Corps fini
10332
30946820
2008-06-24T07:03:21Z
Jean-Luc W
53231
/* Caractéristique et cardinal */ Clarté
[[Image:Wedderburn.jpeg|thumb|200px|right|Joseph Wedderburn démontre la dernière conjecture sur les corps finis en 1905]]
En [[mathématiques]] et plus précisément dans la branche de la [[théorie de Galois]], un '''corps fini''' est un [[corps (mathématiques)|corps]] (commutatif) dont le [[nombre cardinal|cardinal]] est fini. À [[isomorphisme]] près, un corps fini est entièrement déterminé par son cardinal qui est toujours de la forme ''p''<sup>n</sup>, une puissance d'un nombre premier. Ce nombre premier n'est autre que sa [[caractéristique d'un anneau|caractéristique]] et le corps se présente comme l'unique [[extension simple]] du corps premier ''Z''/''p''.''Z'' de dimension ''n''.
Les applications sont essentiellement la [[théorie algébrique des nombres]] où les corps finis apparaissent comme une structure essentielle à la [[géométrie arithmétique]]. Cette branche a permis, entre autres, de démontrer le [[grand théorème de Fermat]]. Les corps finis sont fréquemment utilisés en [[cryptographie]] ou en [[théorie des codes]], par exemple, pour déterminer des [[code correcteur|codes correcteurs]] efficaces.
Remarque sur la terminologie : la convention la plus usitée en France<ref>[[Nicolas Bourbaki|N. Bourbaki]] ''Algèbre commutative. Chapitre 5'' Hermann 1964</ref>, même si elle n'est pas générale, utilise le mot « corps » que la loi de multiplication soit commutative ou non, ce qui oblige à préciser si le corps est commutatif on non. C'est celle utilisée dans les quatre références de l'article. Elle diffère de la convention courante en anglais où « ''field'' » sous-entend déjà la commutativité. Dans le cas des corps finis, la convention est en fait de peu d'importance car, d'après le [[théorème de Wedderburn]], tout corps fini est commutatif. Ce résultat se démontre à l'aide des [[polynôme cyclotomique|polynômes cyclotomiques]].
==Histoire==
===Théorie===
[[Image:Ferdinand Georg Frobenius.jpg|right|thumb|Ferdinand Georg Frobenius]]
La théorie générale des corps apparaît initialement durant la seconde moitié du {{XIXe siècle}}. [[Richard Dedekind]] <small>([[1831 en science|1831]]-[[1916 en science|1916]])</small> invente le terme [[allemand]] de ''Körper''<ref>[[Richard Dedekind]], Lechbuch des Algebra [[1871 en science|1871]].</ref>, terme encore utilisé aujourd'hui, dont la traduction française est ''corps''. Une première définition est l'œuvre<ref>[[Heinrich Weber]], Lechbuch der Algebra [[1895 en science|1895]].</ref> de [[Heinrich Weber]] <small>([[1842 en science|1842]]-[[1913 en science|1913]])</small>. La définition axiomatique moderne est due à [[Ernst Steinitz]] <small>([[1871 en science|1871]]-[[1928 en science|1928]])</small> et date de [[1910 en science|1910]].
Les travaux de [[Frobenius]] <small>([[1849 en science|1849]]-[[1917 en science|1917]])</small> marquent le début d'une utilisation des corps finis non premiers. Ils apparaissent nécessaires pour la résolution de questions<ref>[[Ferdinand Georg Frobenius]], ''Sur le caractère du groupe'', Académie de Berlin, [[1896 en science|1896]]</ref> sur la [[théorie des représentations d'un groupe fini]]. L'[[endomorphisme de Frobenius]] permet d'appliquer la [[théorie de Galois]] à ces structures. La théorie se montre redoutablement efficace, dans le cas commutatif. L'[[existence]], le cardinal et la structure des corps finis sont rapidement déterminés. Pour cette raison, deux termes deviennent synonymes, ''corps de Galois'' et ''corps fini''.
L'étude systématique des corps finis commence au début du {{XXe siècle}}, avec les travaux de [[Leonard Dickson]] <small>([[1874 en science|1874]]-[[1954 en science|1954]])</small> puis de [[Joseph Henry Maclagan Wedderburn|Joseph Wedderburn]] <small>([[1882 en science|1882]]-[[1948 en science|1948]])</small>. Dickson publie<ref>[[Leonard Dickson]], Linear Groups With an Exposition of the Galois Field Theory, [[1901 en science|1901]]</ref> la première classification des corps finis commutatifs. La structure de l'[[anneau (mathématiques)|anneau]] des polynômes associé y est explicitée. La question du cas non commutatif est alors l'objet d'une conjecture: ''il n'existe pas de corps fini non commutatif''. Wedderburn, séjourne à l'[[Université de Chicago]] en [[1904 en science|1904]] et travaille en étroite collaboration avec Dickson. À son retour, l'année suivante, il démontre la conjecture qui devient un [[théorème de Wedderburn|théorème]], nommé en son honneur.
Depuis cette époque, la théorie proprement dite ne comporte plus de problème ouvert. En revanche, les applications, tant théoriques que pratiques, abondent durant tout le {{XXe siècle}}.
===Applications théoriques===
Les corps finis sont, en particulier, utilisés en [[arithmétique]], au fondement par exemple de l'[[arithmétique modulaire]]. Elle a permis à [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] <small>([[1777 en science|1777]]-[[1855 en science|1865]])</small> de démontrer<ref>[[Carl Friedrich Gauss]], ''Disquisitiones Arithmeticae'', [[1801 en science|1801]].</ref> la [[loi de réciprocité quadratique]]. La structure de corps intervient notamment dans le résolution d'[[équation diophantienne|équations diophantiennes]] (voir section Applications). Le [[petit théorème de Fermat]] est un exemple archétypal.
