Ensemble de Mandelbrot
14821
29042692
2008-04-27T17:18:34Z
Madiot
19181
orth : conn(-é+e)xité
'''L'ensemble de Mandelbrot''' est une [[fractale]] qui est définie comme l'[[ensemble]] des points ''c'' du [[plan complexe]] pour lesquels la [[suite (mathématiques)|suite]] récurrente définie par :
[[Image:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|right|thumb|300px|L'ensemble de Mandelbrot (en noir)]]
[[Image:Mandelpart2.jpg|right|thumb|300px|Zoom sur une partie de l'ensemble. On remarque l'[[autosimilarité]] des structures.]]
:''z''<sub>''n''+1</sub> = ''z''<sub>''n''</sub><sup>2</sup> + ''c''
et la condition ''z''<sub>0</sub> = 0
''ne tend pas'' vers l'infini (en module).
Si nous reformulons cela sans utiliser les nombres complexes, en remplaçant ''z''<sub>''n''</sub> par le couple (''x''<sub>''n''</sub>, ''y''<sub>''n''</sub>) et ''c'' par le couple (''a'', ''b''), alors nous obtenons:
:''x''<sub>''n''+1</sub> = ''x''<sub>''n''</sub><sup>2</sup> - ''y''<sub>''n''</sub><sup>2</sup> + ''a''
et
:''y''<sub>''n''+1</sub> = 2''x''<sub>''n''</sub>''y''<sub>''n''</sub> + ''b''.
L'ensemble de Mandelbrot a été créé par [[Benoit Mandelbrot|Benoît Mandelbrot]] et permet d'indicer les [[ensemble de Julia|ensembles de Julia]] :
à chaque point du plan complexe correspond un ensemble de Julia différent; ces points de l'ensemble de Mandelbrot correspondent précisément aux ensembles de Julia connexes, et ceux en dehors correspondent aux ensembles de Julia non connexes.
== Dessiner l'ensemble ==
[[Image:Buddhabrot.jpg|right|thumbnail|Méthode ''[[Buddhabrot]]'']]
[[Image:Fractal-zoom-1-03-Mandelbrot Buzzsaw.png|right|thumbnail|Vue fixe d'un [[media:Fractal-zoom-1-03-Mandelbrot Buzzsaw.ogg|vidéo d'agrandissement progressif]] sur 0.001643721971153 + 0.822467633298876i]]
Il peut être démontré que dès que le [[module d'un nombre complexe|module]] de ''z''<sub>''n''</sub> est strictement plus grand que 2 (''z''<sub>''n''</sub> étant sous forme algébrique, quand ''x''<sub>''n''</sub><sup>2</sup> + ''y''<sub>''n''</sub><sup>2</sup>> 2<sup>2</sup>), la suite diverge vers l'infini, et donc ''c'' est en dehors de l'ensemble de Mandelbrot. Cela nous permet d'arrêter le calcul pour les points ayant un module strictement supérieur à deux et qui sont donc en dehors de l'ensemble de Mandelbrot. Pour les points de l'ensemble de Mandelbrot, ''i.e.'' les nombres complexes ''c'' pour lesquels ''z''<sub>'' n''</sub> ne tend pas vers l'infini, le calcul n'arrivera jamais à terme, donc il doit être arrêté après un certain nombre d'itérations déterminé par le programme.
Il en résulte que l'image affichée n'est qu'une approximation du vrai ensemble.
Bien que cela n'ait aucune importance sur le plan mathématique, la plupart des programmes générant des fractales affichent les points en dehors de l'ensemble de Mandelbrot dans différentes [[couleur]]s. La couleur attribuée à un point n'appartenant pas à l'ensemble dépend du nombre d'itérations au bout desquelles la suite correspondante est déclarée divergente vers l'infini (par exemple quand le module est strictement supérieur à deux).
Cela donne plusieurs zones concentriques, qui entourent l'ensemble de Mandelbrot. Les plus éloignées sont constituées de points c pour lesquels la suite (z<sub>n</sub>) tend «plus rapidement» vers l'infini. Ces différentes zones délimitent d'une manière plus ou moins précise l'ensemble de Mandelbrot.
