Espace vectoriel
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2008-06-28T05:52:39Z
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En [[algèbre linéaire]], un '''espace vectoriel''' est une [[structure (mathématiques)|structure]] [[structure algébrique|algébrique]] permettant en pratique d'effectuer des [[Combinaison linéaire|combinaisons linéaires]].
Étant donné un [[corps (mathématiques)|corps]] ([[Commutativité|commutatif]]) '''K''', un espace vectoriel ''E'' sur '''K''' est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) munie d'une action compatible de '''K''' (voir la définition exacte). Les éléments de ''E'' sont appelés des [[vecteur]]s, et les éléments de '''K''' des [[scalaire (mathématiques)|scalaires]].
Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article ''[[Vecteur]]''.
== Objets et morphismes ==
=== Espace vectoriel ===
==== Définition formelle ====
On appelle '''K-espace vectoriel''' (ou espace vectoriel sur le corps ''K'') tout ensemble E muni d'une loi interne « + » et d'une loi externe « • » répondant aux critères suivants :
:* (''E'',+) est un [[groupe abélien]] (commutatif) ;
:** L'élément neutre du groupe (''K'',•) est [[Loi de composition externe|neutre à gauche]] pour la loi « • » :<br /><math> \forall\, u \in E , \quad 1 \cdot u = u \,</math>
:** la loi « • » est [[Loi de composition externe#Propriétés relatives à une loi interne|distributive à gauche]] par rapport à l'addition + de ''E'' :<br /><math> \forall\, \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall\, u \in E , \ \forall\, v \in E , \quad \lambda \cdot ( u + v ) = ( \lambda \cdot u ) + ( \lambda \cdot v ) \,</math>
:** La loi « • » est [[Loi de composition externe#Propriétés relatives à une loi interne|exodistributive à droite]] par rapport à l'addition du corps '''K''' :<br /><math> \forall\, \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall\, \mu \in \mathbb{K} , \ \forall\, u \in E , \quad ( \lambda + \mu ) \cdot u = ( \lambda \cdot u ) + ( \mu \cdot u ) \,</math>
:** La loi « • » est [[Loi de composition externe#Propriétés relatives à une loi interne|exo-associative]] par rapport à la multiplication du corps '''K''' (elle l'« importe » dans l'espace vectoriel) :<br /><math> \forall\, \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall\, \mu \in \mathbb{K} , \ \forall\, u \in E , \quad ( \lambda . \mu ) \cdot u = \lambda \cdot ( \mu \cdot u ) \,</math>.
Si <math>\mathbb{K} = \mathbb{Q},\;\mathbb{R}</math> ou <math>\mathbb{C}</math>, on parle respectivement d'espace vectoriel [[nombre rationnel|rationnel]], [[nombre réel|réel]] ou [[nombre complexe|complexe]]. Cette terminologie s'utilise notamment en analyse.
Dans certains ouvrages, les vecteurs peuvent être notés surmontés d'une flèche ou écrits avec des lettres en gras.
==== Premières propriétés ====
Des axiomes ci-dessus découlent les propriétés suivantes :
* Un espace vectoriel étant un groupe, il est nécessairement non-vide.
* L'élément zéro « 0 » du corps '''K''' est [[Loi de composition externe#Propriétés simples|exoabsorbant à gauche]] pour la loi • :<br /><math> \forall\, u \in E , \quad 0 \cdot u = 0_{E} \,</math>
* L'élément neutre de l'addition vectorielle est [[Loi de composition externe#Propriétés simples|absorbant à droite]] pour la loi • :<br /><math> \forall\, \lambda \in \mathbb{K} , \quad \lambda \cdot 0_{E} = 0_{E} \,</math>.
Les deux opérations sur un espace vectoriel permettent de définir la '''[[combinaison linéaire]]''', c'est-à-dire la somme finie de vecteurs affectés de coefficients (scalaires). La combinaison linéaire d'une famille de vecteurs <math>(x_i)_{\,i\,\in\, I}</math> ayant pour coefficients <math>(\lambda_i)_{\,i\,\in\, I}</math>
est le vecteur de ''E'' donné par : <math>\sum_{\,i\,\in\, I}\lambda_i\, x_i</math>.<br />
Lorsque l'ensemble d'indexation <math>\ I</math> est [[infini]], il est nécessaire de supposer que le support de la famille <math>(\lambda_i)_{\,i\,\in\, I}</math> (c'est-à-dire l'ensemble des indices ''i'' pour lesquels <math>\lambda_i</math> est non nul) soit fini.
