<page> <title>Copule</title> <id>262217</id> <revision> <id>30681638</id> <timestamp>2008-06-15T22:02:48Z</timestamp> <contributor> <username>Loveless</username> <id>41312</id> </contributor> <minor /> <comment>robot Ajoute: [[ja:コピュラ (統計å¦)]]; changement de type cosmétique</comment> <text xml:space="preserve">{{Voir homonymes|Copule (homonymie)}} Terme désignant, dans le modèle [[logique]] d'[[Aristote]] : * le verbe '''être''' lorsqu'il introduit un [[attribut]] définissant les [[propriété]]s du sujet (par opposition au verbe être employé comme auxiliaire de conjugaison) ; * la [[Conjonction (grammaire)|conjonction]] '''et''' lorsqu'elle relie deux propositions. == Aspects probabilistes des copules == En [[mathématiques]], il s'agit d'une fonction liant les lois marginales afin de former une loi multivariée (théorème de [[Sklar]]). Une copule est une fonction de répartition, notée <math>\mathcal{}C</math>, définie sur <math>\mathcal{}[0,1]^d</math> dont les marges sont uniformes sur <math>\mathcal{}[0,1]</math>. Une caractérisation est alors que <math>\mathcal{}C(u_1,...,u_d)=0</math> si une des composantes <math>\mathcal{}u_i</math> est nulle, <math>\mathcal{}C(1,...,1,u_i,1,...,1)=u_i</math>, et <math>\mathcal{}C</math> est <math>\mathcal{}d</math>- croissante. En dimension <math>2</math>, <math>\mathcal{}C(0,v)=C(u,0)=0</math> pour tout <math>\mathcal{}u</math> et <math>\mathcal{}v</math>, <math>\mathcal{}C(u,1)=u</math> et <math>\mathcal{}C(1,v)=v</math>, pour tout <math>\mathcal{}u</math> et <math>\mathcal{}v</math>, et enfin, la propriété de <math>2</math> croissante se traduit par <math>\mathcal{}C(u_1,v_1)-C(u_1,v_2)-C(u_2,v_1)+C(u_2,v_2)\geq0</math>. L'interprétation de cette notion de croissance se fait en notant que si <math>\mathcal{}(U,V)</math> admet pour fonction de répartition <math>\mathcal{}C</math>, <math>\mathcal{}\Pr(u_1<U<u_2,v_1<V<v_2)=C(u_1,v_1)-C(u_1,v_2)-C(u_2,v_1)+C(u_2,v_2)\geq0</math>, la mesure <math>\mathcal{}\Pr</math> étant nécessairement positive. Le théorème de [[Sklar]] dit que si <math>\mathcal{}C</math> est une copule, et si <math>\mathcal{}F_1,...,F_d</math> sont des fonctions de répartition (univariées), alors <math>\mathcal{}F(x_1,...,x_d)=C(F_1(x_1),...,F_d(x_d))</math> est une fonction de répartition de dimension <math>\mathcal{}d</math>, dont les marges sont précisément <math>\mathcal{}F_1,...,F_d</math>. Et réciproquement, si <math>\mathcal{}F</math> est une fonction de répartition en dimension <math>\mathcal{}d</math>, il existe une copule <math>\mathcal{}C</math> telle que <math>\mathcal{}F(x_1,...,x_d)=C(F_1(x_1),...,F_d(x_d))</math>, où les <math>\mathcal{}F_i</math> sont les lois marginales de <math>\mathcal{}F</math>. Si ces lois marginales sont toutes continues, la copule <math>\mathcal{}C</math> est alors unique, et donnée par la relation <math>\mathcal{}C(u_1,...,u_d)=F(F_1^{-1} (u_1),...,F_d^{-1} (u_d))</math>. Dans ce cas, on pourra alors parler de ''la'' copule associée à un vecteur aléatoire <math>\mathcal{}(X_1,...,X_d)</math>. La copule d'un vecteur aléatoire un vecteur aléatoire <math>\mathcal{}(X_1,...,X_d)</math> est alors la fonction de répartition du vecteur aléatoire <math>\mathcal{}(F_1(X_1),...,F_d(X_d))</math>, que l'on notera parfois <math>\mathcal{}(U_1,...,U_d)</math>. == Quelques copules classiques == Parmi les copules usuelles, la copule produit <math>\mathcal{}\Pi(u_1,...,u_d)=u_1...u_d</math> (on parlera aussi de copule [[indépendante]]). <math>\mathcal{}(X_1,...,X_d)</math> a des composantes [[indépendante]]s si et seulement si <math>\mathcal{}\Pi</math> est une copule du vecteur <math>\mathcal{}(X_1,...,X_d)</math>. <gallery> Image:Cop-indep-3d.jpg|[[Copule