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    <title>Copule</title>
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      <timestamp>2008-06-15T22:02:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Loveless</username>
        <id>41312</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>robot  Ajoute: [[ja:コピュラ (統計学)]]; changement de type cosmétique</comment>
      <text xml:space="preserve">{{Voir homonymes|Copule (homonymie)}}

Terme désignant, dans le modèle [[logique]] d'[[Aristote]] :

* le verbe '''être''' lorsqu'il introduit un [[attribut]] définissant les [[propriété]]s du sujet (par opposition au verbe être employé comme auxiliaire de conjugaison) ;

* la [[Conjonction (grammaire)|conjonction]] '''et''' lorsqu'elle relie deux propositions.

== Aspects probabilistes des copules ==

En [[mathématiques]], il s'agit d'une fonction liant les lois marginales afin de former une loi multivariée (théorème de [[Sklar]]).

Une copule est une fonction de répartition, notée &lt;math&gt;\mathcal{}C&lt;/math&gt;, définie sur &lt;math&gt;\mathcal{}[0,1]^d&lt;/math&gt; dont les marges sont uniformes sur &lt;math&gt;\mathcal{}[0,1]&lt;/math&gt;. Une caractérisation est alors que &lt;math&gt;\mathcal{}C(u_1,...,u_d)=0&lt;/math&gt; si une des composantes &lt;math&gt;\mathcal{}u_i&lt;/math&gt; est nulle, &lt;math&gt;\mathcal{}C(1,...,1,u_i,1,...,1)=u_i&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;\mathcal{}C&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\mathcal{}d&lt;/math&gt;- croissante. 

En dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{}C(0,v)=C(u,0)=0&lt;/math&gt; pour tout &lt;math&gt;\mathcal{}u&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\mathcal{}v&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{}C(u,1)=u&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\mathcal{}C(1,v)=v&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;\mathcal{}u&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\mathcal{}v&lt;/math&gt;, et enfin, la propriété de &lt;math&gt;2&lt;/math&gt; croissante se traduit par &lt;math&gt;\mathcal{}C(u_1,v_1)-C(u_1,v_2)-C(u_2,v_1)+C(u_2,v_2)\geq0&lt;/math&gt;. 

L'interprétation de cette notion de croissance se fait en notant que si &lt;math&gt;\mathcal{}(U,V)&lt;/math&gt; admet pour fonction de répartition &lt;math&gt;\mathcal{}C&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{}\Pr(u_1&lt;U&lt;u_2,v_1&lt;V&lt;v_2)=C(u_1,v_1)-C(u_1,v_2)-C(u_2,v_1)+C(u_2,v_2)\geq0&lt;/math&gt;, la mesure &lt;math&gt;\mathcal{}\Pr&lt;/math&gt; étant nécessairement positive.

Le théorème de [[Sklar]] dit que si &lt;math&gt;\mathcal{}C&lt;/math&gt; est une copule, et si &lt;math&gt;\mathcal{}F_1,...,F_d&lt;/math&gt; sont des fonctions de répartition (univariées), alors &lt;math&gt;\mathcal{}F(x_1,...,x_d)=C(F_1(x_1),...,F_d(x_d))&lt;/math&gt; est une fonction de répartition de dimension &lt;math&gt;\mathcal{}d&lt;/math&gt;, dont les marges sont précisément &lt;math&gt;\mathcal{}F_1,...,F_d&lt;/math&gt;. 

Et réciproquement, si &lt;math&gt;\mathcal{}F&lt;/math&gt; est une fonction de répartition en dimension &lt;math&gt;\mathcal{}d&lt;/math&gt;, il existe une copule &lt;math&gt;\mathcal{}C&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\mathcal{}F(x_1,...,x_d)=C(F_1(x_1),...,F_d(x_d))&lt;/math&gt;, où les &lt;math&gt;\mathcal{}F_i&lt;/math&gt; sont les lois marginales de &lt;math&gt;\mathcal{}F&lt;/math&gt;. 

Si ces lois marginales sont toutes continues, la copule &lt;math&gt;\mathcal{}C&lt;/math&gt; est alors unique, et donnée par la relation &lt;math&gt;\mathcal{}C(u_1,...,u_d)=F(F_1^{-1} (u_1),...,F_d^{-1} (u_d))&lt;/math&gt;. Dans ce cas, on pourra alors parler de ''la'' copule associée à un vecteur aléatoire &lt;math&gt;\mathcal{}(X_1,...,X_d)&lt;/math&gt;. 

La copule d'un vecteur aléatoire un vecteur aléatoire &lt;math&gt;\mathcal{}(X_1,...,X_d)&lt;/math&gt; est alors la fonction de répartition du vecteur aléatoire &lt;math&gt;\mathcal{}(F_1(X_1),...,F_d(X_d))&lt;/math&gt;, que l'on notera parfois &lt;math&gt;\mathcal{}(U_1,...,U_d)&lt;/math&gt;.

== Quelques copules classiques ==

Parmi les copules usuelles, la copule produit &lt;math&gt;\mathcal{}\Pi(u_1,...,u_d)=u_1...u_d&lt;/math&gt; (on parlera aussi de copule [[indépendante]]). &lt;math&gt;\mathcal{}(X_1,...,X_d)&lt;/math&gt; a des composantes [[indépendante]]s si et seulement si &lt;math&gt;\mathcal{}\Pi&lt;/math&gt; est une copule du vecteur &lt;math&gt;\mathcal{}(X_1,...,X_d)&lt;/math&gt;.