==== Exemples ====
{{Article détaillé|Exemples d'espaces vectoriels}}
La classe des espaces vectoriels n'est pas un [[ensemble]]. La classe des espaces vectoriels sur un corps fixé, même identifiés à isomorphisme linéaire près, n'est pas non plus un ensemble. De fait, la liste d'exemples suivante ne saurait être exhaustive.
* L'[[espace nul]] est l'espace vectoriel sur un corps '''K''' comportant un unique élément, qui est nécessairement le vecteur nul. L'espace nul est l'objet initial et l'objet final de la catégorie des espaces vectoriels sur '''K'''.
* Le corps '''K''' se présente comme un espace vectoriel sur lui-même : l'addition et la multiplication fournissent respectivement la loi interne et la loi externe.<br /> Plus généralement, toute [[extension de corps]] de '''K''', c'est-à-dire tout plongement de '''K''' dans un corps '''L''', munit '''L''' d'une structure d'espace vectoriel sur '''K'''.
* L'ensemble des [[translation (géométrie)|translations]] d'un [[espace affine]] (par exemple le plan ou l'espace usuel) est un espace vectoriel.
* L'ensemble '''K'''<sup>''n''</sup> des <math>n</math>-[[n-uplet|uplets]] d'éléments de '''K''' forme un espace vectoriel dans lequel l'addition se fait terme à terme et la multiplication par un scalaire est distribuée sur chaque terme.<br /> Cette construction s'étend à l'espace vectoriel '''K'''<sup>∞</sup> des [[suite (mathématiques)|suites]] à [[support de fonction|support]] fini.
* Pour tout ensemble ''I'', le produit quelconque '''K'''<sup>''I''</sup> est un '''K'''-espace vectoriel muni des lois d'addition terme à terme et de multiplication extérieure sur chaque terme :
** <math>+\; :\; (x_i)+(y_i)=(x_i+y_i)</math>
** <math>\cdot\;:\;\lambda\cdot(x_i)=(\lambda x_i)</math>
*:(Le vecteur nul est alors la famille de scalaires dont tous les termes sont nuls.)
:Lorsque ''I'' est le produit cartésien <math>[[1 ; n]]\times[[1 ; p]]</math>, ce produit est l'espace vectoriel <math>\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})</math> des [[matrice (mathématiques)|matrices]] à ''n'' lignes et ''p'' colonnes à coefficients dans '''K'''.
* Plus généralement, le produit quelconque d'une famille (''E''<sub>''i''</sub> ) d'espaces vectoriels sur '''K''' est un espace vectoriel sur '''K''' qui se note <math>\prod E_i</math>. (Il s'agit du produit des espaces vectoriels au sens des catégories.)
: L'ensemble des familles à support fini <math>(v_i)\in\prod E_i</math> forme aussi un espace vectoriel, appelé la '''somme directe''' des espaces ''E''<sub>''i''</sub> et qui se note <math>\bigoplus E_i</math>.
* L'ensemble <math>\mathcal C^0(X)</math> des [[fonction (mathématiques)|fonctions]] [[continuité|continues]] réelles ou complexes définies sur espace topologique ''X'' est un espace vectoriel.
* L'ensemble des (germes de) solutions d'une [[équation différentielle linéaire]] homogène est un espace vectoriel (réel ou complexe).
* L'ensemble des [[suite (mathématiques)|suites]] numériques satisfaisant une [[relation de récurrence]] linéaire est un espace vectoriel.
=== Sous-espace vectoriel ===
{{Article détaillé|sous-espace vectoriel}}
Un '''sous-espace vectoriel''' d'un espace vectoriel ''E'' est un sous-groupe additif ''F'' de ''E'' stable par l'action de '''K''', c'est-à-dire tel que :
*l'élément zéro ''0'' appartient à ''F''
* la somme de deux éléments de ''F'' est un élément de ''F''
* le produit d'un scalaire par un vecteur de ''F'' appartient à ''F''.
De manière équivalente, un sous-espace vectoriel est une partie non vide et stable par [[combinaison linéaire]].
Par exemple, l'ensemble des [[Fonction polynôme| fonctions polynômes]] réelles est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel <math>\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> des fonctions continues sur <math>\mathbb{R}</math>.
