Division
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La '''division''' est une [[loi de composition interne|loi de composition]] qui à deux nombres associe le [[produit mathématique|produit]] du premier par l'[[inverse]] du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction "[[multiplication]] par ce nombre".
On distingue couramment la division "exacte" (celle dont on parle ici) de la division "avec reste" (la [[division euclidienne]]). Le résultat d'une division s'appelle le [[quotient]].
== Problématique ==
La division sert :
* à faire un partage équitable entre un nombre de parts déterminé à l'avance, et donc à déterminer la taille d'une part. Par exemple :
:Question : Si on répartit équitablement 500 grammes de poudre de perlimpimpin entre huit personnes, combien chacune d'elle obtiendra-t-elle ?
:Réponse : <math>\frac{500}{8} = 62,5</math>, chacun obtient 62,5 grammes de poudre de perlimpimpin
* à déterminer le nombre de parts possible, d'une taille déterminée à l'avance. Par exemple :
:Question : Si on répartit 500 grammes de poudre de perlimpimpin par tranche de 70 g, combien de personnes pourra-t-on servir ?
:Réponse : <math>\frac{500}{70} = 7,14.. </math>, on pourra servir 7 personnes et il restera de quoi servir 1/7 de personne (...)
== Vocabulaire et notations - historique ==
Le symbole actuel de la division est un trait horizontal séparant le ''numérateur'' (''dividende'') du ''dénominateur'' (''diviseur''). Par exemple, ''a'' divisé par ''b'' se note <math>\frac ab</math>.
Le ''dénominateur'' donne la dénomination et le ''numérateur'' énumère : <math>\frac 34</math> indique qu'il s'agit de ''quarts'', et qu'il y en a ''trois'' → ''trois quarts''
[[Diophante]] et les [[Romains]], au {{IVe siècle}} écrivaient déjà des fractions sous une forme semblable, les [[Inde|Indiens]] également au {{XIIe siècle}} et la notation moderne fut adoptée par les [[Arabes]].
Le symbole ''':''' a été plus tard utilisé par [[Leibniz]].
Les fabricants de calculatrices impriment les symboles [[÷]] ou '''/''' sur la touche « opérateur division ». L'utilisation de ces symboles est plus ambiguë que la barre de fraction, puisqu'elle demande de définir des priorités, mais elle est pratique pour l'écriture « en ligne » utilisée en imprimerie ou sur un écran.
Aujourd'hui en France, en classe de 6{{e}} de collège, les notations '''÷'', ''':''' et '''/''' sont utilisées, car la division a pour les élèves un statut d'opération. Une nuance de sens est communément admise :
* ''a'' ÷ ''b'' et ''a'' : ''b'' désignent une opération (non effectuée), et le vocabulaire approprié est ''dividende'' pour ''a'' et ''diviseur'' pour ''b'' ;
* <math>\frac{a}{b}</math> et ''a'' / ''b'' désignent l'écriture fractionnaire du ''résultat'' de cette opération, et le vocabulaire approprié est ''numérateur'' pour ''a'' et ''dénominateur'' pour ''b''.
== Définition ==
Étant donné un [[anneau (mathématiques)|anneau]] [[anneau intègre|intègre]] ''(A,+,×)'', la division sur ''A'' est la ''loi de composition'' : <math>A\times A \to A</math>, notée par exemple « ÷ », telle que <math>\forall (a,b,c)\in A\times A\times A</math>, ''a ÷ b = c'' si et seulement si ''b × c = a''.
L'intégrité de l'anneau assure que la division a bien un résultat unique. Par contre, elle n'est définie que sur <math>A\times(A-\{0\})</math> si et seulement si ''A'' est un [[corps (mathématiques)|corps]], et en aucun cas définie pour ''b = 0''.
Si la division n'est pas définie partout, on peut étendre conjointement la division et l'ensemble ''A'' en posant que <math>\forall (a,b)\in A\times A</math>, ''a ÷ b'' est un nombre de cet ensemble étendu. On construit ainsi le corps engendré par l'anneau ''A''. C'est ainsi que l'on [[Construction des nombres rationnels|construit]] <math>\mathbb{Q}</math> à partir de <math>\mathbb{Z}</math>.
Une construction plus rigoureuse de <math>\mathbb{Q}</math> le définit comme l'[[ensemble quotient]] de <math>\mathbb{Z}\times (\mathbb{N}-\{0\})</math> par la [[relation d'équivalence]] <math>R</math> définie par <math>\forall ((a,b),(a',b')),(a,b)R(a',b') \iff ab'=a'b</math>.
Cette définition ne recouvre pas celle de [[division euclidienne]], qui se pose de manière analogue mais dont le sens est radicalement différent.
Dans l'idée, elle sert aussi à inverser la multiplication (dans ''a'', combien de fois ''b'').
Le problème de définition ne se pose plus, puisque <math>\forall (a,b)\in \mathbb{N}\times(\mathbb{N}-\{0\})</math>, <math>\{n\in\mathbb{N}\ |\ b\times n<=a\}</math> est une partie de <math>\mathbb{N}</math> non vide et majorée, qui admet donc un plus grand élément.