[[Emil Artin|Artin]] <small>([[1898 en science|1898]]-[[1962 en science|1962]])</small> utilise le fait qu'un contexte naturel des lois de réciprocité est celui des corps finis. C'est l'un des outils qui lui permettent de résoudre le [[neuvième problème de Hilbert]]. Il initie l'analyse de l'équivalent de la [[fonction zêta de Riemann]] sur les corps finis. La ''[[géométrie arithmétique]]'' se généralise sur des structures finies. Cette approche est particulièrement active durant la seconde moitié du {{XXe siècle}}. [[André Weil]] <small>([[1906 en science|1906]], [[1998 en science|1998]])</small> généralise la démarche aux [[Courbe algébrique|courbes algébriques]] et [[Pierre Deligne]] <small>(né en [[1944 en science|1944]])</small> aux [[Variété algébrique|variétés algébriques]]. Les [[conjectures de Weil]] sur les variétés sur des corps finis, énoncées en [[1940 en science|1940]] par André Weil, font partie des problèmes importants de cette époque. Démontrées en [[1974 en science|1974]], elles ouvrent la voie au [[théorème de Taniyama-Shimura]] démontré par [[Andrew Wiles]] et ayant pour conséquence le [[grand théorème de Fermat]], souvent cité dans les [[médiation scientifique|articles de vulgarisation]].
===Applications pratiques===
[[Image:voyager2.jpg|right|thumb|Voyager 2 utilise le code Reed-Solomon fondé sur la théorie des corps finis pour communiquer.]]
Après la [[Seconde Guerre mondiale]] et pour les besoins de la société, [[Claude Shannon]] <small>([[1916 en science|1916]], [[2001 en science|2001]])</small> formalise la [[théorie de l'information]] comme une branche des mathématiques<ref>[[Claude Shannon]] ''A mathematical theory of communication'' Bell System Technical Journal, vol. 27, pp. 379-423 et 623-656, Juil et Oct [[1948 en science|1948]]</ref>, posant les problématiques de la [[sécurité]]<ref>[[Claude Shannon]] ''Communication Theory of Secrecy Systems'' Bell System Technical Journal, Vol 28, pp. 656-715, Oct 1949</ref> et de la [[fiabilité]].
La [[cryptologie]] s'appuie sur la possibilité de générer rapidement de grands [[nombre premier|nombres premiers]]. La confidentialité d'un message est assurée par notre incapacité actuelle de casser des entiers, c'est-à-dire d'effectuer un [[Algorithmique|algorithme]] permettant de [[théorème fondamental de l'arithmétique|décomposer un nombre en facteurs premiers]] en un temps raisonnable. Une recherche active cherche à créer de nouveaux algorithmes allant en ce sens. Ainsi, [[Michael Rabin]] <small>(né en [[1931 en science|1931]])</small> publie<ref>[[Michael Rabin]], ''Probabilistic Algorithm for Testing Primality'' J. Number Th. 12, 128-138, [[1980 en science|1980]]</ref> un [[test de primalité de Miller-Rabin|test de primalité]] se fondant sur les propriétés du [[groupe (mathématiques)|groupe]] multiplicatif des corps premiers.
La fiabilité traite de la capacité à transmettre sans erreur un message malgré des altérations dans la communication, elle est traitée par la théorie des [[code correcteur|codes correcteurs]]. En [[1950 en science|1950]], [[Richard Hamming]] <small>([[1915 en science|1915]]-[[1998 en science|1998]])</small> travaille pour les [[laboratoires Bell]] avec Shannon sur ce sujet. Il utilise<ref>[[Richard Hamming]] ''Error-detecting and error-correcting codes'' Bell Syst. Tech. J. 29 pp 147 à 160 [[1950 en science|1950]]</ref> des [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] de [[dimension]] finie sur des corps finis pour formaliser un cadre opérationnel à la théorie et trouver les premiers exemples de codes correcteurs optimaux. Cette approche donne naissance à la théorie des [[code linéaire|codes linéaires]].
En [[1960 en science|1960]], deux mathématiciens R. C. Bose, D. K. Ray-Chaudhuri montrent<ref>R. C. Bose and D. K. Ray-Chaudhuri ''On a class of error-. correcting. binary group codes'' Inform. Control, vol. 3, pp. 68-79, Mars 1960</ref> que des idéaux de l'anneau des polynômes sur les corps finis de [[Caractéristique d'un anneau|caractéristique]] deux sont particulièrement adaptés. La théorie est généralisée<ref>A. Hocquenghem ''Codes correcteurs d'erreurs'' Chiffre 1959</ref> par le mathématicien A. Hocquenghem et donne naissance à la famille de [[code BCH|codes BCH]]. Deux autres fondateurs de la théorie, I. Reed et G. Solomon enrichissent la méthode<ref>I. Reed G. Solomon ''Polynomial codes over certain finite fields'' J. Soc. Indus. Appl Math Vol 8 n° 2 pp 300 à 304 [[1960 en science|1960]]</ref> et créent des codes à même de résister à de grosses altérations, les [[code de Reed-Solomon|codes de Reed-Solomon]]. Les applications les plus connues sont probablement le système de communication de certaines sondes de la [[National Aeronautics and Space Administration|NASA]] comme [[Programme Voyager|Voyager]] ou les [[disque compact|disques compacts]]. Durant les années [[1970 en science|1970]] les résultats d'arithmétique avancés sur les [[courbe elliptique|courbes elliptiques]] des corps finis, trouvent leur application<ref>V.D. Goppa ''Codes associated with divisors'' Problems of Information Transmission, 12(1):22--27, [[1977 en science|1977]]</ref> avec, par exemple, les [[code de Goppa|codes de Goppa]].
