Convergence de variables aléatoires
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2008-05-19T14:33:43Z
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Dans la [[théorie des probabilités]], il existe différentes notions de [[convergence]] de [[Variable aléatoire|variables aléatoires]].
La convergence (dans un des sens décrits ci-dessous) de [[suite]]s de variables aléatoires est un concept important
de la théorie des probabilités utilisé notamment en [[statistique]] et dans l'étude des [[processus stochastique]]s.
Par exemple , la moyenne de ''n'' variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées
converge presque sûrement vers l'espérance commune de ces variables aléatoires.
Ce résultat est connu sous le nom de [[loi forte des grands nombres]].
Dans la suite, nous supposons que (''X''<sub>''n''</sub>) est une suite de variables aléatoires réelles
(i.e. à valeurs réelles), et ''X'' est une variable aléatoire réelle, et que toutes ces variables sont définies sur un [[espace probabilisé]] (Ω, ''F'', P).
== Convergence en loi ==
Soient ''F''<sub>1</sub>, ''F''<sub>2</sub>, ... la [[suite]] de [[fonction de répartition|fonctions de répartition]]
associées aux variables aléatoires ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., et ''F'' la fonction de répartition
associée à la variable aléatoire ''X''. La suite ''X''<sub>''n''</sub> converge vers ''X'' '''en loi''', si
::<math>\lim_{n\rightarrow\infty} F_n(a) = F(a),</math>
pour tout réel ''a'' auquel ''F'' est [[fonction continue|continue]]. Puisque ''F''(a) = P(''X'' ≤ a), cela signifie que la probabilité que ''X'' appartienne à un certain intervalle est très similaire à la probabilité que ''X''<sub>''n''</sub> soit dans cet intervalle pour ''n'' suffisamment grand. La convergence en loi est souvent notée en ajoutant la lettre <math>\mathcal L</math> (ou <math>\mathcal D</math> pour distribution) au dessus de la flèche de convergence:
::<math>X_n \, \begin{matrix} {\,}_\mathcal{L} \\ {\,}^{\longrightarrow} \\ \quad \end{matrix} \, X.</math><!-- not ideal, but I don't know better TeX to achieve this on WP. \overset{L}{\longrightarrow} may be used in proper LaTeX -->
La convergence en loi est la forme la plus faible au sens où, en général, elle n'implique pas les autres formes de convergence
définies ci-dessous, et que ces autres formes de convergence impliquent la convergence en loi.
C'est ce type de convergence qui est utilisé dans le [[théorème de la limite centrale]].
Définitions équivalentes:
* (''X''<sub>''n''</sub>) converge en loi vers ''X'' ssi pour toute fonction continue bornée
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty} E f(X_n)=E f(X).</math>
* (''X''<sub>''n''</sub>) converge en loi vers ''X'' ssi la [[fonction caractéristique d'une variable aléatoire| fonction caractéristique de la variable aléatoire]] ''X''<sub>''n''</sub> [[Convergence simple|converge simplement]] vers la fonction caractéristique de la variable aléatoire ''X''.
== Convergence en probabilité ==
On dit que ''X''<sub>''n''</sub> converge vers ''X'' '''en probabilité''' ssi pour tout ε > 0
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}P\left(\left|X_n-X\right|\geq\varepsilon\right)=0.</math>
La convergence en probabilité implique la convergence en loi.
Pour le prouver, le lemme suivant est utile
=== Lemme ===
Soient ''X'', ''Y'' des variables aléatoires réelles, ''c'' un réel et ε > 0;. Alors
:<math>\Pr(Y\leq c)\leq \Pr(X\leq c+\varepsilon)+\Pr(\left|Y - X\right|>\varepsilon).</math>
=== Preuve du lemme ===
:<math>\Pr(Y\leq c)=\Pr(Y\leq c,X\leq c+\varepsilon)+\Pr(Y\leq c,X>c+\varepsilon)</math>
:<math>=\Pr(Y\leq c \vert X\leq c+\varepsilon)\Pr(X\leq c+\varepsilon)+\Pr(Y\leq c,c<X - \varepsilon)</math>
:<math>\leq \Pr(X\leq c+\varepsilon)+\Pr(Y - X<- \varepsilon)\leq \Pr(X\leq c+\varepsilon)+\Pr(\left|Y - X\right|>\varepsilon)</math>
car
:<math>\Pr(\left|Y - X\right|>\varepsilon)=\Pr(Y - X>\varepsilon)+\Pr(Y - X<-\varepsilon)\geq \Pr(Y - X<-\varepsilon).</math>
=== Preuve ===
Pour tout ε > 0, en raison du lemme précédent, on a:
:<math>P(X_n\leq a)\leq P(X\leq a+\varepsilon)+P(\left|X_n - X\right|>\varepsilon)</math>
:<math>P(X\leq a-\varepsilon)\leq P(X_n \leq a)+P(\left|X_n - X\right|>\varepsilon)</math>
On a donc
:<math>P(X\leq a-\varepsilon)-P(\left|X_n - X\right|>\varepsilon)\leq P(X_n \leq a)\leq P(X\leq a+\varepsilon)+P(\left|X_n - X\right|>\varepsilon).</math>
En prenant la limite pour <math>n\rightarrow\infty</math>, on obtient
:<math>P(X\leq a-\varepsilon)\leq \lim_{n\rightarrow\infty} P(X_n \leq a)\leq P(X\leq a+\varepsilon).</math>
Or <math>a\mapsto P(X\leq a)</math> est la [[fonction de répartition]] <math>F_X</math>, qui est continue
par hypothèse en ''a'', i.e.