== Structures remarquables ==
La principale structure remarquable est la [[cardioïde]] centrale, de centre <math>A\left (\frac{1}{4},0\right )</math> et d'équation polaire <math> \rho(\theta) = \frac{1}{2}\left (1 - \cos \theta \right ). \ </math>
On peut aussi citer le [[cercle]] de centre <math>B(-1;0)</math> et de rayon <math>\frac{1}{4}</math>.
== Quelques propriétés ==
L'ensemble <math>\;M\;</math> de Mandelbrot est une partie du plan complexe (incluse dans le disque fermé de centre <math>\;0\;</math> et de rayon <math>\;2\;</math>) qui est compacte , connexe , d'intérieur non vide , symétrique par rapport à l'axe réel et dont l'intersection avec l'axe réel est le segment <math>\;[-2,\frac{1}{4}]\;.</math>
{{Boîte déroulante début|titre=Preuve}}
Si ,
<math>\;(P_n)_{n\in\mathbb{N}}\;</math> est la suite de polynômes de <math>\;\mathbb{C}[X]\;,</math> définie par la relation récurrente :
<math>\;P_0=X\;</math> et <math>\;\;\forall n\;\;,\;P_{n+1}=P_n^2+X\;,</math>
<math>\;M_n\;</math> l'ensemble des nombres complexes <math>\;z\;</math> tels que <math>\;|P_n(z)|\le2\;,</math>
et <math>\;M\;</math> l'ensemble (de Mandelbrot) des nombres complexes <math>\;z\;</math> tels que <math>\;\sup_n\;|P_n(z)|<+\infty\;.</math>
Alors ,
----
<math>\;(M_n)_n\;</math> est une suite décroissante de parties compactes connexes (non vides) du plan complexe d'intersection <math>\;M\;</math> qui est par conséquent une partie compacte connexe (non vide) du plan complexe incluse dans <math>\;M_0\;</math> (qui n'est autre que le disque fermé de centre <math>\;0\;</math> et de rayon <math>\;2\;</math>).
La compacité des <math>\;M_n\;</math> est claire vu que ce sont des fermés bornés du plan complexe .
Pour voir que la suite <math>\;(M_n)\;</math> est décroissante (au sens de l'inclusion) on commence par établir que tous les <math>\;M_n\;</math> sont contenus dans <math>\;M_0\;,</math>
en effet si <math>\;|z|>2\;</math> on a <math>\;|P_1(z)|=|z^2+z|\ge|z|^2-|z|>|z|>2\;</math>
et une petite récurrence donne <math>\;|P_n(z)|>|z|>2\;</math> pour tout <math>\;n\ge1\;.</math>
d'où si <math>\;z\in M_{n+1}\;</math> on a <math>\;|P_n(z)|^2\le|P_{n+1}(z)|+|z|\le4\;</math> c'est à dire <math>\;z\in M_n\;,</math>
pour voir que <math>\;M=\cap_{n}M_n\;</math> , il suffit de remarquer que pour <math>\;z\in M\;,</math> le réel <math>\;m(z)=\sup_{n}|P_n(z)|\;</math>
vérifie <math>\;(m(z))^2\le2m(z)\;</math> et donc <math>\;m(z)\le2\;.</math>
<math>\;0\;</math> (qui est racine de tous les <math>\;P_n\;</math>) est intérieur à <math>\;M\;</math> en effet si <math>\;|z|\le\frac{1}{4}\;,</math> une petite récurrence donne ,
<math>\;|P_n(z)|\le\frac{1}{2}\;</math> pour tout <math>\;n\in\mathbb{N}\;</math>
----
Pour <math>\;M\cap\mathbb{R}=[-2,\frac{1}{4}]</math>
on a déjà <math>\;\;[0,\frac{1}{4}]\subset M\;</math>
Pour <math>\;z\in[-2,0]\;</math> on montre par récurrence que <math>\;|P_n(z)|\le-z\;</math> pour tout <math>\;n\in\mathbb{N}\;</math>
en effet c'est trivial pour <math>\;n=0\;</math> et si on suppose <math>\;|P_n(z)|\le-z\;</math> pour un certain <math>\;n\ge0\;</math>
et vu que <math>\;P_n^2(z)\ge0\;</math> on a <math>\;z\le P_{n+1}(z)\le z^2+z\le-z\;.</math>
Pour <math>\;z\in]\frac{1}{4},+\infty[\;</math> la suite <math>\;(P_n(z))_n\;</math> est réelle positive d'où en utilisant l'inégalité arithmético-géométrique
<math>\;P_{n+1}(z)\ge(2\sqrt{z})P_n(z)\;</math> soit <math>\;P_n(z)\ge(2\sqrt{z})^nz\;.</math>
----
Les polynômes <math>\;P_n\;</math> étant à coefficients réels , tous les <math>\;M_n\;</math> ainsi que <math>\;M\;</math> sont stables par conjuguaison complexe .
