David Hilbert 51927 30985122 2008-06-25T07:45:36Z 88.166.5.195 /* Le théorème des bases */ [[Image:Hilbert.jpg|thumb|right|David Hilbert en [[1912]]]] '''David Hilbert''' ([[23 janvier]] [[1862]] à [[Kaliningrad|Königsberg]], [[Prusse-Orientale]] - [[14 février]] [[1943]] à [[Göttingen]], [[Allemagne]]) est un [[mathématicien]] allemand. Il est souvent considéré comme un des plus grands mathématiciens du {{XXe siècle}}, au même titre que [[Henri Poincaré]]. Il a créé ou développé un large éventail d'idées fondamentales, que ce soit la [[théorie des invariants]], l'[[axiomes de Hilbert|axiomatisation de la géométrie]] ou les fondements de l'[[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]] (avec les [[espace de Hilbert|espaces de Hilbert]]). L'un des exemples les mieux connus de sa position de chef de file est sa présentation, en [[1900]], de ses [[problèmes de Hilbert|fameux problèmes]] qui ont durablement influencé les recherches mathématiques du {{XXe siècle}}. Hilbert et ses étudiants ont fourni une portion significative de l'infrastructure mathématique nécessaire à l'éclosion de la [[mécanique quantique]] et de la [[relativité générale]]. Il a adopté et défendu avec vigueur les idées de [[Georg Cantor]] en [[théorie des ensembles]] et sur les [[nombre transfini|nombres transfinis]]. Il est aussi connu comme l'un des fondateurs de la [[théorie de la démonstration]], de la [[logique mathématique]] et a clairement distingué les [[mathématiques]] des [[métamathématique]]s. == Biographie == Hilbert naît à [[Königsberg]], en [[Prusse-Orientale]]. Diplômé du [[lycée]] de cette ville, il complète son doctorat à l'[[université de Königsberg]] sous la supervision de [[Ferdinand von Lindemann]]. En 1885, il remet sa thèse intitulée {{de}} ''Über invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen'' (que l'on peut traduire par ''Sur les propriétés invariantes des formes binaires spéciales, particulièrement les [[fonction circulaire|fonctions circulaires]]''). À la même période, [[Hermann Minkowski]] étudie à la même université. Les deux deviennent de bons amis et chacun aura une influence marquée à un moment ou un autre sur la carrière scientifique de l'autre. De [[1886]] à [[1895]], Hilbert est professeur à l'Université de Königsberg. En [[1892]], il épouse Käthe Jerosch ([[1864]]-[[1945]]) et ils auront un fils prénommé Franz Hilbert ([[1893]]-[[1969]]). En [[1895]], sur la recommandation de [[Felix Klein]], il est nommé à la chaire de mathématiques de l'[[Université de Göttingen]]. À ce moment, [[Göttingen]] est considéré comme le meilleur centre de recherches en mathématiques au monde. Hilbert y restera jusqu’à sa retraite en [[1930]], malgré d'autres offres. [[Image:David Hilbert 1886.jpg|thumb|240px|left|David Hilbert en [[1886]]]] Au début du {{s|XX}}, il est mal vu pour une femme d'enseigner au niveau universitaire en [[Prusse]]. Vers [[1910]], Hilbert soutient les efforts d'[[Emmy Noether]], mathématicienne de premier ordre, qui souhaite enseigner à l'université de Göttingen. Pour faire fléchir les opposants, il affirme alors que l'université n'est pas un [[bain turc]]. Pour déjouer le système établi, Hilbert prête son nom à Noether qui peut ainsi annoncer l'horaire de ses cours sans entacher la réputation de l'université. En [[1930]], l'année de sa retraite de Göttingen, Hilbert fait une allocution à la radio, dénonçant un certain pessimisme dans la pensée allemande, porteuse de l'''ignorabimus'' de [[Emil du Bois-Reymond]]. C'est à cette occasion qu'il prononce {{de}} « ''Wir müssen wissen, wir werden wissen'' » (« Nous devons savoir, nous saurons »). Ironiquement, un jour avant qu'il ne prononce cette phrase, [[Kurt Gödel]] remet sa thèse qui contient son [[théorème d'incomplétude de Gödel|théorème d'incomplétude]], théorème qui rend inutile le [[programme de Hilbert]]. En [[1933]], Hilbert voit les [[nazisme|nazis]] limoger plusieurs membres éminents de l'Université de Göttingen.