L''''intersection''' de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel mais l'union n'en est pas un en général. C'est pourquoi on définit la '''somme''' de deux sous-espaces vectoriels ''F'' et ''G'' comme l'ensemble
:<math>\ F+G=\left\{x+y \ / \ (x,y) \in F\times G \right\}</math>.
Cette somme est un sous-espace vectoriel. C'est même le plus petit sous-espace vectoriel (au sens de l'inclusion) contenant les deux sous-espaces vectoriels initiaux.
Deux sous-espaces vectoriels ''F'' et ''G'' de ''E'' sont dits '''en [[somme directe]]''' lorsque leur intersection est l'espace nul et que leur somme est l'espace ''E''. On note alors <math>E = F \oplus G</math>.<br />
Dans ce cas, les sous-espaces vectoriels ''F'' et ''G'' sont dits '''[[sous-espace supplémentaire|supplémentaires]]''' l'un de l'autre dans ''E''.
L'axiome du choix permet d'assurer l'existence d'un supplémentaire à tout sous-espace vectoriel, mais il n'y a jamais unicité (sauf dans le cas du sous-espace nul ou de l'espace total).
Par exemple, dans <math>\mathbb{R}^3</math>, les supplémentaires d'un plan vectoriel quelconque sont toutes les droites vectorielles non contenues dans ce plan. Il existe donc ici une infinité de supplémentaires différents.
Si ''E'' est la somme directe de ''F'' et ''G'', tout vecteur de ''E'' se décompose alors de manière unique en une somme de deux vecteurs, l'un appartenant à ''F'' et l'autre à ''G''.
Plus généralement, une famille de sous-espaces vectoriels <math>(F_i)</math> est dite en somme directe dans ''E'' si tout vecteur de ''E'' s'écrit de manière unique comme une somme <math>\sum x_i</math> avec pour tout ''i'', <math>x_i \in F_i</math>.
Cette définition implique que les sous-espaces vectoriels <math>F_i</math> soient d'intersection nulle deux à deux et que leur somme soit égale à ''E'' mais la réciproque est fausse. Il suffit de prendre comme contre-exemple dans le plan <math>\ \mathbb{R}^2</math> les trois droites dirigées par <math>\ (0,1)</math>, <math>\ (1,0)</math> et <math>\ (1,1)</math>.
=== Application linéaire ===
{{Article détaillé|Application linéaire}}
Soient <math>\ E</math> et <math>\ F</math> deux espaces vectoriels. Une application <math>\ f</math> de <math>\ E</math> dans <math>\ F</math> est dite '''linéaire''' si elle préserve les combinaisons linéaires, c'est-à-dire :
:<math>\forall (x,y) \in E^2 ,\forall \lambda \in \mathbb{K},\ f(\lambda x+y)=\lambda f(x)+f(y)</math>.
L'ensemble des applications linéaires de ''E'' dans ''F'' est noté ''L(E,F)''. Lorsque <math>\ F=E</math>, ces applications sont appelées '''endomorphismes''' de ''E'' et on note leur ensemble ''L(E)''.<br />
Un '''isomorphisme''' d'espaces vectoriels est une application linéaire [[bijection|bijective]]. Un '''automorphisme''' est un endomorphisme bijectif. L'ensemble des automorphismes de ''E'' est le '''groupe linéaire''' noté <math>\ GL(E)</math>.
On peut citer les exemples suivants d'applications linéaires.
* L'application nulle est le neutre pour l'addition vectorielle dans ''L(E,F)''.
* L'application identité et plus généralement toutes les [[homothétie]]s vectorielles (non nulles) sont des automorphismes.
* Les [[symétrie (transformation géométrique)|symétries]], [[rotation vectorielle|rotations]] et [[similitude (géométrie)|similitudes]] vectorielles (non nulles) sont des automorphismes du plan ou de l'espace usuel.
* Les [[projecteur (mathématiques)|projecteurs]] sont des endomorphismes.
* La [[polynôme#Polynôme dérivé|dérivation]] est un endomorphisme de l'espace vectoriel des polynômes.
Une '''[[forme linéaire]]''' sur un '''K'''-espace vectoriel ''E'' est une application linéaire de ''E'' dans '''K'''.<br />
L'ensemble des formes linéaires sur ''E'' est appelé l''''[[espace dual]]''' de ''E'' et il est noté ''E''<sup>*</sup>.
Soit <math>\ f \in L(E,F)</math>.
