Ensemble de Cantor 147529 31481537 2008-07-10T23:24:27Z Valvino 116222 mise en page, intro En [[mathématiques]], l''''ensemble de Cantor''' (ou ''ensemble triadique de Cantor'', ou ''poussière de Cantor'') est un [[sous-ensemble]] remarquable de la [[nombre réel|droite réelle]] construit par le mathématicien allemand [[Georg Cantor]]. Il s'agit d'un ensemble [[Fermé (topologie)|fermé]] du [[segment]] <math>[0,1]</math>, d'[[Intérieur (topologie)|intérieur]] vide. Il sert d'exemple pour montrer qu'il existe des ensembles non [[ensemble dénombrable|dénombrables]] mais [[ensemble de mesure nulle|négligeables]] au sens de la [[mesure de Lebesgue]]. C'est aussi le premier exemple de [[fractale]] (bien que le terme ne soit apparu qu'un siècle plus tard), et il possède une dimension fractionnaire au sens de [[dimension de Hausdorff|Hausdorff]]. Il admet enfin une interprétation en terme de développement des réels en [[base (arithmétique)|base]] 3. Pour cette raison, il est souvent noté <math>K_3</math>. On le construit de manière itérative à partir du segment <math>[0,1]</math> en enlevant le tiers central ; puis on réitère l'opération sur les deux segments restants, et ainsi de suite. On peut voir les sept premières itérations du procédé sur le schéma suivant : [[Image:Cantors dust in seven iterations.png]] == Construction == === Construction itérative === On dénote par <math>\mathcal{T}</math> l'opérateur « enlever le tiers central » : :<math> \mathcal{T} : I \rightarrow I_0 \cup I_1 \ ; \ [a,b] \mapsto \left[a,a+\frac{b-a}{3}\right] \cup \left[b- \frac{b-a}{3},b\right].</math> On note <math>A_0 = [0,1]</math> et on définit par récurrence une suite de parties de <math>[0,1]</math> par la relation : :<math>\forall n \in \N,\ A_{n+1} = \mathcal{T}(A_n).</math> On a : :<math>A_1 = \left[0,\frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{2}{3},1\right];</math> :<math>A_2 = \left[0,\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{2}{9},\frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{2}{3},\frac{7}{9}\right] \cup \left[\frac{8}{9},1\right];</math> <math>A_3 = \left[0,\frac{1}{27}\right] \cup \left[\frac{2}{27},\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{2}{9},\frac{7}{27}\right] \cup \left[\frac{8}{27},\frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{2}{3},\frac{19}{27}\right] \cup \left[\frac{20}{27},\frac{7}{9}\right] \cup \left[\frac{8}{9},\frac{25}{27}\right] \cup \left[\frac{26}{27},1\right].</math> Alors l'ensemble de Cantor <math>K_3</math> est « la limite » de <math>A_n</math> quand <math>n</math> tend vers <math>+\infty </math> : :<math>K = \bigcap_{n \in \N} A_n.</math> === Écriture en base 3 === On peut aussi définir l'ensemble de Cantor via l'écriture en [[base (arithmétique)|base]] 3. Tout réel <math>x \in [0,1] </math> s'écrit de manière : :<math>x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{3^n};</math> avec <math>x_n \in \{ 0,1,2\}</math>. On écrit alors :<math>x = 0,x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 \ldots </math> Cette écriture est unique à ceci près : on peut remplacer <math>1000000\ldots </math> par <math>0222222\ldots </math> (et <math>2000000\ldots </math> par <math>1222222\ldots </math>) à la fin d'une écriture. Si on choisit de faire cette transformation on peut alors définir <math>K_3</math> par : :''L'ensemble de Cantor est formé des réels de <math>[0,1]</math> ayant '''une''' écriture en base 3 ne contenant que des 0 et des 2.'' C'est-à-dire :<math>K_3 = \left\{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{3^n} \ | \,x_n \in \{ 0,2 \} \right\}.</math> Note : donc 1/3 est dans cet ensemble, puisqu'il admet les deux écritures 0,1000… et 0,02222… en base 3. 2/3 également (0,2000… ou 0,12222…). Remarquez que parmi les nombres admettant un développement propre et un développement impropre, il n'en existe aucun dont les deux écritures vérifient la propriété demandée. == Propriétés == L'ensemble de Cantor a de nombreuses propriétés particulières. === Mesure === L'ensemble de Cantor est de mesure nulle, c'est-à-dire [[ensemble de mesure nulle|négligeable]] au sens de la [[mesure de Lebesgue]]. En effet en notant <math>\ell</math> la mesure de Lebesgue sur <math>\R</math>, on a : * <math>\ell \left( [0,1] \right) = 1</math>; * pour une réunion <math>A_n</math> d'intervalles : <math>\ell \left( \mathcal{T}(A_n) \right) = \ell(A_{n+1}) = \frac{2}{3} \ell (A_n) </math> ; où <math>\mathcal{T}</math> est l'opérateur « ablation du tiers central » (voir [[#Construction itérative|premier paragraphe]]). On en déduit que pour les étapes de la construction itérative ci-dessus : :<math>\forall n \in \N ,\ \ell \left( A_n \right) = \left( \frac{2}{3} \right)^n.