<ref>{{en}} [http://www.childrenofthemanhattanproject.org/HISTORY/H-02b.htm]</ref>. Parmi ceux-ci, citons [[Hermann Weyl]], qui remplace Hilbert à la chaire de mathématiques après sa retraite en [[1930]], Emmy Noether et [[Edmund Landau]]. [[Paul Bernays]], collaborateur de Hilbert en [[logique mathématique]] et co-auteur avec lui de ''Grundlagen der Mathematik'', un important livre paru en deux volumes en [[1934]] et en [[1939]], quitte l'Allemagne suite aux pressions des nazis. Leur ouvrage était la suite du livre publié par Hilbert et [[Wilhelm Ackermann|Ackermann]] : ''Principles of Theoretical Logic'' (1928). Environ une année plus tard, Hilbert, invité à un banquet, est assis à côté du ministre de l'Éducation [[Bernhard Rust]]. À la question de Rust : « Comment se trouvent les mathématiques à Göttingen maintenant qu'elle est libre de l'influence juive ? », Hilbert a répliqué : « Des mathématiques à Göttingen ? Il n'y en a plus guère. »<ref>Constance Reid, ''Hilbert'', Springer-Verlag, 1996, p.205. ISBN 0-387-94674-8.</ref> [[Image:HilbertGrab.jpg|thumb|Tombe de David Hilbert à Göttingen avec l'épitaphe:<br>''Wir müssen wissen''<br>''Wir werden wissen'']] Lorsque Hilbert meurt en [[1943]], les nazis ont complètement restructuré l'université, tous les Juifs et conjoints de Juifs forcés de partir, certains ayant réussi à fuir l'Allemagne, d'autres [[déportation|déportés]]. Environ une douzaine de personnes assistent à ses funérailles, deux seulement étant des ex-collègues.<ref>Constance Reid, ''Hilbert'', Springer-Verlag, 1996, p.213. ISBN 0-387-94674-8.</ref> Sur sa tombe à Göttingen, on peut lire cet [[épitaphe]] : {{de}} ''Wir müssen wissen, wir werden wissen''. Parmi les étudiants de Hilbert, citons [[Hermann Weyl]], [[Emanuel Lasker]], [[Ernst Zermelo]] et [[Carl Gustav Hempel]]. [[John von Neumann]] était son assistant. À l'université de Göttingen, le cercle d'amis de Hilbert était composé des meilleurs mathématiciens du {{s|XX}}, tels [[Emmy Noether]] et [[Alonzo Church]]. == Travaux == On retient de lui notamment sa [[problèmes de Hilbert|liste des 23 problèmes]], dont certains ne sont toujours pas résolus aujourd'hui, qu'il présenta en [[1900]] au [[congrès international de mathématiques]] à [[Paris]]. Ses contributions aux mathématiques sont nombreuses : * Consolidation de la [[théorie des invariants]], qui était le sujet de sa thèse. * L'axiomatisation de la [[géométrie euclidienne]], pour la rendre [[cohérente]], parue dans son {{de}} ''Grundlagen der Geometrie'' (''Base de la géometrie''). * Travaux sur la [[théorie algébrique des nombres]], reprenant et simplifiant, avec l'aide de [[Hermann Minkowski|Minkowski]], les travaux de [[Ernst Kummer|Kummer]], [[Kronecker]], [[Dirichlet]] et [[Richard Dedekind| Dedekind]], et les publiant dans son {{de}} ''Zahlbericht'' (''Rapport sur les nombres''). * Apport des [[espace de Hilbert|espaces de Hilbert]], lors de ses travaux en [[Analyse (mathématiques)|analyse]] sur les [[équation intégrale|équations intégrales]]. * Apport sur les bases mathématiques de la [[relativité générale]] d'[[Albert Einstein|Einstein]], notamment