Corps de décomposition 865442 31714679 2008-07-19T20:23:11Z Liu 104974 /* Exemples */ En [[mathématiques]] et plus précisément en [[algèbre]] dans la [[théorie de Galois]], le '''corps de décomposition''' d'un [[polynôme]] P(X) est la plus petite [[extension de corps]] contenant toutes les racines de P(X). On montre qu'une telle extension existe toujours. Un corps de décomposition d'un polynôme est une [[extension finie]] et [[extension normale|normale]]. S'il est [[extension séparable|séparable]], c'est une [[extension de Galois]]. Toute la théorie de Galois s'applique, un tel corps bénéficie de théorèmes puissants, comme le [[théorème de l'élément primitif]] ou le [[théorème fondamental de la théorie de Galois]]. De nombreux problèmes se résolvent alors à l'aide de cette structure. On peut citer par exemple le [[théorème d'Abel]] ou la détermination des [[polygone]]s [[Construction à la règle et au compas|constructible à la règle et au compas]]. ==Définition== Les notations suivantes sont utilisées pour tout l'article, soit ''K'' un corps, P(X) un polynôme à coefficients dans ''K'' et Ω une [[clôture algébrique]] de ''K''. :* Il existe une plus petite extension de corps ''L'' sur ''K'' telle que le polynôme P(X) soit scindé (c’est-à-dire qu'il soit le produit de polynômes du premier degré) sur ''L''. Minimal signifie ici que toute sous-extension ''F'' de ''L'' contenant toutes les racines de P(X) est égale à ''L''. Cette extension est appelée '''corps de décomposition''' de P(X). :* Soit (''l<sub>1</sub>'', ..., ''l<sub>n</sub>'') une famille ''f'' d'éléments [[extension algébrique|algébriques]] de Ω. Le plus petit corps de Ω contenant la famille et ''K'' est noté ''K''(''l<sub>1</sub>'', ..., ''l<sub>n</sub>'') et est appelé l'extension '''engendrée''' par la famille ''f''. ''L'' est isomorphe à un sous-corps de Ω, il est donc possible d'identifier ''L'' à un sous-corps de Ω comme le prouve le paragraphe [[Extension algébrique#Clôture algébrique|Extension algébrique et clôture algébrique]]. Cette identification est réalisée dans le reste de l'article. Si ''r<sub>1</sub>'', ..., ''r<sub>n</sub>'' sont les racines de P(X) dans ''L'', alors ''L'' s'identifie à ''K''(''r<sub>1</sub>'', ..., ''r<sub>n</sub>''). La démonstration de l'existence du corps de décomposition se trouve dans le paragraphe [[Extension algébrique#Extension algébrique et polynôme|Extension algébrique et polynôme]]. ''Remarque: Il existe une autre convention, le corps de décomposition d'un polynôme P(X) sur ''K'' désigne toute extension contenant toutes les racines de P(X), le corps minimal est alors appelé le corps des racines.'' ==Exemples== Le corps de décomposition du polynôme X<sup>2</sup>+1 sur le corps des [[nombre réel|nombres réels]] est le corps des [[nombre complexe|nombres complexes]]. Construisons alors le corps de décomposition ''L'' du polynôme P(X) = X<sup>3</sup> - 2 sur le corps des [[nombre rationnel|nombres rationnels]]. Soit ''r'' la racine cubique (réelle) de <math>2</math>, et ''j'' la racine cubique (complexe) de l'unité ayant une composante imaginaire positive. Alors les deux autres racines sont ''j.r'' et ''j<sup>2</sup>.r''. Aucune racine n'est rationnelle, donc le polynôme est irréductible (en effet tout polynôme de degré trois qui n'est pas irréductible possède une racine rationnelle). Considérons l'extension ''K<sub>1</sub>'' égale à Q(''r''), c’est-à-dire l'extension engendrée par ''r''. Comme P(X) est [[élément irréductible|irréductible]], c'est une extension de degré trois isomorphe à Q[X]/(P(X)Q[X]) (cf le paragraphe [[Extension algébrique#Extension algébrique et polynôme|Extension algébrique et polynôme]]) et dont une base est {1, ''r'', ''r<sup>2</sup>''}. Sur ''K<sub>1</sub>'' le polynôme P(X) possède une racine ''r''. Une division de P(X) par le polynôme X - ''r'' donne l'égalité: <center><math>P(X)=(X-r)(X^2 + r.X + r^2)=(X-r)(X+(1/2 + s).r)(X+(1/2 -s).r)\quad avec \; s= \frac{\sqrt{3}}{2}i \;</math></center> On en déduit que ''L'' est égal à ''K<sub>1</sub>''(''s'') qui est une extension de degré deux de ''K<sub>1</sub>'' et dont une base est {1, ''s''}. On a l'égalité sur les degrés [''L'':Q] =[''L'':''K<sub>1</sub>''].[''K<sub>1</sub>'':Q]= 3 x 2 = 6 (cf. [[Extension algébrique#Définitions et premières propriétés|Définitions et premières propriétés des extensions algèbriques]]). On en déduit une base de ''L'' sur ''K'' qui est {1, ''r'', ''r<sup>2</sup>'',''s'' ,''s.r'', ''s.r<sup>2</sup>''}. ''Remarque: La méthode présentée ici est générique, elle peut être utilisée pour batir des corps de décompositions.'' ==Propriétés== * Un corps de décomposition est une [[extension finie]]. Cette propriété est démontrée dans le paragraphe [[Extension algébrique#Extension algébrique et sur-corps|Extension algébrique et sur-corps]]. * Deux corps de décomposition de P(X) sur un corps ''K'' sont isomorphes comme extensions de ''K''. Cette propriété est démontrée dans le paragraphe [[Extension algébrique#Extension algébrique et sur-corps|Extension algébrique et sur-corps]]. * Si un corps de décomposition est généré par des éléments séparables, alors il est séparable et le [[théorème de l'élément primitif]] s'applique. En conséquence, l'extension est séparable et [[Extension simple|simple]]. * Si P(X) est irréductible et séparable, alors le corps de décomposition est [[Extension de Galois|galoisien]]: Soient ''r<sub>1</sub>'',...,''r<sub>n</sub>'' les racines de P(X) dans Ω. Alors ''L'' est égal à ''K''(''r<sub>1</sub>'',...,''r<sub>n</sub>''). Tout morphisme de ''L'' dans Ω permute les racines, donc laisse stable ''L'', ce qui montre que l'extension est [[extension normale|normale]]. Comme ''L'' est une extension séparable et normale, elle est donc de Galois. ==Voir aussi== ===Liens externes=== * {{fr}} [http://perso.univ-rennes1.fr/bernard.le-stum/Documents/galois.pdf Une courte présentation des extensions algébriques] par Bernard le Stum Université de Rennes 1 2001 * {{fr}} [http://www.institut.math.jussieu.fr/dea/aa/dea01-02/Galois.pdf Un cours de DEA sur la théorie de Galois] par Alain Kraus Université de Paris VI 1998 * {{fr}} [http://www.les-mathematiques.net/b/b/g/node3.php3 Les correspondances de Galois] dans les-mathématiques.net ===Références=== :{{Douady1}} :{{Lang1}} :{{Samuel1}} {{Théorie de Galois}} {{portail mathématiques}} [[Catégorie:Théorie de Galois]] [[de:Körpererweiterung#Zerfällungskörper]] [[en:Splitting field]] [[es:Cuerpo de descomposición]] [[fi:Jakokunta (algebra)]] [[it:Campo di spezzamento]]