* On appelle '''[[noyau (algèbre)|noyau]]''' de <math>\ f</math> et on note <math>\ {\rm Ker}(f)</math> l'ensemble <math>\ \left\{ x \in E\ / f(x)=0_F \right\}</math>.
* On appelle '''image''' de <math>\ f</math> et on note <math>\ {\rm Im}(f)</math> l'ensemble <math>\ \left\{ f(x), x \in E\right\}</math>.
On a les propriétés suivantes :
* L'image et le noyau sont des sous-espaces vectoriels respectivement de l'espace but et de l'espace source.
* Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est l'espace nul.
* L'ensemble ''L(E,F)'' est un espace vectoriel.
* L'espace vectoriel <math>L(\mathbb{K}^p,\mathbb{K}^n)</math> s'identifie à l'espace des [[matrice (mathématiques)|matrices]] <math>\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})</math>.
=== Espace vectoriel quotient ===
Soit ''F'' un sous-espace vectoriel de ''E''.
L''''espace quotient''' ''E/F'' est un espace vectoriel tel que la projection <math>E \rightarrow E/F</math> soit linéaire de noyau ''F''.<br />
Un sous-espace vectoriel ''G'' de ''E'' est un supplémentaire de ''F'' si et seulement si la restriction de la projection induit un isomorphisme
de ''G'' sur ''E/F''.
== Famille de vecteurs et dimension ==
=== Familles libres, familles génératrices, bases ===
Une [[Famille (mathématiques)|famille]] <math>\mathcal{L}</math> d'éléments de ''E'' est dite '''libre''' (sur <math>\mathbb{K}</math>) lorsque toute combinaison linéaire d'éléments de <math>\mathcal{L}</math> à coefficients non tous nuls est non nulle, autrement dit lorsque la seule combinaison linéaire nulle d'éléments de <math>\mathcal{L}</math> est celle dont tous les coefficients sont nuls. Dans ce cas les vecteurs de cette famille sont dits '''[[indépendance linéaire|linéairement indépendants]]''' (les uns des autres).<br />
Au contraire, une famille d'éléments de ''E'' est dite '''liée''' lorsqu'elle n'est pas libre, c'est-à-dire s'il existe une combinaison linéaire nulle des éléments de cette famille à coefficients non tous nuls (c'est ce qu'on appelle une '''relation de dépendance linéaire''').
Par exemple, une famille d'un seul vecteur non nul est toujours libre. ''A contrario'', une famille quelconque comportant le vecteur nul est toujours liée.
On montre qu'une famille <math>\ (u_1,\, u_2)</math> de ''deux'' vecteurs de ''E'' est liée si et seulement s'il existe un scalaire <math>\ \alpha</math> tel que <math>\ u_2 = \alpha\, u_1</math> ou un scalaire <math>\ \beta</math> tel que <math>\ u_1 = \beta\, u_2</math>. On dit dans ce cas que les deux vecteurs sont '''[[colinéarité|colinéaires]]'''. En revanche, rien n'assure qu'une famille liée comportant au moins trois vecteurs contienne forcément deux vecteurs colinéaires.
Une famille d'éléments de ''E'' est dite '''génératrice''' (de ''E'') lorsque tout élément de ''E'' peut s'exprimer d'au moins une manière sous la forme d'une combinaison linéaire des éléments de cette famille.
On appelle '''[[base (algèbre linéaire)|base]]''' de l'espace vectoriel ''E'' toute famille d'éléments de ''E'' libre et génératrice.
L'intérêt des bases réside dans les propriétés suivantes :
* Une famille <math>\mathcal{B}</math> d'éléments de ''E'' est une base si et seulement si tout élément ''u'' de ''E'' s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de <math>\mathcal{B}</math>.
* Le choix d'une base pour un '''K'''-espace vectoriel permet d'identifier celui-ci avec une puissance de '''K''' et, si cette base est finie, d'utiliser les matrices pour représenter des applications linéaires.
Pour un espace vectoriel donné, l'existence d'au moins une base est assurée en toute généralité par l'[[axiome du choix]].
Cependant, on peut se dispenser de cette hypothèse lorsqu'il existe une famille génératrice finie (ou indicée par un [[bon ordre]]).
=== Définition de la dimension ===
Si un '''K'''-espace vectoriel ''E'' admet une base ayant un nombre fini ''d'' d'éléments, alors toute base de ''E'' a ce même [[Nombre cardinal|cardinal]] ''d''.