indépendante]] Image:Cop-indep-2d.jpg|[[Copule indépendante]] </gallery> La copule comonotone, ou copule du minimum, est définie par <math>\mathcal{}M(u_1,...,u_d)=min\{u_1,....,u_d\}</math>. <math>\mathcal{}M</math> est une copule du vecteur <math>\mathcal{}(X_1,...,X_d)</math> si et seulement s'il existe des transformations croissantes <math>\mathcal{}g_{i,j}</math> telles que <math>\mathcal{}X_i=g_{i,j}(X_j)</math>. Cette copule correspond à la borne supérieur de [[Fréchet]]-[[Hoeffding]], au sens où pour toute copule <math>\mathcal{}C</math>, <math>C(u_1,...,u_d)\leq M(u_1,...,u_d)</math>. <gallery> Image:Cop-comon-3d.jpg|[[Copule comonotone]] Image:Cop-comon-2d.jpg|[[Copule comonotone]] </gallery> Une classe particulièrement importante de copule est celle des copules [[Archimédiennes]], définies par <math>\mathcal{}C(u_1,...,u_d)=\phi^{-1}(\phi(u_1)+...+\phi(u_d))</math>, où <math>\mathcal{}\phi</math> (appelé générateur de la copule [[Archimédienne]]) est au moins <math>\mathcal{}d-2</math> fois continument dérivable, dont la dérivé <math>\mathcal{}d-2</math> est décroissante convexe, et telle que <math>\mathcal{}\phi(1)=0</math>. Ce générateur est unique à une constante (positive) multplicative près. Une sous classe relativement large est obtenue lorsque <math>\mathcal{}\phi</math> est l'inverse d'une [[transformée de Laplace]] (et une interprétation factorielle est alors possible). Parmi les cas particuliers, * la copule [[indépendante]] obtenue lorsque <math>\mathcal{} \phi(t) = -\log(t) </math>, * la copule de [[David G. Clayton|Clayton]] obtenue lorsque <math>\mathcal{} \phi(t) = \frac{t^{-\alpha}-1}{\alpha} </math> , avec <math>\mathcal{}\alpha\geq -1</math>. Le générateur est alors l'inverse de la transformée de Laplace de la loi [[Gamma]]. Cette copule est la seule copule Archimédienne invariante par troncature, * la copule de [[Gumbel]] obtenue lorsque <math>\mathcal{} \phi(t) = (-\log(t)) ^\alpha </math> , avec <math>\mathcal{}\alpha\geq 0</math>. Le générateur est alors l'inverse de la transformée de Laplace de la loi [[stable]]. Cette copule est la seule copule Archimédienne vérifiant une propriété de max-stabilité, c’est-à -dire <math>\mathcal{}C(u^n_1,...,u^n_d)=C^n(u_1,...,u_d)</math>, pour tout <math>\mathcal{}n\geq 1</math>, * la copule de [[Frank]] obtenue lorsque <math>\mathcal{} \phi(t) = -\log\frac{e^{-\alpha t}-1 }{e^{-\alpha }-1 } </math>. Cette copule est la seule qui soit symmétrique dans la queue inférieure et supérieure, <gallery> Image:cop-Frank-density.JPG|[[Copule de Frank]] Image:cop-Clayton-density.JPG|[[Copule de Clayton]] Image:cop-Gumbel-density.JPG|[[Copule de Gumbel]] </gallery> <gallery> Image:scatter-frank.JPG|[[Copule de Frank]] Image:scatter-clayton.JPG|[[Copule de Clayton]] Image:scatter-gumbel.JPG|[[Copule de Gumbel]] </gallery> Les copules elliptiques... <gallery> Image:cop-gaussian-density.JPG|[[Copule Gaussienne]] Image:cop-t-density.JPG|[[Copule de Student (t)]] </gallery> == Aspects statistiques == D'un point de vue [[statistique]], les copules apparaissent naturelles comme la distribution des [[rangs]]. Les copules apparaissent dans les [[espaces métriques]] de [[probabilité]] ou en [[logique floue]] (''fuzzy logic''). === Liens externes === * {{en}} http://www.flll.jku.at/mediawiki : Copula Wiki - encyclopédie collaborative sur la théorie des copules * http://cermics.enpc.fr/~delmas/Enseig/copules.pdf : Copules et démonstration du théorème de Sklar [[Catégorie:Syntaxe]] [[Catégorie:Logique]] [[Catégorie:Probabilités]] [[Catégorie:Statistiques]] [[de:Copula (Mathematik)]] [[en:Copula (statistics)]] [[ja:コピュラ (統計å¦)]] [[pl:KopuÅ‚a (matematyka)]] [[ru:Копула]] [[zh:耦åˆ]]</text> </revision> </page>