&lt;gallery&gt;
Image:Cop-indep-3d.jpg|[[Copule indépendante]]
Image:Cop-indep-2d.jpg|[[Copule indépendante]]
&lt;/gallery&gt;

La copule comonotone, ou copule du minimum, est définie par &lt;math&gt;\mathcal{}M(u_1,...,u_d)=min\{u_1,....,u_d\}&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\mathcal{}M&lt;/math&gt; est une copule du vecteur &lt;math&gt;\mathcal{}(X_1,...,X_d)&lt;/math&gt; si et seulement s'il existe des transformations croissantes &lt;math&gt;\mathcal{}g_{i,j}&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\mathcal{}X_i=g_{i,j}(X_j)&lt;/math&gt;. Cette copule correspond à la borne supérieur de [[Fréchet]]-[[Hoeffding]], au sens où pour toute copule &lt;math&gt;\mathcal{}C&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;C(u_1,...,u_d)\leq M(u_1,...,u_d)&lt;/math&gt;.

&lt;gallery&gt;
Image:Cop-comon-3d.jpg|[[Copule comonotone]]
Image:Cop-comon-2d.jpg|[[Copule comonotone]]
&lt;/gallery&gt;

Une classe particulièrement importante de copule est celle des copules [[Archimédiennes]], définies par &lt;math&gt;\mathcal{}C(u_1,...,u_d)=\phi^{-1}(\phi(u_1)+...+\phi(u_d))&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\mathcal{}\phi&lt;/math&gt; (appelé générateur de la copule [[Archimédienne]]) est au moins &lt;math&gt;\mathcal{}d-2&lt;/math&gt; fois continument dérivable, dont la dérivé &lt;math&gt;\mathcal{}d-2&lt;/math&gt; est décroissante convexe, et telle que &lt;math&gt;\mathcal{}\phi(1)=0&lt;/math&gt;. 

Ce générateur est unique à une constante (positive) multplicative près. Une sous classe relativement large est obtenue lorsque &lt;math&gt;\mathcal{}\phi&lt;/math&gt; est l'inverse d'une [[transformée de Laplace]] (et une interprétation factorielle est alors possible). Parmi les cas particuliers,

* la copule [[indépendante]] obtenue lorsque &lt;math&gt;\mathcal{} \phi(t) = -\log(t)  &lt;/math&gt;,

* la copule de [[David G. Clayton|Clayton]] obtenue lorsque &lt;math&gt;\mathcal{} \phi(t) = \frac{t^{-\alpha}-1}{\alpha} &lt;/math&gt; , avec &lt;math&gt;\mathcal{}\alpha\geq -1&lt;/math&gt;. Le générateur est alors l'inverse de la transformée de Laplace de la loi [[Gamma]]. Cette copule est la seule copule Archimédienne invariante par troncature,

* la copule de [[Gumbel]] obtenue lorsque &lt;math&gt;\mathcal{} \phi(t) = (-\log(t)) ^\alpha &lt;/math&gt; , avec &lt;math&gt;\mathcal{}\alpha\geq 0&lt;/math&gt;. 

Le générateur est alors l'inverse de la transformée de Laplace de la loi [[stable]]. Cette copule est la seule copule Archimédienne vérifiant une propriété de max-stabilité, c’est-à-dire &lt;math&gt;\mathcal{}C(u^n_1,...,u^n_d)=C^n(u_1,...,u_d)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;\mathcal{}n\geq 1&lt;/math&gt;,
* la copule de [[Frank]] obtenue lorsque &lt;math&gt;\mathcal{} \phi(t) = -\log\frac{e^{-\alpha t}-1 }{e^{-\alpha }-1 }   &lt;/math&gt;. Cette copule est la seule qui soit symmétrique dans la queue inférieure et supérieure,

&lt;gallery&gt;
Image:cop-Frank-density.JPG|[[Copule de Frank]]
Image:cop-Clayton-density.JPG|[[Copule de Clayton]]
Image:cop-Gumbel-density.JPG|[[Copule de Gumbel]]
&lt;/gallery&gt;

&lt;gallery&gt;
Image:scatter-frank.JPG|[[Copule de Frank]]
Image:scatter-clayton.JPG|[[Copule de Clayton]]
Image:scatter-gumbel.JPG|[[Copule de Gumbel]]
&lt;/gallery&gt;

Les copules elliptiques...

&lt;gallery&gt;
Image:cop-gaussian-density.JPG|[[Copule Gaussienne]]
Image:cop-t-density.JPG|[[Copule de Student (t)]]
&lt;/gallery&gt;

== Aspects statistiques ==

D'un point de vue [[statistique]], les copules apparaissent naturelles comme la distribution des [[rangs]].

Les copules apparaissent dans les [[espaces métriques]] de [[probabilité]] ou en [[logique floue]] (''fuzzy logic'').

=== Liens externes ===

* {{en}} http://www.flll.jku.at/mediawiki : Copula Wiki - encyclopédie collaborative sur la théorie des copules
* http://cermics.enpc.fr/~delmas/Enseig/copules.pdf : Copules et démonstration du théorème de Sklar

[[Catégorie:Syntaxe]]
[[Catégorie:Logique]]
[[Catégorie:Probabilités]]
[[Catégorie:Statistiques]]

[[de:Copula (Mathematik)]]
[[en:Copula (statistics)]]
[[ja:コピュラ (統計学)]]
[[pl:Kopuła (matematyka)]]
[[ru:Копула]]
[[zh:耦合]]</text>
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