Dimension de Hausdorff
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2008-05-10T07:37:40Z
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robot Ajoute: [[cs:Hausdorffova míra]]
La '''dimension de Hausdorff''' est un nombre réel positif, éventuellement l'infini, associé à tout [[espace métrique]]. Cette notion étend celle de [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] d'un [[espace vectoriel]] [[Nombre réel|réel]]. Introduite en [[1918]] par le mathématicien [[Felix Hausdorff]], elle a été développée par [[Abram Samoilovich Besicovitch]]. Elle est parfois appelée '''dimension de Hausdorff-Besicovitch'''.
===Introduction informelle===
Intuitivement, la dimension d'un ensemble à l'instar d'une partie d'un [[espace euclidien]] est le nombre de paramètres indépendants pour décrire un point dans cet ensemble. Ainsi a-t-on besoin d'un seul paramètre pour décrire un point sur une règle, de deux paramètres pour décrire la position d'un clou sur un mur, de trois paramètres pour décrire la position d'une balle de tennis dans l'espace, et plus généralement de ''n'' paramètres pour décrire un point dans <math>\R^n</math>.
Comment atteindre cette donnée en utilisant uniquement la structure [[métrique (mathématiques)|métrique]] ? Si on dispose de ''d'' paramètres pour repérer un [[point (géométrie)|point]], pour l'approximer à <math>\varepsilon</math> près, on devrait disposer d'un <math>O\left(\frac{1}{\varepsilon^d}\right)</math> points. Soit ''X'' un [[espace métrique]] [[Espace compact|compact]]. Posons N(r) le nombre minimal de [[Boule (mathématiques)|boules]] [[Ouvert (topologie)|ouvertes]] de rayon r nécessaires pour recouvrir ''X''. Lorsque <math>N(r)</math> croît comme <math>\frac{1}{r^d}</math>, l'espace ''X'' est dit ''de dimension d''.
===Définition===
La dimension de Haussdorff offre un moyen usuel de calcul de la dimension d'un espace métrique.
:<math>H^s_{\delta}(E)=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}diam(A_i)^s\right\}</math>
:<math>H^s(E)=\lim_{\delta\rightarrow 0}H^s_{\delta}(E)</math>
:<math>\dim_H(E)=\inf\left\{s,H^s(E)=0\right\}=\sup\left\{s,H^s(E)=\infty\right\}</math>
===Calcul pratique dans un cas particulier classique===
Si <math>E~</math> est une partie d'un <math>\R~</math>-[[espace vectoriel]] qui vérifie la propriété suivante:
Il existe <math>n~</math> [[similitude]]s <math>f_1, f_2, ..., f_n~</math>de rapports <math>r_1, r_2, ..., r_n~</math> telles que les <math>f_i(E)~</math> sont disjoints deux à deux et l'union est [[isométrique]] avec <math>E~</math>, alors on a la relation:
:<math>r_1^d + r_2^d + ... + r_n^d = 1</math> où <math>d~</math> est la dimension de <math>E~</math>.
Cela découle de la propriété suivante des mesures de Hausdorff:
:<math>H^d(\lambda \cdot E) = \lambda^d \cdot H^d(E)</math> pour tout <math>\lambda~</math> positif
et de l'invariance par [[isométrie]].
Cela offre un moyen simple de calculer les dimensions de fractales classiques ([[flocon de Koch]], [[tapis de Sierpinski]], etc...).
Exemple : L'[[ensemble de Cantor]] est constituée de deux ensembles de Cantor 3 fois plus petits (les deux similitudes sont donc ici des homothéties de rapports 1/3 composées avec des translations).
Donc <math>2 \cdot (\frac{1}{3})^d = 1</math>, ce qui donne : <math>d = \frac{\ln{2}}{\ln{3}} ~</math>.
===Exemples===
* Le cercle est de dimension de Hausdorff 1.
* La dimension de Hausdorff de la représentation triadique de Cantor est <math>\frac{\ln{2}}{\ln{3}} ~</math>.
* La dimension de Hausdorff du triangle de Sierpinski est <math>\frac{\ln{3}}{\ln{2}} ~</math>.
* La dimension de Hausdorff du tapis de Sierpinski est <math>\frac{\ln{8}}{\ln{3}} ~</math>.
* La trajectoire du mouvement brownien en dimension 2 est [[presque sûrement]] de dimension 2.
===Liens internes===
{{Commons|Fractal|les fractales}}
* [[Liste de fractales par dimension de Hausdorff]]
{{portail mathématiques}}
[[Catégorie:Fractale]]
[[Catégorie:Théorie de la mesure]]
[[bg:Хаусдорфова размерност]]
[[cs:Hausdorffova míra]]
[[de:Hausdorff-Dimension]]
[[en:Hausdorff dimension]]
[[fi:Hausdorffin mitta]]
[[he:ממד האוסדורף]]
[[it:Dimensione di Hausdorff]]
[[pl:Wymiar Hausdorffa]]
[[pt:Dimensão de Hausdorff]]
[[ro:Dimensiune Hausdorff]]
[[ru:Размерность Минковского]]
[[sl:Hausdorff-Bezikovičeva razsežnost]]
[[sv:Hausdorffdimension]]
[[uk:Розмірність Хаусдорфа]]
[[ur:ہاسڈارف بُعد]]
[[zh:豪斯多夫维]]