La théorie des [[code correcteur|codes correcteurs]] est maintenant considérée comme une branche de celle des corps finis.
== Exemples ==
===Le plus petit corps===
Le plus petit corps fini noté ( <math> \mathbb F_2 \,</math>, '''+''', '''.''' ) ou plus simplement ''F''<sub>2</sub> est composé de deux éléments distincts, à savoir l'élément neutre pour l'addition [[zéro|0]] et l'élément neutre pour la multiplication [[un|1]]. Voici la définition des opérations « '''+''' » et « '''.''' » sur ce corps :
<center>
{| class="wikitable"
|
{| border="1"
| '''+''' || '''0''' || '''1'''
|-
| '''0''' || 0 || 1
|-
| '''1''' || 1 || 0
|}
|
{| border="1"
| '''.''' || '''0''' || '''1'''
|-
| '''0''' || 0 || 0
|-
| '''1''' || 0 || 1
|}
|}
</center>
===Corps premiers et extensions===
Comme ''Z'' est un [[anneau euclidien]], à fortiori [[anneau principal|principal]], tout [[idéal]] ''I'' s'écrit de manière unique sous la forme ''I'' = ''n''.''Z'' où ''n'' est appelé le générateur positif de ''I''. Par définition, c'est le plus petit [[entier naturel|entier positif]] non nul appartenant à ''I''. Les seules [[Anneau quotient|structures quotients]] obtenues à partir de ''Z'' sont donc les [[Anneau (mathématiques)|anneaux]] commutatifs unitaires ''Z''/''n''.''Z''.
Ces anneaux donnent les premiers exemples de corps finis :
:* ''L'anneau ''Z''/''nZ'' est un corps si, et seulement si, ''n'' est un nombre premier.''
Cette propriété est démontrée dans le paragraphe [[Anneau Z/nZ#Cas où Z/nZ est un corps|Cas où Z/nZ est un corps]] de l'article [[Anneau Z/nZ]].
Une question importante sera celle de la structure du groupe multiplicatif des corps finis. Ici :
:* ''Si ''p'' est premier, alors le groupe des inversibles ''Z''/''p''.''Z''<sup>*</sup> est un groupe cyclique d'ordre ''p'' - 1.''
Cette propriété est démontrée dans le paragraphe [[Anneau Z/nZ#Cas où n est premier|Cas où n est premier]] de l'article [[Anneau Z/nZ]].
On verra plus loin que ces exemples sont en fait les seuls exemples de corps finis de cardinal un nombre premier, mais aussi que tout corps fini peut s'obtenir par [[extension algébrique]] à partir d'un tel corps. Si ''p'' est un nombre premier, ''F''<sub>p</sub> désigne le corps ''Z''/''p''.''Z''.
Il existe des [[élément premier|polynômes irréductibles]] ''P''[''X''] de ''F''<sub>p</sub> [''X''] tel que le quotient ''F''<sub>p</sub> [''X'']/(''P''[''X'']) de l'anneau des polynômes ''F''<sub>p</sub> [''X''] par l'idéal principal engendré par un tel polynôme irréductible ''P(X)'' soit un corps fini (commutatif). Il contient strictement le corps premier d'ordre ''p'', si le polynôme n'est pas de degré un. Ce corps n'est autre qu'un [[corps de rupture]] du polynôme : la classe de ''X'' fournit une racine de ''P''.
Par exemple, pour ''p''=2, le polynôme 1+X+X<sup>2</sup> est irréductible dans ''F''<sub>2</sub> [''X''] (c'est d'ailleurs l'unique polynôme irréductible de degré 2). L'extension correspondante est un corps noté ''F''<sub>4</sub>. Ce corps a exactement 4 éléments qui sont 0, 1, et les deux racines x et x+1 de 1+''X''+''X''<sup>2</sup>. Ses lois sont données comme suit :
<center>
{| class="wikitable"
|
{| border="1"
| '''+''' || '''0''' || '''1''' || '''x''' || '''x+1'''
|-
| '''0''' || 0 || 1 || x || x+1
|-
| '''1''' || 1 || 0 || x+1 || x
|-
| '''x''' || x || x+1 || 0 || 1
|-
| '''x+1''' || x+1 || x || 1 || 0
|}
|
{| border="1"
| '''.''' || '''0''' || '''1''' || '''x''' || '''x+1'''
|-
| '''0''' || 0 || 0 || 0 || 0
|-
| '''1''' || 0 || 1 || x || x+1
|-
| '''x''' || 0 || x|| x+1 || 1
|-
| '''x+1''' || 0 || x+1 || 1 || x
|}
|}
</center>
Pour ''p'' > 2, la fonction polynomiale carrée, qui à ''x'' associe son carré ''x''<sup>2</sup> n'est pas injective car envoie les éléments distincts 1 et -1 sur 1. Comme son ensemble de départ est égal à son ensemble d'arrivée et est de [[Nombre cardinal|cardinal]] fini, la fonction n'est pas non plus surjective. Ainsi, il existe au moins un élément ''a'' tel que le polynôme ''P''[''X''] égal à ''X''<sup>2</sup> - ''a'' ne soit pas scindé. L'extension associée à ce polynôme est de degré 2 et fournit un corps contenant ''n'' = ''p''<sup>2</sup> éléments noté ''F''<sub>n</sub>. À isomorphisme près, ce corps est indépendant de ''a''.