:<math>\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} F_X(a-\varepsilon)=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} F_X(a+\varepsilon)=F_X(a),</math>
Donc, en prenant la limite pour <math>\varepsilon \rightarrow 0^+</math>, on obtient
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty} P(X_n \leq a)=P(X \leq a).</math>
== Convergence presque sûre ==
On dit que ''X''<sub>''n''</sub> converge '''presque sûrement''' ou '''presque partout''' ou '''avec probabilité 1''' ou '''fortement''' vers ''X'' si
:<math>P\left(\lim_{n\rightarrow\infty}X_n=X\right)=1.</math>
Cela signifie que les valeurs de ''X''<sub>''n''</sub> approchent la valeur de ''X'', au sens où (cf [[presque partout]])
l'événement sur lequel ''X''<sub>''n''</sub> ne converge pas vers ''X'' a une probabilité nulle. En utilisant l'espace
probabilisé (Ω, ''F'', P) et le concept de variable aléatoire comme function de Ω dans '''R''',
la convergence presque sûre s'écrit également
:<math>P\left(\big\{\omega \in \Omega \, | \, \lim_{n \to \infty}X_n(\omega) = X(\omega) \big\}\right) = 1.</math>
La convergence presque sûre implique la convergence en probabilité, et donc implique la convergence en loi. C'est la notion la
plus forte de convergence. C'est celle utilisée dans la [[loi forte des grands nombres]].
== Convergence en moyenne d'ordre ''r'' ==
Soit ''r'' > 0.
On dit que ''X''<sub>''n''</sub> converge vers ''X'' en moyenne d'ordre ''r'' ou '''en norme [[espace Lp|L<sup>r</sup>]]''' si E|''X''<sub>''n''</sub>|<sup>''r''</sup> < ∞ pour tout ''n'' et
::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\mathrm{E}\left(\left|X_n-X\right|^r\right)=0</math>.
La convergence en moyenne d'ordre ''r'' nous dit que l'espérance de la puissance ''r''-ième de la difference entre ''X''<sub>''n''</sub> et ''X'' converge vers zero.
La convergence en norme L<sup>r</sup> implique la convergence en probabilité (d'après l'[[inégalité de Bienaymé-Tchebychev]]).
Pour ''r'' > ''s'' ≥ 1, la convergence en norme L<sup>r</sup> implique la convergence en norme L<sup>s</sup>.
Pour ''r'' =2, on parle de '''convergence en moyenne quadratique'''
== Implications réciproques ==
En général, il n'y a pas d'implications réciproques. Néanmoins, dans certains cas, l'implication réciproque est valable.
* Si ''X''<sub>''n''</sub> converge en loi vers une constante réelle ''c'', alors ''X''<sub>''n''</sub> converge
en probabilité vers ''c''.
* Si ''X''<sub>''n''</sub> converge en probabilité vers ''X'', et si Pr(|''X''<sub>''n''</sub>| ≤ ''b'') = 1 pour tout ''n'' et un certain ''b'', alors ''X''<sub>''n''</sub> converge en moyenne d'ordre ''r'' vers ''X'' pour tout ''r'' ≥ 1. Autrement dit,
si ''X''<sub>''n''</sub> converge en probabilité vers ''X'' et si toutes les variables aléatoires ''X''<sub>''n''</sub> sont presque
sûrement bornées, alors ''X''<sub>''n''</sub> converge vers ''X'' en moyenne d'ordre ''r''.
* Si pour tout ε > 0,
::<math>\sum_n P\left(|X_n - X| > \varepsilon\right) < \infty,</math>
:alors ''X''<sub>''n''</sub> converge presque sûrement vers ''X''.
En d'autres termes, si ''X''<sub>''n''</sub> converge en probabilité vers ''X'' suffisamment rapidement (''i''.''e''. la somme ci-dessus converge pour tout ε > 0),
alors ''X''<sub>''n''</sub> converge aussi presque sûrement vers ''X''.
Cela résulte d'une application directe du [[Théorème de Borel-Cantelli]].
* Si ''S''<sub>''n''</sub> est une somme de ''n'' variables aléatoires réelles indépendantes:
::<math>S_n = X_1+\cdots+X_n</math>
:alors ''S''<sub>''n''</sub> converge presque sûrement ssi ''S''<sub>''n''</sub> converge en probabilité.
== References ==
# G.R. Grimmett and D.R. Stirzaker (1992). ''Probability and Random Processes, 2nd Edition''. Clarendon Press, Oxford, pp 271--285. ISBN 0-19-853665-8.
# M. Jacobsen (1992). ''Videregående Sandsynlighedsregning (Advanced Probability Theory) 3rd Edition''. HCØ-tryk, Copenhagen, pp 18--20. ISBN 87-91180-71-6.
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[[Catégorie:Probabilités]]
[[de:Konvergenz (Stochastik)]]
[[en:Convergence of random variables]]
[[he:התכנסות (סטטיסטיקה)]]
[[it:Convergenza di variabili casuali]]
[[pl:Zbieżność według rozkładu]]
[[vi:Sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên]]