la dérivation de son équation à partir de l'[[action d'Einstein-Hilbert]]. === Le théorème des bases === Les premiers travaux d'Hilbert sur les fonctions invariantes l'amènent à démontrer en 1888 son [[Base de Hilbert|théorème des bases]]. Vingt ans plus tôt, à l'aide d'une méthode de calculs complexe, [[Paul Gordan]] démontre le théorème sur la finitude des générateurs des formes binaires. Les tentatives de généraliser sa méthode aux fonctions à plusieurs variables échouent à cause de la complexité des calculs. Hilbert décide d'emprunter une autre voie. Il démontre ainsi le [[Base de Hilbert|théorème des bases]], qui affirme l'existence d'un ensemble fini de générateurs pour les invariants des formes algébriques pour n'importe quel nombre de variables. Il ne construit pas effectivement une telle base ni n'indique de moyen d'en construire. Il prouve l'existence formellement en montrant que rejeter cette existence conduit à une contradiction. Hilbert envoie ses résultats au ''[[Mathematische Annalen]]''. Gordan, l'expert maison sur la [[théorie des invariants]], ne parviendra pas à apprécier la nature révolutionnaire des travaux d'Hilbert. Il rejette l'article, affirmant qu'il est incompréhensible : « C'est de la théologie, pas des mathématiques ! » [[Felix Klein]], de son côté, reconnaît l'importance du travail et garantit qu'il sera publié sans modification, malgré son amitié pour Gordan. Stimulé par Klein et les commentaires de Gordan, Hilbert, dans un second article, prolonge ses résultats, donnant une estimation sur le degré maximal de l'ensemble minimal des générateurs. Après lecture, Klein lui écrit : « Sans aucun doute, il s'agit du plus important travail sur l'[[algèbre générale]] jamais publié par les ''Annalen'' ». Plus tard, une fois les méthodes de Hilbert largement reconnues, Gordan lui-même affirme : « Je dois admettre que même la théologie a des mérites. » ===Axiomatisation de la géométrie === {{Détails|Axiomes de Hilbert}} Hilbert publie ''Grundlagen der Geometrie'' (''Fondations de la géométrie'') en [[1899]]. Il remplace les cinq [[axiome]]s usuels de la [[géométrie euclidienne]] par 21 axiomes. Son système élimine les faiblesses de la géométrie d'Euclide, la seule enseignée à ce moment. Son approche est précurseur de changements pour les [[méthode axiomatique|méthodes axiomatiques]] subséquentes. Les axiomes ne sont plus immuables. La géométrie peut codifier l'intuition que nous avons à propos des « objets », mais il n'est pas nécessaire de tout codifier. Les éléments, tels un [[Point (géométrie)|point]], une [[Droite (mathématiques)|droite]] et un [[Plan (mathématiques)|plan]], peuvent être substitués par un verre de bière, une chaise et une table, par exemple. Il faut plutôt se concentrer sur leurs relations. Hilbert axiomatise la géométrie plane selon cinq grands groupes : # Axiomes d'appartenance : huit axiomes expriment le lien entre les notions de point, de droite et de plan. # Axiomes d'ordre : quatre axiomes définissent le terme « entre » et permettent de définir l'ordre des points alignés, [[coplanaire]]s ou dans l'espace # Axiomes de congruence : cinq axiomes définissent la notion de [[congruence]] et de [[déplacement]]. # Axiome des parallèles : il s'agit essentiellement du [[cinquième axiome]] d'Euclide. # Axiomes de continuité : il contient l'[[axiome d'Archimède]] et celui de l'intégrité linéaire. Ces axiomes unifient dans un seul système la [[géométrie plane]] et la [[géométrie dans l'espace]], toutes deux euclidiennes. ===Les 23 