L'entier ''d'' est appelé la '''[[dimension d'un espace vectoriel|dimension]]''' de ''E'', notée <math>{\rm dim}_{\mathbb{K}}E</math> ou, s'il n'y a pas d'ambiguïté, <math>{\rm dim}\ E</math>. On dit alors que ''E'' est un '''espace vectoriel de dimension finie''' (sur '''K'''), égale à ''d''.
En particulier l'espace nul, ayant une base vide, est de dimension finie égale à 0.
On appelle '''[[droite (mathématiques)#Approche algébrique|droite vectorielle]]''' tout espace vectoriel de dimension finie égale à 1 et '''plan vectoriel''' tout espace vectoriel de dimension finie égale à 2. Un '''hyperplan''' est un sous-espace vectoriel de dimension ''n-1'' dans un espace vectoriel de dimension ''n''.
Si une application linéaire ''f'' a une image de dimension finie, cette dimension est appelée '''[[rang (mathématiques)|rang]]''' de ''f'' et se note <math>\ {\rm rg}(f)</math>.
Un espace vectoriel ''E'' est de dimension finie si et seulement s'il admet une famille génératrice ayant un nombre fini d'éléments.
Les espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie sont dits '''de dimension infinie''' C'est le cas notamment des espaces vectoriels de polynômes, les espaces de [[suite (mathématiques)|suites]] et plus généralement les espaces de fonction.
Pour qu'un espace vectoriel ''E'' soit de dimension infinie, il faut et il suffit qu'il existe une famille libre infinie d'éléments de ''E''.
=== Propriétés des espaces vectoriels de dimension finie ===
Soit ''E'' un espace vectoriel de dimension finie (non nulle) égale à ''n''.
* Toute famille génératrice de ''E'' a au moins ''n'' éléments. Si une famille génératrice de ''E'' a ''n'' éléments, c'est une base de ''E'' (on dit que les bases sont les « familles génératrices minimales »).
* Toute famille libre de ''E'' a au plus ''n'' éléments. Si une famille libre de ''E'' a ''n'' éléments, c'est une base de ''E'' (on dit que les bases sont les « familles libres maximales »).
* Le '''[[théorème de la base incomplète]]''' stipule que si <math>\ (u_1, \dots, u_p)</math> est une famille libre de vecteurs de ''E'' telle que <math>\ p < n</math> (autrement dit, une famille libre qui n'est pas une base puisqu'elle n'est pas maximale), alors il existe ''n – p'' vecteurs de ''E'', qu'on peut noter <math>\ (u_{p + 1}, \dots, u_n)</math>, tels que la famille <math>\ (u_1, \dots, u_n)</math> soit une base de ''E''.
* Tout sous-espace vectoriel ''F'' de ''E'' est de dimension finie, et dim ''F'' ≤ dim ''E''.
* Si ''F'' est un sous-espace vectoriel de ''E'' tel que dim ''F'' = dim ''E'', alors ''F'' = ''E''.
* Si ''F''<sub>1</sub> et ''F''<sub>2</sub> sont deux sous-espaces vectoriels de ''E'', alors
<center><math>\dim (F_1 + F_2) + \dim(F_1 \cap F_2) = \dim F_1 + \dim F_2</math>.</center>
:Cette relation est connue sous le nom de formule de Grassmann.
* Tous les supplémentaires d'un sous-espace vectoriel ''F'' de ''E'' ont la même dimension, qui est appelée '''[[codimension]]''' de ''F'' dans ''E''.
* L'espace dual de ''E'' est également de dimension finie et <math>\ {\rm dim}(E^{*})= {\rm dim}(E)</math>.
* Tout hyperplan de ''E'' est le noyau d'une forme linéaire non nulle sur ''E''.
* Soit <math>\ \mathcal{B}=\left(e_1,...,e_n \right)</math> une base de ''E''.
:Il existe une unique base <math>\ \mathcal{B}^{*}=\left(e^*_1,...,e^*_n\right)</math> de <math>\ E^* </math> telle que <math>\forall (i,j) \in {\left\{1,...,n \right\}}^2,\ e^*_i(e_j)=\delta_{ij}</math>,
:où <math>\ {\delta}_{ij}</math> est le [[symbole de Kronecker]].
:On dit alors que <math>\ \mathcal{B}^*</math> est la '''base duale''' associée à <math>\ \mathcal{B}</math>.
