Entropie (mathématiques) 1124298 26262940 2008-02-15T00:58:15Z Loveless 41312 transition vers le nouveau systeme de bandeaux; changement de type cosmétique {{Voir homonymes|Entropie (homonymie)}} {{Ébauche|analyse}} En [[mathématiques]], l''''entropie''' est une quantité réelle mesurant en un certain sens la complexité d'un [[système dynamique]]. === Entropie topologique === {{article détaillé|entropie topologique}} === Entropie métrique === {{article détaillé|entropie métrique}} === Théorème du principe variationnel === {{article détaillé|Théorème du principe variationnel}} Le théorème du principe variationnel permet de faire le lien entre l'entropie topologique et l'entropie métrique. Pour tout homéomorphisme ''f'' d'un espace topologique séparé compact, il existe au moins une [[mesure borélienne invariante]]. Dans sa forme la plus simple, le théorème du principe variationnel affirme que l'entropie topologique de ''f'' est le [[supremum]] des entropies métriques de ''f'' associées aux différentes mesures boréliennes invariantes. Sous sa forme forte, le théorème affirme de plus que ce supremum est un [[maximum]] : <div style="margin-bottom:1em; padding:0.8em; border:1px solid #aaa; text-align:left;"> '''Théorème du principe variationnel''' '''Forme faible''' : Pour tout système dynamique topologique compact (''X'',''f''), l'entropie topologique ''h''(''f'') verifie : :<math> h(f)=\sup \{ h_{\mu}(f), \mu\in M(X,f)\}</math> ou <math>h_{\mu}(f)</math> est l'entropie métrique de ''f'' associée à la mesure <math>\mu</math> et ''M''(''X'',''f'') est l'ensemble des mesures boréliennes de ''X'' qui soient ''f''-invariantes. '''Forme forte''' : Pour tout système dynamique topologique compact (''X'',''f''), il existe une mesure borélienne <math>\mu</math> qui soit ''f''-invariante, telle que l'entropie métrique de ''f'' pour <math>\mu</math> soit exactement l'entropie topologique de ''f'' : :<math>h(f)=h_{\mu}(f)</math> </div> La forme faible se déduit de la forme forte et d'inégalités entre entropie topologique et entropie métrique. La forme forte se démontre en chossissant la mesure <math>/mu</math> comme une limite faiblement convergente d'une suite de mesures. [[Catégorie:Systèmes dynamiques]]