Entropie (mathématiques)
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2008-02-15T00:58:15Z
Loveless
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transition vers le nouveau systeme de bandeaux; changement de type cosmétique
{{Voir homonymes|Entropie (homonymie)}}
{{Ébauche|analyse}}
En [[mathématiques]], l''''entropie''' est une quantité réelle mesurant en un certain sens la complexité d'un [[système dynamique]].
=== Entropie topologique ===
{{article détaillé|entropie topologique}}
=== Entropie métrique ===
{{article détaillé|entropie métrique}}
=== Théorème du principe variationnel ===
{{article détaillé|Théorème du principe variationnel}}
Le théorème du principe variationnel permet de faire le lien entre l'entropie topologique et l'entropie métrique. Pour tout homéomorphisme ''f'' d'un espace topologique séparé compact, il existe au moins une [[mesure borélienne invariante]]. Dans sa forme la plus simple, le théorème du principe variationnel affirme que l'entropie topologique de ''f'' est le [[supremum]] des entropies métriques de ''f'' associées aux différentes mesures boréliennes invariantes. Sous sa forme forte, le théorème affirme de plus que ce supremum est un [[maximum]] :
<div style="margin-bottom:1em; padding:0.8em; border:1px solid #aaa; text-align:left;">
'''Théorème du principe variationnel'''
'''Forme faible''' : Pour tout système dynamique topologique compact (''X'',''f''), l'entropie topologique ''h''(''f'') verifie :
:<math> h(f)=\sup \{ h_{\mu}(f), \mu\in M(X,f)\}</math>
ou <math>h_{\mu}(f)</math> est l'entropie métrique de ''f'' associée à la mesure <math>\mu</math> et ''M''(''X'',''f'') est l'ensemble des mesures boréliennes de ''X'' qui soient ''f''-invariantes.
'''Forme forte''' : Pour tout système dynamique topologique compact (''X'',''f''), il existe une mesure borélienne <math>\mu</math> qui soit ''f''-invariante, telle que l'entropie métrique de ''f'' pour <math>\mu</math> soit exactement l'entropie topologique de ''f'' :
:<math>h(f)=h_{\mu}(f)</math>
</div>
La forme faible se déduit de la forme forte et d'inégalités entre entropie topologique et entropie métrique.
La forme forte se démontre en chossissant la mesure <math>/mu</math> comme une limite faiblement convergente d'une suite de mesures.
[[Catégorie:Systèmes dynamiques]]