==Extensions de corps finis==
Le [[théorème de Wedderburn]] montre que tout corps fini est [[Groupe abélien|commutatif]], il est donc une [[extension finie]] d'un corps premier.
On montre d'abord que tout corps fini est de cardinal la puissance d'un nombre premier, puis qu'il existe à isomorphisme près un unique corps fini de tel cardinal donné.
===Caractéristique et cardinal===
{{Article détaillé|Caractéristique d'un anneau|Extension finie}}
Soit '''K''' un corps fini et ''p'' sa '''caractéristique''', c'est à dire le plus petit entier tel que l'addition de 1 itérée ''p'' fois soit égal à 0. Un tel nombre existe car sinon, le groupe additif engendré par 1 serait de cardinal infini et '''K''' ne contient pas de sous-ensemble infini. De plus, ''p'' est un nombre premier. En effet, si ''a'' et ''b'' sont des entiers tels que ''a.b'' = ''p'', alors le produit de ''a'' par ''b'' est nul dans '''K''', ce qui montre que soit ''a'' soit ''b'' est un multiple de ''p'', car il n'existe pas de diviseur de 0 dans un corps. L'unique homomorphisme d'anneaux unitaires de ''Z'' dans ''K'' induit une injection de ''Z''/''p''.''Z'' dans '''K''' son image est le sous-corps de '''K''' formé des éléments du sous-groupe additif engendré par 1. C'est un sous-corps de ''K'' contenant ''p'' éléments et isomorphe à ''Z''/ ''pZ'', encore noté ''F''<sub>p</sub>.
Le corps ''K'' hérite donc d'une structure d'[[espace vectoriel]] sur ''F''<sub>p</sub>. Sa dimension
étant nécessairement finie, notons la ''n'', son cardinal est alors ''p''<sup>''n''</sup>. Pour résumer :
* ''Le cardinal d'un corps fini est une puissance d'un nombre premier qui en est sa caractéristique. Plus exactement, tout corps fini est une extension finie d'un corps premier ''F''<sub>p</sub>.''
===Automorphisme de Frobenius===
{{Article détaillé|Automorphisme de Frobenius}}
On suppose ici donné un corps ''K'' fini de caractéristique ''p'', de cardinal ''q'' = ''p''<sup>k</sup>. On peut alors montrer la formule importante suivante :
<center><math>(x+y)^p=x^p+y^p\;</math></center>
L'application qui, à ''x'', associe ''x''<sup>p</sup> de ''K'' dans lui-même est un endomorphisme bijectif, appelé endomorphisme de Frobenius et est noté ici ''Frob''. Cet automorphisme est important dans l'étude des corps finis. On trouvera le théorème suivant démontré dans l'article dédié :
* ''Tout corps fini est [[corps parfait|parfait]], c'est-à-dire que ses extensions algébriques sont [[extension séparable|séparables]].''
Ce fait a une conséquence importante, par le [[théorème de l'élément primitif]], qui affirme que toute extension finie et séparable est simple c’est-à-dire engendrée par un unique élément :
*''Toute extension de corps finis est [[extension simple|simple]].''
L'étude de l'automorphisme de Frobenius permet aussi de déterminer les polynômes irréductibles sur le corps fini ''K'' :
*''Les polynômes irréductibles de <math>K</math> de degré ''n'' sont les diviseurs premiers de degré ''n'' du polynôme suivant et sont donc tous [[polynôme cyclotomique|cyclotomiques]] :''
<center><math>X^{p^n}-X</math></center>
===Existence d'un corps fini de cardinal ''p''<sup>n</sup>===
{{Article détaillé|Corps de décomposition}}
Soit ''n'' un entier strictement positif, ''q'' l'entier égal à ''p''<sup>n</sup> et ''L'' le corps de décomposition du polynôme ''P''[X] = ''X''<sup>q</sup> - X sur le corps ''F''<sub>p</sub>. L'ensemble des éléments invariants par l'automorphisme ''Frob''<sup>n</sup> est une extension ''K'' de ''F''<sub>p</sub>. ''K'' est exactement l'ensemble des [[racine (mathématiques)|racines]] de ''P''[X]. Or ''P''[''X''] est scincé sur ''K'', il est de plus séparable car premier avec son [[Polynôme#Polynôme dérivé|polynôme dérivé]] égal à 1 (cette propriété est démontrée dans le paragraphe [[Extension séparable#Cas des polynômes|Cas des polynômes]] de l'article [[Extension séparable]]). ''K'' contient donc autant de racines que son degré, c’est-à-dire ''p''<sup>n</sup>.
===Groupe multiplicatif et conséquences===
Soit ''K'' un corps fini de cardinal ''q'' = ''p''<sup>n</sup>. Alors, le groupe multiplicatif de ce corps est de cardinal ''q'' - 1 ; soit ''e'' son [[Exposant d'un groupe|exposant]], c'est un diviseur de ''q'' - 1. Il vient alors que le polynôme ''X''<sup>e</sup> - 1 à coefficients dans ''K'', possède ''q'' - 1 racines distinctes et est de degré ''e'', ce qui implique que ''e'' est supérieur à ''q'' - 1, puis l'égalité. L'exposant du groupe multiplicatif étant égal à son ordre, et comme dans un groupe fini commutatif l'exposant est toujours l'ordre d'un élément du groupe, on trouve :
*''Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique.''