Cette division, fondamentale en arithmétique, introduit la notion de ''reste''. Néanmoins, comme pour toutes les divisions, le ''b'' de la définition ne peut être [[zéro]], en effet, une division par 0 donnerait un résultat infini.
== Propriétés ==
La division n'était pas à proprement parler une opération ([[loi de composition interne]], définie partout), ses "propriétés" n'ont pas d'implications structurelles sur les ensembles de nombres, et doivent être comprises comme des propriétés des nombres en écriture fractionnaire.
"Non-propriétés"
<ul>
<li>
non-[[commutativité|commutative]] car 5 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 5
</li>
<li>
non-[[associativité|associative]] car 12 ÷ (4 ÷ 3) ≠ (12 ÷ 4) ÷ 3
</li>
</ul>
Remarques
<ul>
<li>
pseudo-[[élément neutre]] à droite : 1<br />
<math>\frac a1 = a</math>
</li>
<li>
pseudo-[[élément absorbant]] à gauche : 0<br />
si b ≠ 0, <math>\frac 0b = 0</math>
</li>
<li>
égalité de fractions
<ul>
<li>
de même dénominateur<br />
si b ≠ 0, <math>\frac ab = \frac cb \iff a=c</math>
</li>
<li>
en général (qui découle de la construction de <math>\mathbb{Q}</math>)<br />
si b ≠ 0 et d ≠ 0, <math>\frac ab = \frac cd \iff ad=bc</math>
</li>
</ul>
<li>
ordre<br />
si b > 0, <math>\frac ab</math> et <math>\frac cb</math> sont dans le même ordre que ''a'' et ''c''
</li>
</ul>
== Algorithme de la division ==
Cet algorithme sert à déterminer une écriture décimale du quotient de deux [[nombre entier|nombres entiers]], qui se généralise au quotient de deux [[nombre décimal|nombres décimaux]]
Dans certains cas, la division "ne se termine pas", ce qui signifie que l'algorithme itère à l'infini.
Dans ce cas, le quotient est un rationnel non décimal, et on peut prouver que son développement décimal admet une période, dont la longueur est strictement inférieure au diviseur.
Dans une division non exacte a<math>\div</math>b (''a'' et ''b'' étant deux nombres entiers, b non nul), si on note <math>q_p</math> et <math>r_p</math> respectivement le quotient et le reste obtenus après p en poussant les itérations jusqu'à obtenir p chiffres après la virgule du quotient, on obtient un encadrement ou une égalité :
<center>
<math>\frac ab \approx q_p</math> à <math>10^{-p}</math> près ou <math>q_p <\frac ab < q_p+10^{-p}</math>
et
<math>\frac ab = q_p + \frac {r_p.10^{-p}}{b}</math>
</center>
Un nombre irrationnel (réel, sans être rationnel) ne peut s'écrire sous forme de fraction, par définition.
== Mathématiques et langue française ==
On peut '''diviser''' une entité '''en''' un nombre de parties dont l'addition donne cette entité, '''par''' un moyen implicite ou explicite.
Ainsi, on peut :
* diviser un gâteau en deux parts, par un coup de couteau
* simplement diviser un gâteau en deux [parts, par un moyen quelconque]
* diviser 1 en 2 demis, par la représentation mentale mathématique que l'on s'en fait
* simplement diviser 1 en 36ème
* etc.
On peut également diviser ''par dichotomie'' ou ''par malice'', mais diviser ''par 2'' est un concept mathématique.<br />
<math>\frac ab = c</math> : « ''a'' divisé par ''b'' est égal à ''c'' ».
== Voir aussi ==
* [[Divisibilité]]
* [[Division euclidienne]]
* [[Division par zéro]]
* [[Fraction]]
* [[Modulo]]
* [[Multiplication]]
{{Opérations binaires}}
{{Portail maths}}
[[Catégorie:Opération]]
[[Catégorie:Divisibilité et factorisation]]
[[ay:Jaljayaña]]
[[bg:Деление]]
[[bs:Dijeljenje]]
[[ca:Divisió]]
[[cs:Dělení]]
[[cy:Rhannu (mathemateg)]]
[[da:Division (matematik)]]
[[de:Division (Mathematik)]]
[[en:Division (mathematics)]]
[[eo:Divido]]
[[es:División (matemática)]]
[[fa:تقسیم]]
[[fi:Jakolasku]]
[[gd:Roinn (matamataig)]]
[[gl:División (matemáticas)]]
[[is:Deiling]]
[[it:Divisione (matematica)]]
[[ja:除法]]
[[ko:나눗셈]]
[[lt:Dalyba]]
[[nl:Delen]]
[[no:Divisjon (matematikk)]]
[[nov:Divisione]]
[[pl:Dzielenie]]
[[pt:Divisão]]
[[qu:Rakiy]]
[[ru:Деление (математика)]]
[[scn:Spartuta]]
[[simple:Division]]
[[sk:Delenec]]
[[sl:Deljenje]]
[[sr:Дељење]]
[[sv:Division (matematik)]]
[[ta:வகுத்தல் (கணிதம்)]]
[[th:การหาร]]
[[tl:Dibisyon]]
[[ur:تقسیم (ریاضی)]]
[[zh:除法]]