problèmes=== {{Détails|Problèmes de Hilbert}} À l'occasion d'un congrès international de mathématiciens tenu en [[1900]] à [[Paris]], il propose sa fameuse liste des [[Problèmes de Hilbert|23 problèmes]]. Même au {{s|XXI}}, elle est considérée comme la compilation ayant eu le plus d'influence en mathématiques, devant les [[trois grands problèmes de l'Antiquité]]. Certains estiment qu'il s'agit de la meilleure liste de [[problème ouvert|problèmes ouverts]] jamais produite par un seul mathématicien. Après avoir proposé de nouvelles fondations à la géométrie classique, Hilbert aurait pu s'attacher à extrapoler pour le reste des mathématiques. Il décide plutôt de déterminer les problèmes fondamentaux auxquels les mathématiciens doivent s'attaquer pour rendre les mathématiques plus cohérentes. Son approche s'oppose à celles des [[logicisme|logicistes]] [[Bertrand Russell|Russell]] et [[Alfred North Whitehead|Whitehead]], des « encyclopédistes » [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]] et du [[métamathématique|métamathématicien]] [[Giuseppe Peano]]. Sa liste met au défi la communauté des mathématiciens au complet, peu importe ses intérêts. Lors du congrès, son discours commence ainsi : {{début citation}}Qui parmi nous ne serait pas heureux de soulever le voile qui masque le futur, d'observer les futurs développements de notre science ainsi que ses secrets pendant les siècles à venir ? Quels seront les fins vers lesquelles tenderont l'esprit des futures générations de mathématiciens ? Quelles méthodes, quels faits nouveaux, le siècle nouveau révèlera dans le riche et vaste champ de la pensée mathématique ? (traduction libre de {{de}} ''Wer von uns würde nicht gerne den Schleier lüften, unter dem die Zukunft verborgen liegt, um einen Blick zu werfen auf die bevorstehenden Fortschritte unserer Wissenschaft und in die Geheimnisse ihrer Entwicklung während der künftigen Jahrhunderte! Welche besonderen Ziele werden es sein, denen die führenden mathematischen Geister der kommenden Geschlechter nachstreben? Welche neuen Methoden und neuen Tatsachen werden die neuen Jahrhunderte entdecken - auf dem weiten und reichen Felde mathematischen Denkens?''){{fin citation}} À la suggestion de Minkowsky, il présente environ une dizaine de problèmes à la salle. La liste complète sera publiée dans les actes du congrès. Dans une autre publication, il propose une version augmentée, et finale, de sa liste, laquelle compte 23 problèmes. Quelques problèmes ont été rapidement résolus. D'autres ont été discutés pendant le {{XXe siècle}}, certains sont maintenant considérés comme étant trop vagues pour donner une réponse définitive. Même aujourd'hui, il reste quelques problèmes bien définis qui défient les mathématiciens. ===Formalisme=== Les problèmes de Hilbert sont aussi une sorte de [[manifeste]] qui permet l'éclosion de l'école [[formalisme|formaliste]], l'une des trois écoles majeures du {{s|XX}} en mathématiques. Selon cette école, les mathématiques existent en dehors de toute intention et de toute pensée. Elle sont des symboles qui demandent à être manipulés selon des règles formelles. Cependant, il n'est pas certain qu'Hilbert ait une vue aussi simple et mécanique des mathématiques. ==== Le programme de Hilbert ==== En [[1920]], il propose explicitement un programme de recherche en [[métamathématique]] qui sera connu plus tard sous le nom de [[programme de Hilbert]]. Il souhaite que les mathématiques soient solidement et complètement formulées en s'appuyant sur la logique. Hilbert croit que c'est possible, car : # Toutes les mathématiques découlent d'un ensemble fini d'[[axiome]]s correctement choisis. # Il peut être démontré que cet ensemble est cohérent. Il semble que Hilbert s'appuie sur des arguments à la fois techniques et philosophique pour proposer un tel programme. Il affirme qu'il déteste l'''[[ignorabimus]]'' relativement courant dans la pensée allemande de l'époque (dont l'on peut retracer la formulation à [[Emil du Bois-Reymond]]). Ce programme est maintenant partie du [[formalisme]]. [[Bourbaki]] a adopté une version élaguée et moins formelle pour ses projets de (a) écrire une fondation encyclopédique et de (b) supporter la [[méthode axiomatique]] en tant qu'outil de recherche. Bien que cette approche ait obtenue du succès en [[algèbre]] et en [[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], elle a connu peu de succès ailleurs. ==== L’impact de Gödel ==== Hilbert et les autres mathématiciens qui travaillent à l'entreprise veulent réussir. Cependant, leur travail devait se terminer de façon abrupte. En [[1931]], [[Kurt Gödel]] démontre que tout système formel non-contradictoire et suffisamment complet pour inclure au moins l'[[arithmétique]], ne peut démontrer sa cohérence en s'appuyant sur ses axiomes. Tel que formulé, le grand schème de Hilbert est donc voué à l'échec. Le [[théorème d'incomplétude de Gödel]] ne dit pas qu'il est impossible de réaliser un tel système selon l'esprit du programme de Hilbert. La complétion de la [[théorie de la démonstration]] a permis de clarifier la notion de cohérence, qui est centrale dans les mathématiques modernes. Le programme de Hilbert a lancé la [[logique]] sur une voie de clarification. Le désir de mieux comprendre le théorème de Gödel a permis le développement de la [[théorie de la récursion]] et la clarification de la logique. Cette dernière est devenue une discipline à part entière dans les décennies de [[années 1930|1930]] et de [[années 1940|1940]]. Elle forme le point de départ de ce qui est aujourd'hui appelée l'[[informatique théorique]], développée par [[Alonzo Church]] et [[Alan Turing]]. === Analyse fonctionnelle === Dès [[1909]], Hilbert étudie de façon méthodique les [[équation différentielle|équations différentielles]] et [[équation intégrale|intégrales]]. Ce travail a une incidence marquée sur l'[[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]] moderne. Dans le but de mener à bien sa tâche, il introduit le concept d'[[espace euclidien|espaces euclidiens]] de dimensions infinies, appelés plus tard les [[espace de Hilbert|espaces de Hilbert]]. De façon inattendue, ce travail sera repris en physique théorique pendant les deux décennies subséquentes. Plus tard, [[Stefan Banach]] généralisera le concept pour en faire l'[[espace de Banach]]. ===Physique=== Minkowski semble responsable de la plupart des recherches de Hilbert en physique avant [[1912]], y compris leur séminaire conjoint sur le sujet en [[1905]]. En effet, jusqu'en [[1912]], Hilbert fait exclusivement des [[mathématiques pures]]. Cette année-là, il porte son attention sur la [[physique]]. Il a même engagé un « tuteur en physique »<ref>Constance Reid, ''Hilbert'', Springer-Verlag, 1996, p.129. ISBN 0-387-94674-8.</ref>. Il commence par étudier la [[théorie cinétique des gaz]], puis continue avec la théorie des [[radiation]]s et complète avec la [[théorie moléculaire]]. Même pendant la [[Première Guerre mondiale]], il propose séminaires et cours où sont présentés les travaux d'[[Albert Einstein]] et autres physiciens. Hilbert invite Einstein à Göttingen pour y prononcer une série de lectures sur la [[relativité générale]] en [[juin 1915|juin]] et [[juillet 1915]].