En conséquence, tout corps de cardinal ''q'' est un corps de décomposition du polynôme ''X''<sup>q</sup> - X sur ''F''<sub>p</sub>. Deux tels corps de décomposition sont isomorphes, donc si on fixe une clôture algébrique de ''F''<sub>p</sub>, alors :
* ''Il existe un et un seul corps de cardinal ''q'', noté ''F''<sub>q</sub>'', contenu dans la clôture algébrique fixée.
===Propriétés galoisiennes===
{{Article détaillé|Extension de Galois}}
Une conséquence du paragraphe précédent est que le polynôme minimal ψ<sub>q-1</sub>[''X''] d'un élément primitif est de degré ''n'', et le corps ''F''<sub>q</sub> de cardinal ''q'' est isomorphe au corps de rupture ''F''<sub>p</sub>[''X'']/ψ<sub>q-1</sub>[''X'']. Or, ce polynôme est diviseur du polynôme ''X<sup>q-1</sup>-1'', qui est scindé dans ''F''<sub>q</sub>. Ainsi :
* ''L'extension ''F''<sub>q</sub>/''F''<sub>p</sub> est corps de décomposition du polynôme cyclotomique ψ<sub>q-1</sub>[''X'']. C'est une extension galoisienne.''
Et, plus précisément, l'endomorphisme de Frobenius ''Frob'' est un automorphisme du corps ''F''<sub>q</sub>' laissant son sous-corps premier invariant, c'est donc un élément du groupe de Galois. Considérant ensuite un élément ''x'' primitif dans ''F''<sub>q</sub>, on voit que :
:<math>Frob^n(x)=x^{p^n}=x^q=x</math>
et, par primitivité, ''n'' est la plus petite puissance de ''Frob'' laissant ''x'' fixe. ''Frob'' est donc un élément d'ordre au moins ''n'' du groupe de Galois, qui est d'ordre le degré ''n'' de l'extension :
* ''L'endomorphisme de Frobenius est un générateur du groupe de Galois ''Gal'' ( ''F''<sub>q</sub>/''F''<sub>p</sub>), qui est en particulier cyclique d'ordre ''n''.''
Le [[théorème fondamental de la théorie de Galois]] permet la détermination des sous-corps d'un corps fini. Les sous-groupes du groupe de Galois sont les groupes cycliques d'ordre un diviseur de ''n'', en conséquence :
* ''Il existe exactement autant de sous-corps que de diviseurs ''d'' de ''n'' pour une extension de cardinal ''p''<sup>n</sup>. Les sous-corps ''K' ''ont pour cardinal ''p''<sup>d</sup>, ce sont des extensions de Galois, et le groupe ''Gal'' ( ''K''/''K' '') est un groupe cyclique d'ordre ''n''/''d''.''
=== Clôture algébrique===
On connaît par ce qui précède toutes les [[extension finie|extensions finies]], et donc, par réunion, toutes les [[extension algébrique|extensions algébriques]] des corps finis. Toute [[clôture algébrique]] <math>\mathbb{F}_p^{\mathrm{alg}}</math> de <math>\mathbb{F}_p</math> peut être vue comme le compositum des <math> \mathbb F_{p^n}</math>.
Du point de vue de la théorie de Galois, la famille des groupes <math>\mathrm{Gal}(\mathbb F_{p^n} /\mathbb F_p)</math>, pour ''n'' variant, forme donc ce qu'on appelle un système projectif, c'est-à-dire que le groupe de Galois absolu <math>\mathrm{Gal}(\mathbb F_p^{\mathrm{alg}} /\mathbb F_p)</math> est la [[limite projective]] des groupes <math>\mathrm{Gal}(\mathbb F_{p^n} /\mathbb F_p)\simeq\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> ; c'est donc le [[groupe profini|complété profini]] <math>\hat{\mathbb{Z}}</math> de <math>\mathbb{Z}</math>, qui est ainsi un groupe procyclique : un générateur naturel est à nouveau l'endomorphisme de Frobenius, qui peut être vu comme la donnée de la famille compatible des endomorphismes de Frobenius des extensions finies.
Cette description complète des extensions algébriques des corps finis est un élément important qui intervient dans la [[théorie des corps de classes]] pour les [[corps de nombres]] et les [[corps de nombres p-adiques]], car leurs [[corps résiduel]]s sont des corps finis.
==Polynôme irréductible==
===Extension normale et polynôme cyclotomique===
{{Article détaillé|Polynôme cyclotomique}}
[[Image:Corps fini racine de l'unité.jpg|250 px|thumb|right|Illustration graphique du groupe multiplicatif de ''F''<sub>4</sub>]]
Soit ''p'' un nombre premier ''n'' un entier strictement positif et ''K'' un corps de cardinal ''q'' = ''p''<sup>n</sup>.
Le paragraphe précédent montre que tout élément de ''K'' est racine du polynôme ''X''<sup>q</sup> - ''X''. À l'exception de l'élément nul, tout élément est [[racine de l'unité]]. Cette propriété est illustrée sur la figure de droite, les trois éléments non nuls de ''F''<sub>4</sub> sont les trois racines de l'unité. Cette remarque amène la proposition suivante:
* ''Tout élément de ''K''<sup>*</sup> est racine de l'unité et tout polynôme irréductible autre que ''X'' est cyclotomique.''