</math> Et comme l'ensemble de Cantor est inclus dans tous les <math>A_n</math> : <math>\ell \left( K \right) = 0</math>. L'ensemble de Cantor est donc « petit » ''au sens de la mesure de Lebesgue''. === Non-dénombrabilité === Cependant l'ensemble de Cantor n'est pas [[ensemble dénombrable|dénombrable]] ; il a la puissance du continu (voir [[Infini]]). En effet, on peut montrer que les ensembles <math>K_3</math> et <math>[0,1]</math> sont [[Équipotence|équipotents]]. Pour cela on associe à tout élément <math>x=O,x_1 x_2 x_3 x_4 \ldots \in K_3</math> écrit en base 3, l'élément <math>f(x)=0,x'_1 x'_2 x'_3 x'_4 \ldots \in [0,1]</math> écrit en base 2, avec : * <math>x'_i = 0</math> si <math>x_i = 0</math> ; * <math>x'_i = 1 </math> si <math>x_i = 2</math>. Par exemple l'élément <math>0,0202200222000\ldots</math> de l'ensemble de Cantor correspondra à l'élément <math>0,0101100111000\ldots</math> du segment unité <math>[0,1]</math>. Il est facile de voir que cette application est [[surjective]] mais non [[injective]] (l'élément <math>0,1</math> étant l'image de <math>0,0222222\ldots</math> comme de <math>0,2</math>). De l'existence d'une surjection de <math>K_3</math> dans <math>[0,1]</math>, par l'[[axiome du choix]], on déduit l'existence d'une injection de <math>[0,1]</math> dans <math>K_3</math>, et comme l'application identité induit clairement une injection de <math>K_3</math> dans <math>[0,1]</math>, alors d'après le [[théorème de Cantor-Bernstein]], on en déduit que <math>K_3</math> et <math>[0,1]</math> sont équipotents. Donc l'ensemble de Cantor est aussi en [[bijection]] avec <math>\R</math>, il a la [[puissance du continu]]. On peut aussi utiliser l'écriture en base '''3'''. Celle-ci montre que <math>K_3</math> est équipotent à <math>\{0,1\}^\N</math>. Ainsi l'ensemble de Cantor est « grand » ''au sens de la [[théorie des ensembles]]''. === Propriétés topologiques === * L'ensemble de Cantor est [[Compacité (mathématiques)|compact]], et n'a que des [[glossaire topologique|points d'accumulation]]. On dit que c'est un [[ensemble parfait]]. Par ailleurs, il est d'[[intérieur]] vide, {{démonstration|Soit ''P'' un point de <math>K_3</math>, et soit une boule ouverte (intervalle ouvert) centrée en ''P''. Cet ouvert contient nécessairement un réel dont le développement en base 3 contient le chiffre 1, qui n'est pas élément de <math>K_3</math>. Donc ''P'' n'est pas intérieur à <math>K_3</math>. Par ailleurs, dans ce même intervalle, il existe toujours un réel dont le développement en base 3 s'écrit uniquement avec des 0 ou des 2. Donc ''P'' n'est pas un point isolé.}} * L'ensemble de Cantor est également [[totalement discontinu]] c'est-à-dire que chaque singleton est sa propre [[Connexité (mathématiques)|composante connexe]], et [[homéomorphisme|homéomorphe]] à l'espace topologique <math>\{ 0,1 \} ^{\mathbb N} </math>. * Enfin l'ensemble de Cantor est ''« universel dans la [[théorie des catégories|catégorie]] des [[espace métrique|espaces métriques]] [[Espace_compact|compacts]]»'', autrement dit tout espace métrique compact est l'image de l'ensemble de Cantor par une application continue. Cette affirmation a des répercussions importantes en [[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]]. === Auto-similarité === L'image de l'ensemble de Cantor par l'homothétie ''h'' de centre ''0'' et de rapport ''1/3'' est elle-même une partie de l'ensemble de Cantor. Plus précisément :<math>K_3 = h \left( K_3 \right) \cup \left( h \left( K_3 \right) + \frac{2}{3} \right).</math> Ainsi, <math>K_3</math> est la réunion disjointe de deux parties qui lui sont homothétiques. C'est une manifestation de ce qu'on appelle ''l'auto-similarité'', qui est l'une des propriétés de base des [[fractale]]s. Sa dimension au sens de [[Dimension de Hausdorff|Hausdorff]] est Log(2)/Log(3) (< 1). == Remarque == Une autre version de l'ensemble de Cantor est l'ensemble de Cantor "quatre coins". Il est construit sur le même principe général, mais basé sur un carré : on considére un carré que l'on découpe en 16 carrés de même taille, et on supprime tous les carrés n'étant pas dans un coin du carré de départ. L'ensemble est construit de façon itérative en répétant cette action sur les nouveaux carrés. == Voir aussi == * [[Escalier de Cantor]] ou du diable * [[Éponge de Menger]] * [[Liste de fractales par dimension de Hausdorff]] {{Portail mathématiques}} [[Catégorie:Théorie de la mesure]] [[Catégorie:Fractale|Cantor (Ensemble)]] [[Catégorie:Espace topologique remarquable]] [[Catégorie:Georg Cantor]] {{Lien AdQ|he}} [[ca:Conjunt de Cantor]] [[cs:Cantorovo diskontinuum]] [[de:Cantor-Menge]] [[en:Cantor set]] [[eo:Aro de Kantor]] [[es:Conjunto de Cantor]] [[fi:Cantorin joukko]] [[he:קבוצת קנטור]] [[hr:Cantorov skup]] [[it:Insieme di Cantor]] [[ja:カントール集合]] [[ko:칸토어 집합]] [[nl:Cantorverzameling]] [[pl:Zbiór Cantora]] [[pt:Conjunto de Cantor]] [[ro:Mulţimea lui Cantor]] [[ru:Канторово множество]] [[sl:Cantorjeva množica]] [[sv:Cantormängden]] [[th:เซตคันทอร์]] [[uk:Множина Кантора]]