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    <title>Densité de probabilité</title>
    <id>94718</id>
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      <timestamp>2008-07-08T10:57:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>GillesC</username>
        <id>38320</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Correction d'homonymie vers [[Intégration]]</comment>
      <text xml:space="preserve">{{Voir homonymes|Densité (homonymie)}}

En [[mathématiques]] [[statistique]]s, on appelle '''densité de probabilité''' d'une [[variable aléatoire]] ''X'' [[nombre réel|réelle]] [[fonction continue|continue]] une [[fonction (mathématiques)|fonction]] ''f'' 
* positive ou nulle sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ;
* [[intégrable]] sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ;
* vérifiant &lt;math&gt;\int_{\mathbb{R}}f(t)\,dt = 1&lt;/math&gt;

La [[probabilité]] &lt;math&gt;P(a &lt; X \le b)&lt;/math&gt; se calcule alors par la relation suivante :
:&lt;math&gt;P \left( a &lt; X \le b \right)=\int_a^b f\left( t \right)\,dt&lt;/math&gt;

En traçant la [[représentation graphique]] de la densité de probabilité, la probabilité &lt;math&gt;P(a &lt; X &lt; b)&lt;/math&gt; se lit comme l'[[intégrale|aire sous la courbe]] sur l'[[intervalle]] [a ; b].

== Lien entre distribution discrète et distribution continue ==

La définition ci-dessus permet de représenter la variable associée à une [[distribution continue]] de probabilités comme un ensemble de [[variable discrète|variables discrètes]] binaires associées à des intervalles [a ; b]&lt;ref&gt;Par exemple, une variable valant ''1'' si ''X'' est dans [a ; b], où ''0'' sinon.&lt;/ref&gt;.

Il est également possible de représenter certaines variables aléatoires discrètes à l'aide d'une densité de probabilité, par l'intermédiaire de la [[fonction δ de Dirac]].

Par exemple, considérons la [[variable aléatoire]] binaire discrète prenant pour valeurs -1 ou 1, avec pour probabilité ½ chacune. Alors la densité de probabilité associée à cette variable est :

:&lt;math&gt;f\left(t \right) = \frac{1}{2} \left( \delta \left( t+1 \right) +\delta\left(t-1\right) \right)&lt;/math&gt;

Plus généralement, si une variable discrète est susceptible de prendre ''n'' valeurs parmi les nombres réels, alors la densité de probabilité associée est :
:&lt;math&gt;f\left(t\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nP_i\,\delta\left(t-x_i\right),&lt;/math&gt;
où &lt;math&gt;x_1, \ldots , x_n&lt;/math&gt; sont les valeurs discrètes accessibles à la variable et &lt;math&gt;P_1, \ldots , P_n&lt;/math&gt; sont les probabilités associées à ces valeurs.

Cette expression permet de déterminer les caractéristiques statistiques telles que l'[[espérance]], la [[variance]] et la [[kurtosis]] d'une telle variable discrète à partir des formules prévues pour une distribution continue.

En [[physique]], cette description est également utile pour caractériser l'instant initial d'un [[mouvement brownien]].

== Définition non-formelle de la densité de probabilité ==

La définition qui suit est une reformulation de la définition intégrale proposée en début d'article. C'est la définition utilisée en général par les physiciens, en particulier ceux issus du domaine de la [[physique statistique]].

Si d''t'' est un [[nombre réel]] positif infiniment petit, alors la probabilité d'obtenir ''X'' inclus dans l'intervalle [''t'' ; ''t'' + d''t''] est égale à &lt;math&gt;f\left(t\right)\mathrm dt&lt;/math&gt;, soit:

:&lt;math&gt;P \left(t &lt; X &lt; t+ \mathrm dt \right)= f\left(t\right)\,\mathrm dt &lt;/math&gt;

== Espérance et variance ==

:&lt;math&gt;E\left(X\right) = \int_{-\infty}^{\infty}t.f(t)\,dt &lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;E\left(X^2\right) = \int_{-\infty}^{\infty}t^2.f(t)\,dt &lt;/math&gt;

:&lt;math&gt;V\left(X\right) = E\left(X^2\right) - \left[ E\left(X\right)\right]^2 &lt;/math&gt; ([[théorème de König-Huyghens]])

==Voir aussi==
===Notes et références===
&lt;references/&gt;
===Articles connexes===
* [[Variable aléatoire]] ;
* [[Loi de probabilité]] ;
* [[Intégrale|Intégration]] ;
* [[Mesures secondaires]].

{{Portail|probabilités et statistiques|mathématiques}}

[[Catégorie:Probabilités]]

[[da:Sandsynlighedstæthedsfunktion]]
[[de:Wahrscheinlichkeitsdichte]]
[[en:Probability density function]]
[[es:Función de densidad]]
[[it:Funzione di densità di probabilità]]
[[nl:Kansdichtheid]]
[[pl:Gęstość prawdopodobieństwa]]
[[su:Probability density function]]
[[sv:Täthetsfunktion]]
[[tr:Olasılık yoğunluk fonksiyonu]]
[[zh:機率密度函數]]</text>
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