Espace topologique 8740 30887124 2008-06-22T17:40:23Z 81.57.152.91 La '''topologie générale''' est une branche des [[Mathématiques|mathématiques]] qui fournit un vocabulaire et un contexte général pour traiter des notions de limite, de continuité, dans le cadre d'un continuum ou d'un espace discret, voire fini. Dans ce contexte, les '''espaces topologiques''' forment le socle conceptuel dans lequel ces notions sont définies. Le cadre est suffisamment général pour s'appliquer à un grand nombre de situations différentes: ensembles finis, discrets, espaces de la géométrie, espaces numériques à n dimensions, espaces fonctionnels les plus complexes. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des mathématiques, ils sont donc centraux dans la vision moderne des mathématiques. La branche des mathématiques qui étudie ces espaces s'appelle la [[topologie]]. La toplogie générale ne tente pas d'élucider la question très complexe de la "composition du continu": elle part d'une approche axiomatique, en utilisant le vocabulaire de la théorie des ensembles, autrement dit elle suit une approche basée sur une notion de [[structure (mathématiques)|structure]] (en l'occurrence ici, une structure topologique), en faisant usage d'une axiomatique [[théorie des ensembles|ensembliste]]. Les axiomes sont minimaux, et en ce sens c'est la structure la plus générale pour étudier les concepts cités. Ils ont été formaisés par Kolmogorov au début du XXe siècle. La topologie générale, en elle même, s'attache à définir le vocabulaire. Elle possède deux branches importantes: la [[Topologie différentielle|topologie différentielle]] et la [[Topologie algébrique|topologie algébrique]], dans lesquelles la notion générale de "forme" est étudiée avec un degré de complexité et d'approfondissement extrêmes. Cet article est technique, une vision générale et historique est donnée dans [[Topologie]]. == Concepts == === Définitions === Un '''espace topologique''' est un couple <math>(E,\Tau)</math>, où <math>E</math> est un [[ensemble]] et <math>\Tau</math> un ensemble de parties de <math>E</math> que l'on définit comme les '''[[Ouvert (topologie)|ouverts]]''' de <math>(E, \Tau)</math>, vérifiant les propriétés suivantes : * L'[[ensemble vide]] et <math>E\;</math> appartiennent à <math>\Tau</math>. * Toute [[union (mathématiques)|réunion]] d'ouverts est un ouvert, c'est à dire si <math>(O_i)_{i\in I}</math> est une famille (finie ou infinie, dénombrable ou non dénombrable) d'éléments de <math>\Tau</math>, alors ::<math>\bigcup_{i \in I}O_i \in \Tau</math>. * Toute [[intersection (mathématiques)|intersection]] finie d'ouverts est un ouvert, c'est à dire si <math>O_1,\ldots,O_n</math> sont des éléments de <math>\Tau</math>, alors ::<math> O_1\cap \ldots \cap O_n \in \Tau</math>. L'ensemble <math>\Tau</math>, qui est un ensemble de parties de <math>E</math>, est alors appelé '''topologie''' de <math>E</math>. Les '''fermés''' d'une topologie sont définis comme les [[Complémentaire (théorie des ensembles)|complémentaire]]s des ouverts. Par conséquent, la famille des fermés contient <math>E</math> et l'ensemble vide. Il résulte de la théorie élémentaire des ensembles que toute intersection de fermés est un fermé, et que toute réunion finie de fermés est un fermé. Il est d'usage de rappeler la présence de la partie vide à l'axiome 1 ; c'est toutefois en bonne rigueur superflu, puisqu'on peut l'obtenir en appliquant l'axiome 2 à la réunion indexée par l'ensemble vide. Un des premiers rôles de la topologie est de décrire les '''[[voisinage (mathématiques)|voisinage]]s''' des points. C'est une notion-clé pour comprendre la topologie. Elle sert par exemple à la définition de [[continuité]] ou de [[limite]] en un point. Cette notion est formalisée dans l'article [[voisinage (mathématiques)|voisinage]]. Rappelons ici simplement qu'une partie de <math>E</math> est un voisinage d'un point si et seulement si elle contient un ouvert contenant ce point. === Exemples === * Un exemple simple est <math>(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}))</math>. Tous les singletons sont des ouverts, tous les points sont donc ''isolés'' les uns des autres. La topologie ainsi définie est appelée ''topologie discrète''. Plus généralement, la topologie discrète sur un ensemble <math>X\,</math> est celle pour laquelle <math>\Tau =\mathcal{P}(X)</math>. <br />En contrepartie de la simplicité, elle n'offre pas beaucoup