<page> <title>Constante de Brun</title> <id>15492</id> <revision> <id>31554266</id> <timestamp>2008-07-13T21:06:23Z</timestamp> <contributor> <username>VolkovBot</username> <id>198153</id> </contributor> <minor /> <comment>robot Ajoute: [[zh:布朗常数]]</comment> <text xml:space="preserve">En [[mathématiques]], la '''constante de Brun des nombres premiers jumeaux''' (ou plus simplement '''constante de Brun''') est la somme de la [[Série (mathématiques)|série]] des [[inverse]]s des [[nombres premiers jumeaux]], c’est-à -dire des couples de [[Nombre premier|nombres premiers]] distants de 2. Cette constante tire son nom du mathématicien [[Viggo Brun]] qui démontra en [[1919]] que cette série est [[Série convergente|convergente]]<ref>Viggo Brun, ''La série 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + ... où les denominateurs sont "nombres premiers jumeaux" est convergente ou finie'', Bulletin des Sciences Mathématiques n°43 (1919), pp. 100-104 et 124-128</ref>. == Définition == Soit <math>(p_n, q_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> la [[Suite (mathématiques)|suite]] des couples de nombres premiers jumeaux. Les premiers termes de cette suite sont <math>(3, 5)</math>, <math>(5, 7)</math>, <math>(11, 13)</math>, etc. Soit <math>(S_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> la suite des sommes partielles des inverses des <math>n</math> premiers termes de la suite précédente : <math>S_n=\sum_{k=0}^n \left( \frac{1}{p_k} + \frac{1}{q_k} \right)</math>. La [[série (mathématiques)|série]] correspondante [[Série convergente|converge]] vers la constante de Brun, notée <math>B_2</math> : :<math>B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots</math>. À la différence de la série des inverses de tous les [[Nombre premier|nombres premiers]] qui, elle, [[Série divergente|diverge]], cette série est convergente. Une divergence de la série aurait permis de prouver la [[conjecture des nombres premiers jumeaux]] ; dans la mesure où elle est convergente, cette conjecture n'est toujours pas prouvée. == Estimation == Une première estimation de la constante de Brun a été effectuée par Shanks et Wrench en 1974 à l'aide des premiers jumeaux jusqu'à 2 millions<ref> D. Shanks et J. W. Wrench, ''Brun's constant'', ''Mathematical Computation'' n°28 (1974), pp. 293-299</ref>. R.P. Brent calcula en 1976 tous les nombres premiers jumeaux jusqu'à 10<sup>11</sup> et améliora le résultat<ref>R. P. Brent, ''Tables Concerning Irregularities in the Distribution of Primes and Twin Primes Up to 10^(11)'', Mathematical Computation n°30 (1976), p. 379</ref>. Une meilleure estimation de la constante de Brun a été réalisée par [[Thomas Nicely]] en 1994 par une méthode heuristique en calculant les nombres premiers jumeaux jusqu'à 10<sup>14</sup><ref>Thomas Nicely, ''Enumeration to 10^14 of the twin primes and Brun's constant'', ''Virginia Journal of Science'' 46:3 (1995), pp. 195-204 [http://www.trnicely.net/twins/twins.html]</ref> (pour l'anecdote, T. Nicely a mis en évidence à cette occasion le [[bogue de la division du Pentium]]). Il a par la suite amélioré cette approximation en utilisant les jumeaux jusqu'à 1,6×10<sup>15</sup> [http://www.trnicely.net/twins/twins2.html] et a mis à jour cette approximation au fil des années. En septembre 2006, il donnait l'estimation suivante [http://www.trnicely.net/counts.html] : :''B''<sub>2</sub> = 1,90216 05825 38 ± 0.00000 00014 00. La meilleure estimation de l'écriture décimale de la constante de Brun a été réalisée en 2002 par [[Pascal Sebah]] et [[Patrick Demichel]] en utilisant tous les nombres premiers jumeaux jusqu'à 10<sup>16</sup><ref>Patrick Sebah, ''Counting Twin Primes and estimation of Brun's Constant up to 10<sup>16</sup>'' (2002) [http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0208&L=NMBRTHRY&P=1968]</ref> : :''B''<sub>2</sub> ≈ 1,90216 05831 04. La suite des chiffres de la constante de Brun en écriture décimale est référencée dans l'[[Encyclopédie électronique des suites entières|OEIS]] comme la séquence {{OEIS|id=A065421}}. == Généralisation == Il existe aussi une '''constante de Brun pour les quadruplets de nombres premiers'''. Un ''quadruplet de premiers'' est un couple constitué de jumeaux premiers, séparés d'une distance de 4 (la plus courte distance possible) soit <math>(p, p+2, p+6, p+8)</math>. Les premiers quadruplets de premiers sont (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). La constante de Brun pour les quadruplets de premiers, notée ''B''<sub>4</sub>, est la somme des inverses de tous les nombres premiers des quadruplets: :<math>B_4 = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109}\right) + \cdots</math> avec la valeur: : ''B''<sub>4</sub> = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005. ==Voir aussi== === Articles connexes === * [[Constante d'Euler-Mascheroni]] * [[Constante de Meissel-Mertens]] * [[Nombres premiers jumeaux]] === Liens externes === * {{en}} [http://www.trnicely.net/twins/twins2.html ''On twins enumeration and Brun's constant''] (Thomas Nicely) * {{en}} [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/twin.html ''Introduction to twin primes and Brun's constant computation''] (Pascal Sebah) === Références === <references /> {{Portail mathématiques}} [[Catégorie:Constante mathématique|Brun (Constante)]] [[ca:Constant de Brun]] [[de:Brunsche Konstante]] [[en:Brun's constant]] [[eo:Konstanto de Brun]] [[es:Constante de Brun]] [[he:קבוע ברון]] [[hu:Brun-konstans]] [[it:Costante di Brun]] [[ja:ブルン定数]] [[lmo:Custanta da Brun]] [[nl:Constante van Brun]] [[pl:Stałe Bruna]] [[pt:Constante de Brun]] [[zh:布朗常数]]</text> </revision> </page>