<ref>Sauer, 1999; Folsing, 1998</ref> Les échanges entre les deux savants mènent à la création de l'[[équation d'Einstein]] de la relativité générale (c'est-à-dire l'équation du champ d'Einstein et l'[[action d'Einstein-Hilbert]]). Même si Hilbert et Einstein ne se sont jamais disputé à propos de la paternité de l'équation, certains ont voulu remettre en cause celle-ci (voir [[Controverse sur la paternité de la relativité]]). De plus, le travail de Hilbert anticipe et appuie les avancées dans la formulation mathématique de la [[mécanique quantique]]. Ses [[espace de Hilbert|espaces de Hilbert]] sont essentiels aux travaux de [[Hermann Weyl]] et [[John von Neumann]] sur l'équivalence mathématique de la [[matrice de Heisenberg]] et de l'[[équation de Schrödinger]], ainsi qu'à la formulation générale de la mécanique quantique. En [[1926]], von Neumann démontre que si les états atomiques sont considérés comme des vecteurs dans l'espace de Hilbert, alors ils correspondent à la [[fonction d'onde]] de Schrödinger et à la matrice de Heisenberg.<ref>En [[1926]], un an après la formulation matricielle de la théorie quantique par [[Max Born]] et [[Werner Heisenberg]], [[John von Neumann]] devient assistant de David Hilbert à Göttingen. Quand von Neumann quitte en [[1932]], il publie son livre sur les fondements mathématiques de la mécanique quantique, ''Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik'', ouvrage qui s'appuie sur les mathématiques de Hilbert. Voir Norman Macrae, ''John von Neumann : The Scientific Genius Who Pioneered the Modern Computer, Game Theory, Nuclear Deterrence, and Much More'' (reimpression par l'[[American Mathematical Society]], 1999) et Constance Reid, ''Hilbert'', Springer-Verlag, 1996. ISBN 0-387-94674-8.</ref> Dans le cadre de ses travaux en physique, Hilbert s'acharne à rendre plus rigoureuses l'utilisation des mathématiques. Alors que leurs travaux dépendent entièrement des mathématiques supérieures, les physiciens sont négligents lorsqu'ils manipulent les objets mathématiques. Pour un mathématicien du calibre de Hilbert, cette situation est difficile à comprendre, allant jusqu’à la qualifier de « laide ». Lorsqu'il parvient à se faire un portrait de l'utilisation des mathématiques en physique, il développe une théorie mathématique cohérente à l'usage des physiciens, surtout en ce qui concerne les [[équation intégrale|équations intégrales]]. Quand [[Richard Courant]] publie ''Methods of Mathematical Physics'' en incluant quelques idées de Hilbert, il ajoute le nom de Hilbert comme auteur, même si ce dernier n'a pas participé à sa rédaction. Hilbert a écrit : « La physique est trop difficile pour les physiciens », voulant attirer l'attention sur la difficulté inhérente à l'utilisation de mathématiques supérieures. L'ouvrage de Courant et Hilbert tente d'aplanir ces difficultés. === Théorie des nombres === Hilbert unifie la [[théorie algébrique des nombres]] avec son ''Rapport sur les nombres'' ({{de}} ''Zahlbericht'', publié en [[1897]]). Il résoud le [[problème de Waring]] de façon quasi-complète. Son traité épuise le sujet, mais l'émergence de la [[forme modulaire de Hilbert]] signifie que son nom est attaché encore une fois à une partie majeure des mathématiques. Il a fait plusieurs [[conjecture]]s sur la [[théorie des corps de classes]]. Les concepts ont une importante remarquable, et ses propres contributions apparaissent dans le [[corps de Hilbert]] et le [[symbole de Hilbert]] de la [[Théorie des corps de classes#Théorie du corps de classes local|théorie du corps de classes local]]. Les résultats de ces théories sont presque tous prouvés en [[1930]], après une percée majeure de [[Teiji Takagi]], ce qui l'établit comme le premier mathématicien [[japon]]ais de calibre international. Hilbert n'a pas travaillé sur les parties principales de la [[théorie analytique des nombres]], mais son nom reste attaché à la [[conjecture de Hilbert-Pólya]] pour des raisons anecdotiques. == Anecdotes == Lors d'une réception à la maison familiale, son épouse lui intime de changer de chemise. Il s'exécute, mais ne revient pas. Inquiète, elle le cherche et le découvre endormi. En effet, le fait d'enlever sa chemise signifiait pour lui d'aller dormir ! == Bibliographie == * Pierre Cassou-Noguès, ''Hilbert'', 2001, Les Belles lettres. Coll. Figures du savoir ; 29, 169p. ISBN 2-251-76036-9. == Voir aussi == {{Commons|David Hilbert}} === Articles connexes === * Objets mathématiques nommés d'après Hilbert : ** [[Axiomes de Hilbert]] ** [[Base de Hilbert]] ** [[Conjecture de Hilbert-Pólya]] ** [[Corps de Hilbert]] ** [[Courbe de Peano|Courbes de Peano-Hilbert]] ** [[Cube de Hilbert]] ** [[Espace de Hilbert]] ** [[Espace projectif de Hilbert]] ** [[Hôtel de Hilbert]] ** [[Inégalité de Hilbert]] ** [[Matrice de Hilbert]] ** [[Problèmes de Hilbert]] ** [[Système à la Hilbert]] ** [[Théorème 90 de Hilbert]] ** [[Théorème de la base de Hilbert]] ** [[Théorème de Hilbert-Speiser]] ** [[Théorème des zéros de Hilbert]] ** [[Transformée de Hilbert]] * Prix mathématique nommé d'après Hilbert : ** [[David Hilbert International Award]] === Liens externes === * [http://www.bibmath.net/bios/index.php3?action=affiche&quoi=hilbert Biographie] * {{en}} [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Hilbert.html Biographie] à MacTutor * {{en}} [http://plato.stanford.edu/entries/hilbert-program/ Programme de Hilbert] * {{gutenberg author| id=David+Hilbert | name=David Hilbert}} * {{de}} [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/toc/?IDDOC=41998 ''Gesammelte Abhandlungen''], oeuvres numérisées par l'université de Göttingen == Notes et références == {{références|colonnes=2}} {{Portail mathématiques}} {{DEFAULTSORT:Hilbert, David}} [[Catégorie:Mathématicien allemand]] [[Catégorie:Logicien]] [[Catégorie:Membre étranger de la Royal Society]] [[Catégorie:Naissance en 1862]] [[Catégorie:Décès en 1943]] {{Lien BA|de}} {{Lien BA|en}} [[ar:ديفيد هيلبرت]] [[bg:Давид Хилберт]] [[bn:ডেভিড হিলবার্ট]] [[bs:David Hilbert]] [[ca:David Hilbert]] [[cs:David Hilbert]] [[da:David Hilbert]] [[de:David Hilbert]] [[el:Ντάβιντ Χίλμπερτ]] [[en:David Hilbert]] [[eo:David Hilbert]] [[es:David Hilbert]] [[et:David Hilbert]] [[eu:David Hilbert]] [[fa:داوید هیلبرت]] [[fi:David Hilbert]] [[fo:David Hilbert]] [[he:דויד הילברט]] [[hi:डेविड हिल्बर्ट]] [[hu:David Hilbert]] [[id:David Hilbert]] [[is:David Hilbert]] [[it:David Hilbert]] [[ja:ダフィット・ヒルベルト]] [[ka:დავიდ ჰილბერტი]] [[ko:다비드 힐베르트]] [[lt:David Hilbert]] [[lv:Dāvids Hilberts]] [[nl:David Hilbert]] [[no:David Hilbert]] [[pl:David Hilbert]] [[pms:David Hilbert]] [[pt:David Hilbert]] [[ro:David Hilbert]] [[ru:Гильберт, Давид]] [[sa:डेविड हिल्बर्ट]] [[sco:David Hilbert]] [[sh:David Hilbert]] [[simple:David Hilbert]] [[sk:David Hilbert]] [[sl:David Hilbert]] [[sr:Давид Хилберт]] [[sv:David Hilbert]] [[th:ดาฟิด ฮิลแบร์ท]] [[tl:David Hilbert]] [[tr:David Hilbert]] [[uk:Гільберт Давид]] [[vi:David Hilbert]] [[zh:大卫·希尔伯特]]