(ce qui se traduit géométriquement par la symétrie des <math>\;M_n\;</math> et de <math>\;M\;</math> par rapport à l'axe réel)
----
''Remarque'' :
Toutes les racines des polynômes <math>\;P_n\;</math> sont dans <math>\;M\;</math> en effet si <math>\;z\;</math> est racine d'un certain polynôme <math>\;P_r\;</math> ,
il est facile de montrer par récurrence que <math>\;P_{n+r+1}(z)=P_n(z)\;</math> pour tout <math>\;n\in\mathbb{N}\;</math>
ce qui veut dire que la suite <math>\;(P_n(z))_n\;</math> est périodique donc bornée .
----
Une propriété moins évidente à montrer est la connexité des <math>\;M_n\;</math> (en cours de rédaction)
(à suivre)
{{Boîte déroulante fin}}
== Logiciels générateurs de fractales ==
* [http://mandelbrot.ovh.org "Mandelbrot Set - Online Generator"]
* [http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html Fractint] (propriétaire - porté sur de nombreuses plate-formes)
* « [http://skyscraper.fortunecity.com/terabyte/966 Makin' Magic Fractals] »
* [http://www.chaospro.de ChaosPro] - (propriétaire - pour Windows)
* [http://wmi.math.u-szeged.hu/xaos/doku.php XaoS]
* [http://fractale.gecif.net/ Gecif]
* [http://gnofract4d.sourceforge.net/ Gnofract 4D] - (puissant et rapide - pour Linux, FreeBSD ou Mac OS X)
[[Image:Fractal nevit 58.png|200px]]
== Algorithmes de génération ==
* [http://blog.netmee.com/index.php/2006/11/29/1-first-post Dessiner un ensemble de Mandelbrot en C#.NET]
{{portail mathématiques}}
[[Catégorie:Fractale|Mandelbrot (Ensemble de)]]
{{Lien BA|de}}
[[ar:مجموعة ماندلبروت]]
[[ca:Conjunt de Mandelbrot]]
[[cs:Mandelbrotova množina]]
[[de:Mandelbrot-Menge]]
[[en:Mandelbrot set]]
[[es:Conjunto de Mandelbrot]]
[[fa:مجموعه مندلبرو]]
[[fi:Mandelbrotin joukko]]
[[gl:Conxunto de Mandelbrot]]
[[he:קבוצת מנדלברוט]]
[[hr:Mandelbrotov skup]]
[[hu:Mandelbrot-halmaz]]
[[is:Mandelbrot mengið]]
[[it:Insieme di Mandelbrot]]
[[ja:マンデルブロ集合]]
[[ko:만델브로 집합]]
[[nl:Mandelbrotverzameling]]
[[no:Mandelbrotmengden]]
[[pl:Zbiór Mandelbrota]]
[[pt:Conjunto de Mandelbrot]]
[[ro:Mulţimea lui Mandelbrot]]
[[ru:Множество Мандельброта]]
[[sk:Mandelbrotova množina]]
[[sv:Mandelbrotmängden]]
[[te:మేండెల్బ్రాట్ సెట్]]
[[th:เซตมานดัลบรอ]]
[[uk:Множина Мандельброта]]
[[zh:曼德勃羅集合]]