
où sinc est la fonction [[sinus cardinal]].
=== Cas de domaines limités, avec source de chaleur ===
On considère l'équation :
<center><math>\frac{\partial T}{\partial t} - D \Delta T = P</math></center>
avec P non nul. On cherche en général une solution particulière à cette équation, de façon à ce que, une fois retranchée à T, on puisse se ramener à une équation sans second membre. Voici quelques exemples, dans le cas où P représente une densité de source de chaleur constante, indépendante de la position et du temps.
==== Domaine limité par deux plans parallèles ====
[[Image:Conduction_thermique_Biplan_AvecSourceDeChaleur.gif|right|thumb|275px|Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine limité 0 < x < L. Le domaine est chauffé uniformément, alors que la température initiale est nulle, et que les deux bords restent à cette température nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point]]
Considérons un domaine limité par les deux plans ''x''=0 et ''x''=L. On suppose qu'à l'instant initial, la température du domaine est égale à une température de référence nulle, et que les bords du domaine resteront en permanence à cette température nulle. T vérifie donc :
::<math>\frac{\partial T}{\partial t} - D \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = P</math>
::T(0,''t'') = T(L,''t'') = 0 pour tout ''t'' positif.
::T(''x'',0) = 0 pour tout ''x'' entre 0 et L.
La fonction <math>\frac{Px(L-x)}{2D}</math> indépendante de ''t'' vérifie les deux premières relations, de sorte que, si on pose <math>G = T - \frac{Px(L-x)}{2D}</math>, alors G vérifie :
::<math>\frac{\partial G}{\partial t} - D \frac{\partial^2 G}{\partial x^2} = 0</math>
::<math>G(0, t) = G(L, t) = 0</math>
::<math>G(x, 0) = - \frac{Px(L-x)}{2D}</math>
On peut appliquer la méthode [[#Cas d'un domaine limité par deux plans parallèles|vue plus haut]] en cherchant G sous la forme d'une série :
<center><math>G = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin(\frac{n\pi x}{L}) \exp(- \frac{n^2\pi^2Dt}{L^2})</math></center>
qui vérifie les deux premières relations. Comme, pour des raisons de symétrie, on s'attend à ce que <math>G(x) = G(L-x)</math>, on peut supposer que les coefficients <math>b_n</math> sont nuls lorsque ''n'' est pair, de sorte que :
<center><math>G = \sum_{n=0}^\infty b_{2n+1} \sin(\frac{(2n+1)\pi x}{L}) \exp(- \frac{(2n+1)^2\pi^2Dt}{L^2})</math></center>
Pour ''t'' = 0, on a :
<center><math>- \frac{Px(L-x)}{2D} = \sum_{n=0}^\infty b_{2n+1} \sin(\frac{(2n+1)\pi x}{L})</math></center>
On trouve les <math>b_{2n+1}</math> en développant <math>- \frac{Px(L-x)}{2D}</math> en [[série de Fourier]]. On trouve :
<center><math>b_{2n+1} = - \frac{4PL^2}{(2n+1)^3\pi^3D}</math></center>
D'où G, puis finalement :
<center><math>T = \frac{Px(L-x)}{2D} - \frac{4PL^2}{D\pi^3} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^3} \sin(\frac{(2n+1)\pi x}{L}) \exp(- \frac{(2n+1)^2\pi^2Dt}{L^2})</math></center>
Lorsque ''t'' tend vers l'infini, la température du domaine tend vers <math>\frac{Px(L-x)}{2D}</math>, l'échauffement thermique dans le milieu étant alors en équilibre avec l'évacuation de la chaleur par les deux bords.
==== Domaine limité par un plan ====
[[Image:Conduction_thermique_Plan_AvecSourceDeChaleur.gif|right|thumb|250px|Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine ''x'' > 0 limité par un bord. Le domaine est chauffé uniformément, alors que la température initiale est nulle, et que le bord reste à cette température nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point]]
La résolution du même problème dans le cas où ''x''>0 consiste à déterminer T tel que :
::<math>\frac{\partial T}{\partial t} - D \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = P</math>
::T(0,''t'') = 0 pour tout ''t'' positif.
::T(''x'',0) = 0 pour tout ''x'' > 0.