Si φ désigne la fonction [[Indicatrice d'Euler]] il existe alors exactement φ(''q'' - 1) éléments primitifs dans ''K''. Chaque élément primitif possède un polynôme minimal à coefficients dans ''F''<sub>p</sub> de degré ''n'' égal à la dimension de ''K'' considéré comme espace vectoriel sur ''F''<sub>p</sub>.
* ''Il existe exactement φ(''q'' - 1) éléments primitifs dans ''K'', correspondant à φ(''q'' - 1)/''n'' polynômes sur ''F<sub>p</sub>''. Cependant, il peut y avoir d'autres polynômes irreductibles de même degré: dans ''F<sub>9</sub>'', on a x<sup>8</sup> - 1 = (x - 1)(x + 1)(x<sup>2</sup> + 1)(x<sup>2</sup> + x +2)(x<sup>2</sup> + 2x + 2) mod 3, x<sup>2</sup> + 1, bien qu'irréductible, n'étant le polynôme minimal d'aucun des 4 éléments primitifs.''
Cette propriété est associée à une définition importante dans la théorie des corps finis:
* ''Deux éléments de ''K'' sont dits '''conjugués''' si et seulement s'ils possèdent le même polynôme irréductible. La relation de conjugaison est une [[classe d'équivalence]]. Chaque classe possède comme cardinal le degré du polynôme irréductible associé.''
Deux propriétés supplémentaires indiquent la relation entre les polynômes cyclotomiques et leur degré dans le cas de la caractéristique ''p''. Elles sont démontrées dans l'article associé.
* ''Un polynôme cyclotomique d'indice ''q'' - 1 sur ''F''<sub>p</sub> est de degré l'[[ordre multiplicatif]] de ''p'' modulo ''q'' - 1.''
* ''Le produit des polynômes irréductibles de degré ''n'' est l'image du polynôme cyclotomique d'indice ''q'' - 1 à coefficients dans ''Z'' par le morphisme canonique de ''Z''[''X''] dans ''F''<sub>p</sub>[''X''].
===Caractéristique deux===
Il existe exactement deux polynômes unitaires de degré un et le deuxième est le [[polynôme cyclotomique]] d'indice un:
<center><math>X \quad et \quad \Phi_1[X]=X+1</math></center>
Il existe exactement un polynôme de degré deux irréductible, il est primitif, c'est le polynôme cyclotomique d'indice trois. Il est scindé dans ''F''<sub>4</sub> et l'on reconnaît le polynôme cyclotomique d'indice 3 dans ''Z'':
<center><math>\Phi_3[X]=X^2+X+1\;</math></center>
Il existe exactement deux polynômes de degré trois irréductibles car le corps contient six éléments hors de son unique sous-corps. Le groupe multiplicatif contient sept éléments, donc six sont générateurs. Il existe donc deux polynômes primitifs ce sont les deux polynômes cyclotomiques d'indice sept, scindé dans ''F''<sub>8</sub>:
<center><math>\Phi_{7_1}[X]=X^3+X+1 \quad et \quad \Phi_{7_2}[X]=X^3+X^2+1 \;</math></center>
Leur produit est bien l'image du polynôme cyclotomique à coefficients dans ''Z'':
<center><math>\Phi_{7_1}[X].\Phi_{7_2}[X]=X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+1 \;</math></center>
Le corps ''F''<sub>16</sub> contient deux sous-corps ''F''<sub>4</sub> et ''F''<sub>2</sub>. En conséquence, il existe exactement trois polynômes irréductibles de degré quatre. Le groupe multiplicatif ''F''<sub>16</sub><sup>*</sup> contient huit générateurs car l'indicatrice d'Euler appliqué à quinze est égal à huit, il existe donc deux polynômes de racines des éléments primitifs. Le polynôme restant est celui correspondant au polynôme cyclotomique d'indice cinq. Il existe donc deux polynômes cyclotomiques d'indice quinze et un polynôme cyclotomique d'indice cinq.
<center><math>\Phi_{5}[X]=X^4+X^3+X^2+1 \;</math></center>
<center><math>\Phi_{15_1}[X]=X^4+X^3+1 \quad et \quad \Phi_{15_2}[X]=X^4+X+1 \;</math></center>
Une fois encore, le produit des deux polynômes cyclotomiques d'indice 15 est bien l'image du polynôme cyclotomique à coefficients dans ''Z'':
<center><math>\Phi_{15_1}[X].\Phi_{15_2}[X]=X^8+X^7+X^5+X^4+X^3+X+1 \;</math></center>
===Caractéristique trois===
Il existe trois polynômes unitaires de degré un, le deuxième est le polynôme cyclotomique d'indice un et le troisième d'indice deux.<center><math>X \quad , \quad \Phi_1[X]=X+1 \quad et \quad \Phi_2[X]=X-1</math></center>
L'extension d'ordre neuf contient six éléments hors du corps premier, elle est de dimension deux, il existe donc exactement trois polynômes irréductibles. Le groupe multiplicatif est d'ordre huit et contient quatre éléments générateurs, deux des polynômes sont donc cyclotomiques d'ordre huit, le dernier est cyclotomique d'ordre quatre.
<center><math>\Phi_{8_1}[X]=X^2+X-1 \quad , \quad \Phi_{8_2}[X]=X^2-X-1\quad et \quad \Phi_{4}[X]=X^2+1 \;</math></center>
L'extension d'ordre vingt-sept contient un unique sous-corps le corps premier. Il existe donc vingt-quatre éléments hors de tout sous-corps et huit polynômes irréductibles de degré trois. Le groupe multiplicatif contient vingt-six éléments et douze générateurs et il existe quatre polynômes cyclotomiques d'indice vingt-six et quatre d'indice treize.