d'intérêt. * La topologie grossière sur <math>X\,</math> est celle pour laquelle les seuls ouverts sont la partie vide et <math>X\,</math> lui-même. * Un exemple sur les entiers est <math>(\N, \mathcal F)\;</math> où <math>\mathcal F\;</math> désigne le [[filtre de Fréchet]], c'est-à-dire tous les complémentaires d'ensembles finis et l'ensemble vide. Cette topologie donne un sens au voisinage de l'infini et permet par exemple de définir la notion de limite d'une [[Suite (mathématiques)|suite]]. * L'article sur les [[voisinage (mathématiques)|voisinage]]s démontre qu'il existe une topologie associée à tout [[espace métrique]]. Un ouvert <math>O\;</math> est alors un ensemble qui contient pour chaque point <math>a\;</math> de <math>O\;</math> une [[Boule (mathématiques)|boule]] ouverte de centre <math>a\;</math>. * L'ensemble des [[nombre réel|nombres réels]] est donc muni naturellement d'une topologie issue de sa [[Distance (mathématiques)|distance]]. Un ouvert est alors une union d'[[intervalle|intervalles ouverts]]. * La [[topologie produit]] est une topologie définie sur un [[produit cartésien]] d'espaces topologiques. Un exemple est donnée par les [[Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie|espace vectoriel de dimension finie]] réel ou complexe. * La topologie induite d'un sous-ensemble <math>F\;</math> d'un ensemble <math>E\;</math> est la topologie obtenue par intersection des ouverts de <math>E\;</math> avec <math>F\;</math>. Cette définition permet par exemple de définir la topologie induite par celle de <math>\R</math> sur un intervalle, et ainsi de pouvoir définir les propriétés de continuité et de limite à des fonctions définies sur un intervalle de <math>\R</math>. * D'autres exemples de topologies plus sophistiquées sont donnés dans l'article [[Voisinage (mathématiques)#Exemples|voisinage]]. * Le [[cube de Hilbert]] <math>[0,1]^\N</math> est une généralisation du cube en dimension infinie. * L'[[ensemble de Cantor]] est source de nombreux exemples et contre-exemples. ==== Topologie engendrée par une fonction ==== * Soient <math>X</math> un espace quelconque, <math>Y</math> un espace topologique et <math>f</math> une fonction de <math>X</math> dans <math>Y</math>. Alors on peut définir sur <math>X</math> une topologie particulière liée à ce système. C'est la plus petite topologie (ou la plus grossière) sur <math>X</math> rendant <math>f</math> continue. * De même si <math>f</math> était de <math>Y</math> dans <math>X</math>, on définirait sur <math>X</math> la topologie la plus grande (ou la plus fine) telle que <math>f</math> soit continue. On peut généraliser ces deux définitions en remplaçant <math>Y</math> par une famille, indéxée par <math>I</math>, <math>\left( Y _ i \right) _{ i \in I}</math> et <math>f</math> par <math>\left( f _ i \right) _{ i \in I}</math>. ===== Exemples ===== * La [[Topologie induite]] peut-être définie ainsi. Soit <math>X</math> incluse dans <math>Y</math>. On prend pour <math>f</math> l'identité de <math>X</math> dans <math>Y</math>. * La [[Topologie produit]]. <math>X = Y _ 1 \times Y _ 2</math> et <math>f _ 1 = \left( a , b \right) \mapsto a</math> et <math>f _ 2 = \left( a , b \right) \mapsto b</math> les deux projections associées. La topologie produit sur <math>X</math> est alors définie comme la topologie engendrée par ces deux projections. * La [[Topologie faible]]. Soit <math>E</math> un [[espace vectoriel topologique]] et <math>E '</math> son [[dual topologique]] (l'ensemble des [[Forme linéaire|formes linéaires]] continues). Alors on définit sur <math>E</math> la topologie faible ainsi : on le munit de la topologie engendrée par les formes linéaires. == Applications continues == === Définitions === Un des premiers intérêts de la notion d'espace topologique est de pouvoir définir une application [[continuité|continue]]. Il existe deux approches, ''l'approche locale'' donnée dans l'article [[voisinage (mathématiques)|voisinage]] et qui définit la continuité en un point, et ''l'approche globale'' qui définit la continuité en tout point. *'''Définition globale'''. Une application <math>f\;</math> de <math>A\;\rightarrow\;B \;</math> entre deux espaces topologiques est dite '''continue''' si l'image réciproque <math>f^{-1}(U)\;</math> de tout ouvert <math>U\;</math> de <math>B\;</math> est un ouvert de <math>A\;</math> (l'image réciproque <math>f^{-1}(U)\;</math> est l'ensemble de tous les points