Ensemble flou 2848 29617895 2008-05-16T07:12:48Z Félix Potuit 225380 /* Voir aussi */ La théorie des '''ensembles flous'''<ref>En anglais : « Fuzzy sets ». ''Fuzzy sets'' est également le titre d'un roman de [[Claude Ollier]].</ref> est une théorie [[mathématique]] du domaine de l’'''[[algèbre abstraite]]'''. Elle a été développée par [[Lotfi Zadeh]] en [[1965]] afin de représenter mathématiquement l'imprécision relative à certaines classes d'objets et sert de fondement à la [[logique floue]]. == Présentation == Les ensembles flous (ou parties floues) ont été introduits afin de modéliser la représentation humaine des connaissances, et ainsi améliorer les performances des systèmes de décision qui utilisent cette modélisation. Les ensembles flous sont utilisés soit pour modéliser l'incertitude et l'imprécision, soit pour représenter des informations précises sous forme lexicale assimilable par un [[système expert]]. == Définition == Les parties floues (ou ensembles flous) sont définies comme des ensembles pouvant contenir des éléments de façon partielle. == Propriétés == * Une partie floue <math>A</math> de <math>B</math> est caractérisée par une application de <math>B</math> dans <math>[0,1]</math>. Cette application, appelée '''fonction d'appartenance''' et notée <math>\mu_A</math> représente le degré de validité de la proposition « <math>x</math> appartient à <math>A</math> » pour chacun des éléments <math>x</math> de <math>B</math>. Si <math>\mu_A(x) = 1</math>, l'objet <math>x</math> appartient totalement à <math>A</math>, et si <math>\mu_A(x) = 0</math>, il ne lui appartient pas du tout. Pour un élément <math>x</math> donné, la valeur de la fonction d'appartenance <math>\mu_A(x)</math> est appelée '''degré d'appartenance''' de l'élément <math>x</math> au sous-ensemble <math>A</math>. * Le '''noyau''' d'une partie floue <math>A</math> est l'ensemble des éléments qui appartiennent totalement à <math>A</math> c'est-à-dire dont le degré d'appartenance à <math>A</math> vaut 1.<center><math>n(A) = \{x \in B \mid \mu_A(x)=1 \}</math> </center> * Le '''support''' d'une partie floue <math>A</math> est l'ensemble des éléments appartenant, même très peu, à <math>A</math> c'est-à-dire dont le degré d'appartenance à <math>A</math> est différent de 0.<center><math>\operatorname{supp}(A) = \{x \in B \mid \mu_A(x)>0 \}</math></center> * La '''hauteur''' d'un sous-ensemble flou A de B est définie par <center><math>h(A)=\sup\{\mu_A(x) \mid x\in B\}</math>.</center> * Une sous-partie floue <math>A</math> de <math>B</math> peut aussi être caractérisée par l'ensemble de ses α-coupes. Une '''α-coupe''' d'un ensemble flou <math>A</math> est le sous-ensemble net (classique) des éléments ayant un degré d'appartenance supérieur ou égal à α. <center><math>\operatorname{\alpha-coupe}(A) = \{x\in B \mid \mu_A(x) \geqslant \alpha\}</math></center> == Remarques == La théorie des ensembles flous est très différente de la [[théorie axiomatique des ensembles|théorie des ensembles]], quoiqu'elle soit basée sur les [[fondements des mathématiques]]. Une différence importante est que, grâce à l'[[axiome de fondation]], un ensemble fini a un nombre ''fini'' de sous-ensembles alors qu'il a un nombre ''infini'' de sous-ensembles flous. == Notes et références == <references /> == Voir aussi == * [[Logique floue]] * [[Théorie du prototype]] * [[Théorie des possibilités]] [[Catégorie:classification]] [[Catégorie:intelligence artificielle]] [[bg:Размито множество]] [[ca:Conjunt difús]] [[en:Fuzzy set]] [[es:Subconjunto difuso]] [[fa:مجموعه‌های فازی]] [[it:Insiemi sfocati]] [[pl:Zbiór rozmyty]] [[ru:Теория нечётких множеств (Заде)]] [[uk:Нечітка множина]]