<center><math>\Phi_{13_1}[X]=X^3-X-1 \; , \; \Phi_{13_2}[X]=X^3+X^2+X-1\; , \; \Phi_{13_3}[X]=X^3+X^2-1 \; et \; \Phi_{13_4}[X]=X^3-X^2-X-1 \;</math></center>
<center><math>\Phi_{26_1}[X]=X^3-X+1 \; , \; \Phi_{26_2}[X]=X^3+X^2-X+1\; , \; \Phi_{26_3}[X]=X^3-X^2+1 \; et \; \Phi_{26_4}[X]=X^3-X^2+X+1 \;</math></center>
On vérifie de même que :
<center><math>\Phi_{13_1}[X].\Phi_{13_2}[X].\Phi_{13_3}[X].\Phi_{13_4}[X]=X^{12}+X^{11}+X^{10}+X^9+X^8+X^7+X^6+X^5+X^4 +X^3+X^2+X+1\;</math></center>
==Applications==
===Equation diophantienne===
{{Article détaillé|Théorème des deux carrés de Fermat}}
[[Image:Dedekind.jpeg|thumb|left|180px|Richard Dedekind]]
Une équation diophantienne est une équation à coefficients [[entier naturel|entiers]] où des solutions entières sont recherchées. [[Pierre de Fermat]] <small>([[1601 en science|1601]], [[1665 en science|1665]])</small> s'est longuement penché sur des équations de cette nature.
Le [[petit théorème de Fermat]] stipule que, si ''p'' est premier, alors tout entier à la puissance ''p'' est congru modulo ''p'' à cet entier. Dans le contexte des corps finis, cela revient à indiquer que les points fixes de l'automorphisme de Frobenius sont les éléments du corps premier, ou que le groupe multiplicatif de ce dernier est cyclique d'ordre ''p'' - 1.
Fermat remarque que les seuls nombres premiers, somme de deux carrés, sont ceux dont la division par quatre donne un pour reste. Il remarque en effet que:
<center><math>5 = 1^2 + 2^2, \quad 13 = 2^2 + 3^2, \quad 17 = 1^2 + 4^2, \quad 29 = 2^2 + 5^2, \quad 37 = 1^2 + 6^2, \quad 41 = 4^2 + 5^2.</math></center>
Il propose l'équation suivante ''a'' <sup>2</sup> + ''b'' <sup>2</sup> = ''p'' avec ''p'' premier dans une lettre écrite à [[Marin Mersenne]], datée du 25 décembre [[1640]].
[[Richard Dedekind]] <small>([[1831]]-[[1916]])</small> propose une démonstration<ref>[[Richard Dedekind]] ''Supplément XI des Leçons en théorie des nombres de Dirichlet'' [[1894 en science|1894]]</ref> dont la première partie consiste à étudier l'équation sur le corps ''F''<sub>p</sub>. Il utilise les propriétés du groupe multiplicatif et celles des polynômes à coefficients dans un corps. L'équation devient ''a'' <sup>2</sup> + ''b'' <sup>2</sup> = 0. Si ''b'' est égal à 0 alors ''a'' l'est aussi et la solution est triviale. Dans le cas contraire. Il est possible de diviser par ''b'' car la structure sous-jacente est celle d'un corps, l'équation devient alors ''X'' <sup>2</sup> + 1 = 0. En multipliant le polynôme précédent par ''X'' <sup>2</sup> - 1 = 0, il obtient l'équation suivante : ''X'' <sup>4</sup> - 1 = 0. Les propriétés du groupe multiplicatif donne une condition nécessaire et suffisante sur ''p'', il doit être congru à un modulo quatre. La fin de la démonstration n'utilise pas les corps finis, elle est donnée dans l'article associé.
Cette méthode, consistant à ''réduire'' l'équation dans le corps premier est fréquente. Le corps dispose d'une structure plus forte et de nombreux théorèmes pour conclure.
===Code correcteur===
{{Article détaillé|Code correcteur|Code linéaire|Code cyclique}}
Les codes correcteurs ont leur source dans un problème très concret lié à la transmission de données. Dans certains cas, une transmission de données se fait en utilisant une voie de communication qui n'est pas entièrement fiable. Autrement dit, les données, lorsqu'elles circulent sur cette voie, sont susceptible d'être altérées. L'objectif d'un code correcteur est l'apport d'une redondance de l'information de telle manière à ce que l'erreur puisse être détectée et même corrigée.
Un message est une suite finie de ''lettres'', qui dans le cas d'un code linéaire sont considérées comme des éléments d'un corps fini. Un message ''m'' apparaît comme un élément d'un espace vectoriel ''E'' sur un corps fini de dimension ''k''. L'apport de la redondance est le résultat d'une application linéaire injective φ de ''E'' dans un espace ''F'' appelé ''code'' et de dimension ''n'' supérieur à ''k''. Le ''mot du code'' transmis est l'élément φ(''m''). L'intérêt de transmettre φ(''m'') à la place de ''m'' est illustré par la figure suivante :
[[Image:Code correcteur.jpg|thumb|center|550px|Illustration d'un code non correcteur et d'un code correcteur]]
Si le message ''m'' est transmis, et si la transmission l'altère, alors le message reçu est erroné (comme illustré sur la figure de gauche) et le récepteur ne dispose d'aucun moyen pour repérer ou corriger l'erreur. Si l'application φ est astucieusement choisie, chaque point du code diffère des autres points du code par au moins ''d'' coordonnées. Cette situation est illustrée sur la figure de droite. Les points du code sont illustrés en vert, la modification d'une coordonnée est symbolisée par un segment du quadrillage. On remarque sur la figure que les points du code diffèrent tous par au moins ''d'' = 3 coordonnées. Si, par exemple, l'altération porte sur une unique coordonnée, la transmission correspond à un point rouge. Le récepteur peut alors corriger l'erreur, car il n'existe qu'un seul point du code (en vert) à une ''distance'' de 1 du message reçu.