de <math>A\;</math> que <math>f\;</math> envoie dans <math>U\;</math>). *'''Définition locale'''. Soit <math>f\;</math> une fonction d'un espace topologique <math>E\;</math> dans <math>F\;</math> et soit <math>a\;</math> un point élément du domaine de définition de <math>f\;</math>. La fonction <math>f\;</math> est continue au point <math>a\;</math> si et seulement si l'image réciproque d'un ouvert contenant <math>f(a)\;</math> contient un ouvert contenant <math>a\;</math>. Cet énoncé est équivalent à celui donné dans l'article [[voisinage (mathématiques)|voisinage]]. *'''Équivalence de la continuité locale en tout point et de la continuité globale'''. Si une application est globalement continue l'image réciproque d'un ouvert contenant <math>f(a)\;</math> contient elle-même qui est un ouvert contenant <math>a\;</math>. L'application est donc continue en tout point. Réciproquement, si l'application est continue en tout point alors son image réciproque contient pour chaque point un ouvert le contenant et inclus dans l'image réciproque. L'union de tous ses ouverts est par définition un ouvert et est égal à l'image réciproque. L'image réciproque est donc ouverte. Une application bijective continue et dont la réciproque est continue est appelée un [[homéomorphisme]]. {{Article détaillé|Continuité}} === Exemples === * L'application identité d'un espace topologique dans lui-même est continue. En effet l'image réciproque de tout ouvert est lui-même donc est ouvert. * Une application constante d'un espace topologique dans un autre est continue. En effet l'image réciproque est soit l'ensemble vide soit l'ensemble de départ tout entier. * l'application <math>\left\{\begin{matrix}\R & \rightarrow & \R\\x & \mapsto & x^2 \end{matrix}\right.</math> est continue. La preuve en est donnée dans l'article [[continuité]]. * Soit un espace <math>X</math> munie d'une topologie, <math>\mathcal T</math>, quelconque, on le notera <math>X _ \mathcal T</math>. On appelle <math>X _ \mathcal D</math> <math>X</math> muni de la topologie discrète, <math>\mathcal D</math>, et <math>X _ \mathcal G</math> de la topologie grossière, <math>\mathcal G</math>. Alors il existe les [[bijection]]s continues (dont l'inverse n'est pas continue, sauf exceptions) <math>X _ \mathcal D \to X _ \mathcal T \to X _ \mathcal G</math>. La première étant d'inverse continu quand <math>X _ \mathcal D = X _ \mathcal T</math> (<math>\mathcal D = \mathcal T</math>) et la seconde quand <math>X _ \mathcal T = X _ \mathcal G</math> (<math>\mathcal T = \mathcal G</math>). * Soit l'espace de Sierpinski <math>\Omega</math> (le couple <math>\{0,1\}</math> muni de la topologie <math>\{\empty, \{1\}, \{0,1\}\}</math>). Soit <math>X</math> un espace topologique, alors pour chaque fonction continue de <math>X</math> dans <math>\Omega</math> on a un ouverte de <math>X</math> donné par l'image réciproque de <math>\{ 1 \}</math> et pour chaque ouvert de <math>X</math> une fonction continue de <math>X</math> dans <math>\Omega</math> qui vaut <math>0</math> sur le complémentaire de l'ouvert et <math>1</math> sur l'ouvert. On obtient ainsi une bijection entre les fonctions continues de <math>X</math> dans <math>\Omega</math> et les ouverts de <math>X</math>. * Même exemple que juste au-dessus, mais on munit le couple <math>\left\{ 0 , 1 \right\}</math> et <math>X</math> de leurs topologies discrètes. Ainsi on a une bijection entre les parties de <math>X</math> et les fonctions continues de <math>X</math> dans <math>\left\{ 0 , 1 \right\}</math>. == Limite == === Adhérence === Cette notion est développée dans un article spécifique [[adhérence (mathématiques)|Adhérence]]. Nous ne développerons cette notion que dans la mesure où elle est nécessaire pour formaliser la notion de [[limite]]. En topologie l''''adhérence''' d'une partie <math>X</math> d'un espace topologique est le plus petit ensemble fermé qui contient cette partie. On la note souvent <math>\overline X</math>. Une autre façon de définir les espaces topologiques consiste à faire appel à la notion prétopologique d'''adhérence'' : on définit une ''adhérence'' sur un ensemble ''E'' comme une application qui à toute partie ''A'' de ''E'' associe une partie contenant ''A'', l'adhérence de la partie vide restant vide. Dans le cas où l'adhérence est [[wikt:idempotent|idempotente]] et où l'adhérence de l'union de deux parties est égale à l'union des adhérences, on dit que l'adhérence