On peut obtenir la solution en faisant tendre L vers l'infini dans l'expression donnée dans le [[#Domaine limité par deux plans parallèles|paragraphe précédent]], en assimilant la série à une [[somme de Riemann]]. On obtient alors l'expression suivante :
<center><math>T = - \frac{Px^2}{2D} + \frac{Px^2}{2D} \,{\rm erf}(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}) + \frac{Px\sqrt{t}}{\sqrt{D\pi}} \exp(- \frac{x^2}{4Dt}) + Pt \, {\rm erf}(\frac{x}{2\sqrt{Dt}})</math></center>
erf est la fonction dite [[fonction d'erreur de Gauss]]. On peut également trouver cette expression en appliquant la méthode découlant du [[#Principe général|principe général]] relatif à un domaine illimité, après avoir étendu à l'espace entier les fonctions T et P en des fonctions impaires en ''x'', de façon à ce que T s'annule en ''x'' = 0.
Quand ''t'' tend vers l'infini, T vaut environ P''t'', analogue à celle d'un domaine infini. Le bord unique n'est pas suffisant pour évacuer la chaleur.
==== Domaine à géométrie sphérique ====
[[Image:Conduction_thermique_Circulaire_AvecSourceDeChaleur.gif|right|thumb|260px|Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine à bord circulaire. Le domaine est chauffé uniformément, alors que la température initiale est nulle, et que le bord reste à cette température nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point]]
Dans le cas d'un domaine dont le bord est une sphère de rayon R, on utilise l'expression du laplacien en sphérique et on est amené à résoudre :
::<math>\frac{\partial T}{\partial t} = D\left(\frac{2}{r} \frac{\partial T}{\partial r} + \frac{\partial^2 T}{\partial r^2}\right) + P</math>
::Pour tout ''t'', T(R,''t'') = 0
::Pour tout ''r'', T(''r'',0) = 0
En posant <math>G = rT + \frac{r^3P - rR^2P}{6D}</math>, G vérifie le système :
::<math>\frac{\partial G}{\partial t} = D\frac{\partial^2 G}{\partial r^2}</math>
::Pour tout ''t'', G(R,''t'') = 0
::Pour tout ''r'', <math>G(r,0) = \frac{r^3P - rR^2P}{6D}</math>
La méthode des séries de Fourier suggère de chercher G sous la forme d'une série <math>\sum_{n=1}^\infty b_n \sin(\frac{n\pi r}{R}) \exp(- \frac{n^2\pi^2 Dt}{R^2})</math>, où les <math>b_n</math> sont trouvés en développant <math>\frac{r^3P - rR^2P}{6D}</math> en série de Fourier. On obtient :
<center><math>G = \frac{2P R^3}{D\pi^3} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^3} \sin(\frac{n\pi r}{R}) \exp(- \frac{n^2\pi^2 Dt}{R^2})</math></center>
et donc :
<center><math>T = \frac{R^2P - r^2P}{6D} + \frac{2P R^2}{D\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} {\rm sinc}(\frac{n\pi r}{R}) \exp(- \frac{n^2\pi^2 Dt}{R^2})</math></center>
où sinc est la fonction [[sinus cardinal]].
Quand ''t'' tend vers l'infini, la température T tend vers la répartition limite <math>\frac{R^2P - r^2P}{6D}</math>.
== Notes et références ==
===Sources===
* J.Ph. Pérez et A.M. Romulus. ''Thermodynamique. Fondements et applications'', Masson, Paris, 1993.
=== Notes ===
<References/>
{{Wikiversity|Conduction thermique}}
== Voir aussi ==
* [[Transfert thermique]]
* [[Conductance électrique]]
{{Portail physique}}
[[Catégorie:Transfert thermique]]
[[Catégorie:Loi en physique|Fourier]]
[[bg:Топлопроводимост]]
[[ca:Conducció tèrmica]]
[[cs:Vedení tepla]]
[[de:Wärmeleitung]]
[[en:Heat conduction]]
[[fi:Johtuminen]]
[[hr:Kondukcija topline]]
[[it:Conduzione termica]]
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[[pl:Przewodzenie ciepła]]
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[[th:การนำความร้อน]]