[[Image:Code correcteur parfait.jpg|thumb|right|220px|Illustration d'un ''code parfait'']]
L'application qui, à deux points de ''F'', associe le nombre de coordonnées distinctes est une [[Distance (mathématiques)|distance]] au sens mathématique, appelée ''[[distance de Hamming]]''. Si la distance de Hamming minimale entre deux points du code est égale à ''d'', alors le code est à même de corriger ''t'' altérations où ''t'' est le plus grand entier strictement plus petit que ''d''/2. Sur la figure ci-dessus, on remarque des points noirs. Ils correspondent à des redondances inutiles. Ils sont en effet à une distance de deux des points du code, or une telle distance n'est pas traitable dans le cas de la figure.
L'ensemble des points corrigeables est donné par la réunion de toutes les [[Boule (mathématiques)|boules]] de centre un point du code et de rayon ''t''. La configuration idéale est celle où ces boules forment une [[Partition (mathématiques)|partition]] de ''F''. Il n'existe alors aucune redondance inutile. Cette situation est illustrée par la figure de droite. Les points du code sont illustrés en vert, la distance minimale ''d'' est égale à 5. Les boules de centre les points du code et de rayon 2 forment une partition de ''F''. Les points à distance 1 du code sont illustrés en bleu, ceux à distance 2 en rouge. Tout message contenant au plus deux altérations peut être corrigé. Un tel code est dit ''parfait''.
La théorie des corps finis permet de construire des codes parfaits. L'espace ''F'' est muni de la structure d'anneau ''F''<sub>d</sub>[X]/''P''[''X''] où ''P''[''X''] = ''X''<sup>n</sup> - 1 avec ''n'' = ''d'' <sup>a</sup> - 1 et ''a'' est un entier strictement positif. ''F'' correspond à l'ensemble des polynômes prenant des valeurs distinctes sur le corps ''F''<sub>n+1</sub>. Si φ(''E'') est l'idéal engendré par le polynôme ''G''[''X''] à coefficients dans ''F''<sub>d</sub> ayant pour racines α, α<sup>2</sup>, ..., α<sup>d-1</sup>, alors le code est de distance minimale ''d''. ''G''[''X''] est le produit de polynômes cyclotomiques. Le [[code BCH]] ou le [[code de Reed-Solomon]] utilise cette technique pour construire des codes parfaits. Si ''k'' est l'entier tel que ''n'' - ''k'' est égal au degré de ''G''[''X''], alors l'application φ associe au message ''M''[''X''] le polynôme ''M''[''X''].''X''<sup>k</sup> - ''R''[''X''] où ''R''[''X''] est le reste de la division euclidienne de ''M''[''X''].''X''<sup>k</sup> par ''G''[''X'']. Les détails et démonstrations sont donnés dans l'article [[code cyclique]].
===Géométrie arithmétique===
==Notes et références==
===Notes===
{{références|colonnes=2}}
===Liens externes===
* {{fr}} [http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups93.pdf Codes géométriques et algébrique et arithmétique sur les corps finis] par le Centre de Mathématiques de l'École Polytechnique
* {{en}} [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Indexes/Algebra.html Une histoire des mathématiques] Université de Saint Andrew
* {{fr}} [http://www.dma.ens.fr/~madore/mpri2005/mpri2005-4.pdf Corps finis] par David A. Madore
* {{fr}} [http://www.dma.ens.fr/~madore/agreg/factor.pdf Factorisation de polynômes sur les corps finis] par David A. Madore
* {{fr}} [http://www.les-mathematiques.net/b/b/d/node3.php3 Corps finis] par les-mathematiques.net
===Références===
*[[Nicolas Bourbaki|N. Bourbaki]] ''Algèbre commutative. Chapitre 5'' Hermann 1964
*{{Samuel1}}
*{{Serre1}}
*G. Heuzé ''Sur les corps finis'' Mathématiques et Sciences Humaines 1974
*A. Warusfel ''Structures algébriques finies'' Hachette Université 1971
{{Théorie de Galois}}
{{Portail mathématiques}}
{{Bon article|vote=BA|oldid=21533921|date=9 octobre 2007}}
[[Catégorie:Corps fini]]
[[de:Endlicher Körper]]
[[el:Πεπερασμένο σώμα]]
[[en:Finite field]]
[[es:Cuerpo finito]]
[[fi:Äärellinen kunta]]
[[he:שדה סופי]]
[[it:Campo finito]]
[[ja:有限体]]
[[ko:유한체]]
[[nl:Eindig lichaam (Ned) / Eindig veld (Be)]]
[[pl:Ciało skończone]]
[[pt:Corpo finito]]
[[ro:Corp finit]]
[[ru:Конечное поле]]
[[uk:Поле Галуа]]
[[ur:متناہی میدان]]
[[zh:有限域]]