est ''topologique''. Un espace topologique peut se définir comme un ensemble muni d'une adhérence topologique. Les ouverts sont alors les complémentaires des parties stables pour l'adhérence. En termes d'adhérences, une application d'un espace topologique dans un autre est continue si et seulement si l'image d'un point adhérent à une partie est nécessairement adhérente à l'image de cette partie. === Définition === La notion de limite, si elle existe, décrit le comportement qu’une fonction devrait avoir si elle était définie en ce point. L’exemple le plus simple est le cas d’une fonction définie sur un intervalle ouvert de <math>\R</math> ; la limite est le concept qui permet de déterminer le comportement de la fonction aux bornes de cet intervalle. Soit <math>(E,\; \Tau)\;</math> et <math>(F,\; \Upsilon)\;</math> deux espaces topologiques. Soit <math>(E',\; \Tau')\;</math> un sous-espace de <math>E\;</math> muni de sa topologie induite et <math>f\;</math> une fonction de <math>E'\;</math> dans <math>F\;</math>. Soit enfin un point <math>a\;</math> de <math>\overline{E'}\;</math> et <math>l\;</math> un point de <math>F\;</math>. Alors <math>l\;</math> est la ''limite'' de la fonction <math>f\;</math> au point <math>a\;</math> si et seulement si l’image réciproque d’un ouvert contenant <math>l\;</math> contient un ouvert de <math>{E'}\;</math> contenant <math>a\;</math>. Cet énoncé est équivalent à celui qui est donné dans l’article [[voisinage (mathématiques)|voisinage]]. L’énoncé étant plus simple avec le formalisme des voisinages, c’est en général celui-là qui est utilisé. ;Remarque 1 : La notion de limite est développée dans l’article [[Limite]]. ;Remarque 2 : Si le point <math>a\;</math> est élément de l’ensemble <math>{E'}\;</math>, alors la limite, si elle existe, est égale à <math>f(a)\;</math> et la fonction <math>f\;</math> est continue en <math>a\;</math>. == Propriétés == * On dit qu’un espace topologique est ''[[Espace séparé|séparé]]'' ou ''de Hausdorff'' ou ''<math>T_2</math>'' lorsque deux points distincts quelconques admettent des voisinages disjoints. * On dit qu’un espace vérifie la ''[[propriété de Borel-Lebesgue]]'' lorsqu’on peut extraire un sous-recouvrement fini de tout [[recouvrement]] ouvert. On parle aussi d’''[[propriété de Borel-Lebesgue|espace quasi-compact]]''. * Un espace quasi-compact et séparé est dit ''[[espace compact|compact]]''. ===Exemples=== * Le premier exemple historique d’espace topologique est l’ensemble des [[Nombre réel|nombres réels]]. Cet exemple est celui qui est à la base de la théorie des espaces topologiques. Il apparaît comme un cas particulier de la deuxième famille d’exemples donnés ici. * Les [[espace métrique|espaces métriques]] et, en particulier, les [[espace vectoriel normé|espaces vectoriels normés]] sont des espaces topologiques. * Il existe de nombreuses classes d'espaces topologiques ([[espace vectoriel topologique|espaces vectoriels topologiques]], [[espace de Banach]], de [[espace de Fréchet|Fréchet]], de [[espace de Hilbert|Hilbert]], de [[Espace séparé|Hausdorff]], de [[espace de Kolmogorov|Kolmogorov]], de [[espace de Montel|Montel]], de [[espace de Baire|Baire]], [[espace compact|compacts]], [[propriété de Borel-Lebesgue|quasi-compacts]], [[espace précompact|précompacts]], [[espace paracompact|paracompacts]], [[espace bien enchaîné|bien enchaînés]], [[espace complet|complets]], [[connexité (mathématiques)|connexes]], [[connexité simple|simplement connexes]], [[Connexité par arcs|connexes par arcs]], [[espace localement compact|localement compacts]], [[espace localement connexe|localement connexes]], [[groupe topologique]], [[anneau topologique]] etc.). == Voir aussi == * [[Continuité]] {{portail mathématiques}} [[Catégorie:Topologie]] [[Catégorie:Topologie générale]] [[bg:Топологично пространство]] [[ca:Espai topològic]] [[cs:Topologický prostor]] [[cy:Gofod topolegol]] [[da:Topologisk rum]] [[de:Topologischer Raum]] [[en:Topological space]] [[es:Espacio topológico]] [[et:Topoloogiline ruum]] [[fa:فضای توپولوژیک]] [[fi:Topologinen avaruus]] [[he:מרחב טופולוגי]] [[hu:Topologikus tér]] [[it:Spazio topologico]] [[ja:位相空間]] [[ka:ტოპოლოგიური სივრცე]] [[ko:위상공간 (수학)]] [[nl:Topologische ruimte]] [[pl:Przestrzeń topologiczna]] [[pms:Spassi topològich]] [[pt:Espaço topológico]] [[ru:Топологическое пространство]] [[tr:Topolojik uzaylar]] [[uk:Топологічний простір]] [[vi:Không gian tôpô]] [[zh:拓扑空间]]