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    <title>Constante de Brun</title>
    <id>15492</id>
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      <id>31554266</id>
      <timestamp>2008-07-13T21:06:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>VolkovBot</username>
        <id>198153</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>robot  Ajoute: [[zh:布朗常数]]</comment>
      <text xml:space="preserve">En [[mathématiques]], la '''constante de Brun des nombres premiers jumeaux''' (ou plus simplement '''constante de Brun''') est la somme de la [[Série (mathématiques)|série]] des [[inverse]]s des [[nombres premiers jumeaux]], c’est-à-dire des couples de [[Nombre premier|nombres premiers]] distants de 2.

Cette constante tire son nom du mathématicien [[Viggo Brun]] qui démontra en [[1919]] que cette série est [[Série convergente|convergente]]&lt;ref&gt;Viggo Brun, ''La série 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + ... où les denominateurs sont &quot;nombres premiers jumeaux&quot; est convergente ou finie'', Bulletin des Sciences Mathématiques n°43 (1919), pp. 100-104 et 124-128&lt;/ref&gt;.

== Définition ==
Soit &lt;math&gt;(p_n, q_n)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; la [[Suite (mathématiques)|suite]] des couples de nombres premiers jumeaux. Les premiers termes de cette suite sont &lt;math&gt;(3, 5)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(5, 7)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(11, 13)&lt;/math&gt;, etc.

Soit &lt;math&gt;(S_n)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; la suite des sommes partielles des inverses des &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; premiers termes de la suite précédente : &lt;math&gt;S_n=\sum_{k=0}^n \left( \frac{1}{p_k} + \frac{1}{q_k} \right)&lt;/math&gt;. La [[série (mathématiques)|série]] correspondante [[Série convergente|converge]] vers la constante de Brun, notée &lt;math&gt;B_2&lt;/math&gt; :

:&lt;math&gt;B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots&lt;/math&gt;.

À la différence de la série des inverses de tous les [[Nombre premier|nombres premiers]] qui, elle, [[Série divergente|diverge]], cette série est convergente. Une divergence de la série aurait permis de prouver la [[conjecture des nombres premiers jumeaux]] ; dans la mesure où elle est convergente, cette conjecture n'est toujours pas prouvée.

== Estimation ==
Une première estimation de la constante de Brun a été effectuée par Shanks et Wrench en 1974 à l'aide des premiers jumeaux jusqu'à 2 millions&lt;ref&gt; D. Shanks et J. W. Wrench, ''Brun's constant'', ''Mathematical Computation'' n°28 (1974), pp. 293-299&lt;/ref&gt;. R.P. Brent calcula en 1976 tous les nombres premiers jumeaux jusqu'à 10&lt;sup&gt;11&lt;/sup&gt; et améliora le résultat&lt;ref&gt;R. P. Brent, ''Tables Concerning Irregularities in the Distribution of Primes and Twin Primes Up to 10^(11)'', Mathematical Computation n°30 (1976), p. 379&lt;/ref&gt;.

Une meilleure estimation de la constante de Brun a été réalisée par [[Thomas Nicely]] en 1994 par une méthode heuristique en calculant les nombres premiers jumeaux jusqu'à 10&lt;sup&gt;14&lt;/sup&gt;&lt;ref&gt;Thomas Nicely, ''Enumeration to 10^14 of the twin primes and Brun's constant'', ''Virginia Journal of Science'' 46:3 (1995), pp. 195-204 [http://www.trnicely.net/twins/twins.html]&lt;/ref&gt; (pour l'anecdote, T. Nicely a mis en évidence à cette occasion le [[bogue de la division du Pentium]]). Il a par la suite amélioré cette approximation en utilisant les jumeaux jusqu'à 1,6×10&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt; [http://www.trnicely.net/twins/twins2.html] et a mis à jour cette approximation au fil des années. En septembre 2006, il donnait l'estimation suivante [http://www.trnicely.net/counts.html] :

:''B''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = 1,90216 05825 38 ± 0.00000 00014 00.

La meilleure estimation de l'écriture décimale de la constante de Brun a été réalisée en 2002 par [[Pascal Sebah]] et [[Patrick Demichel]] en utilisant tous les nombres premiers jumeaux jusqu'à 10&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;&lt;ref&gt;Patrick Sebah, ''Counting Twin Primes and estimation of Brun's Constant up to 10&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;'' (2002) [http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0208&amp;L=NMBRTHRY&amp;P=1968]&lt;/ref&gt; :

:''B''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ≈ 1,90216 05831 04.

La suite des chiffres de la constante de Brun en écriture décimale est référencée dans l'[[Encyclopédie électronique des suites entières|OEIS]] comme la séquence {{OEIS|id=A065421}}.

== Généralisation ==
Il existe aussi une '''constante de Brun pour les quadruplets de nombres premiers'''. Un ''quadruplet de premiers'' est un couple constitué de jumeaux premiers, séparés d'une distance de 4 (la plus courte distance possible) soit &lt;math&gt;(p, p+2, p+6, p+8)&lt;/math&gt;. Les premiers quadruplets de premiers sont (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). La constante de Brun pour les quadruplets de premiers, notée  ''B''&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;, est la somme des inverses de tous les nombres premiers des quadruplets:

:&lt;math&gt;B_4 = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right)
+ \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right)
+ \left(\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109}\right) + \cdots&lt;/math&gt;

avec la valeur:

: ''B''&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005. 

==Voir aussi==
=== Articles connexes ===
* [[Constante d'Euler-Mascheroni]]
* [[Constante de Meissel-Mertens]]
* [[Nombres premiers jumeaux]]

=== Liens externes ===
* {{en}} [http://www.trnicely.net/twins/twins2.html ''On twins enumeration and Brun's constant''] (Thomas Nicely)
* {{en}} [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/twin.html ''Introduction to twin primes and Brun's constant computation''] (Pascal Sebah)

=== Références ===
&lt;references /&gt;

{{Portail mathématiques}}
[[Catégorie:Constante mathématique|Brun (Constante)]]

[[ca:Constant de Brun]]
[[de:Brunsche Konstante]]
[[en:Brun's constant]]
[[eo:Konstanto de Brun]]
[[es:Constante de Brun]]
[[he:קבוע ברון]]
[[hu:Brun-konstans]]
[[it:Costante di Brun]]
[[ja:ブルン定数]]
[[lmo:Custanta da Brun]]
[[nl:Constante van Brun]]
[[pl:Stałe Bruna]]
[[pt:Constante de Brun]]
[[zh:布朗常数]]</text>
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