* L'ensemble des [[application multilinéaire#Forme k-linéaire alternée|formes n-linéaires alternées]] sur un espace vectoriel de dimension n est un espace vectoriel de dimension 1. Ce résultat est à la base de la théorie du [[déterminant (mathématiques)|déterminant]].
* Si ''f'' est une application linéaire ''f'' de ''E'' dans un espace vectoriel ''F'' (non nécessairement de dimension finie), alors ''f'' induit un [[isomorphisme]] de tout supplémentaire de <math>\ {\rm Ker}(f)</math> dans <math>\ {\rm Im}(f)</math>.
:Cette propriété permet de démontrer le '''[[théorème du rang]]''' :
:<math>\ {\rm dim}(E)={\rm dim}({\rm Im}(f))+{\rm dim}({\rm Ker}(f))</math>, autrement dit <math>\ {\rm rg}(f)={\rm dim}(E)-{\rm dim}({\rm Ker}(f))</math>.
* Le rang est la dimension de l'espace des colonnes, qui est égale à celle de l'espace des lignes
:<math>\rm rang(A)=\dim(\mathcal{C}(A))=\dim(\mathcal{L}(A))</math>
== Structures connexes ==
=== Structures relatives ===
* Une '''paire d'espaces vectoriels''' est la donnée d'un espace vectoriel et d'un sous-espace vectoriel de celui-ci.
* Plus généralement, un espace vectoriel peut être '''filtré''' par la donnée d'une famille de sous-espaces vectoriels croissante ou décroissante.
* Un '''[[drapeau (mathématiques)|drapeau]]''' sur un espace vectoriel de dimension ''n'' est la donnée de ''n'' sous-espaces vectoriels emboîtés, de dimensions croissantes de 1 en 1.
* Un espace vectoriel de dimension fini peut être '''orienté''' par le choix d'une [[orientation (mathématiques)|orientation]] sur ses [[base (algèbre linéaire)|bases]].
* Un '''espace vectoriel gradué''' est une famille d'espaces vectoriels, généralement indicée par <math>\mathbb{N}</math>, <math>\mathbb{Z}</math> ou <math>\mathbb{Z}/2</math>. Un morphisme entre deux tels espaces vectoriels gradués est alors une famille d'applications linéaires qui respecte la graduation.
=== Structures algébriques ===
* Un [[module sur un anneau|module]] ''M'' sur un [[anneau (mathématiques)|anneau]] ''A'' est un groupe additif muni d'une loi externe sur ''M'' à coefficients dans ''A'', compatible avec l'addition sur ''M'' et avec les opérations sur ''A''. Mais il ne dispose en général ni de base ni de supplémentaires.
* Une [[algèbre sur un corps|algèbre]] est un espace vectoriel muni d'une multiplication distributive par rapport à l'addition et compatible avec la loi de composition externe.
* Une [[algèbre de Lie]] est un espace vectoriel muni d'un [[crochet de Lie]] compatible avec la loi de composition externe.
=== Structures topologiques et géométriques ===
* Un [[espace affine]] est un ensemble muni d'une [[action de groupe (mathématiques)|action]] libre et transitive d'un espace vectoriel.
* Un [[espace euclidien|espace vectoriel euclidien]] est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un [[produit scalaire]].
* Un espace vectoriel réel ou complexe est dit [[espace vectoriel normé|normé]] lorsqu'il est muni d'une [[norme (mathématiques)|norme]]. Par exemple, les [[Espace de Banach|espaces de Banach]], dont les [[Espace de Hilbert|espaces de Hilbert]] qui généralisent la notion d'espace vectoriel euclidien, sont des espaces vectoriels normés.
* Si '''K''' est un corps muni d'une topologie, un [[espace vectoriel topologique]] sur '''K''' est un '''K'''-espace vectoriel muni d'une topologie compatible, c'est-à-dire que l'addition et la multiplication par un scalaire doivent être continues. C'est le cas entre autres des espaces vectoriels normés et des espaces de Fréchet.
* Un [[fibré vectoriel]] est une surjection d'un espace topologique sur un autre, telle que la préimage de chaque point soit munie d'une structure d'espace vectoriel compatible continûment avec les structures des préimages des points voisins.
== Historique ==
La notion d'espace vectoriel naît conceptuellement de la [[géométrie affine]] avec l'introduction des [[Système de coordonnées|coordonnées]] dans un repère du plan ou de l'espace usuel. Vers 1636, les mathématiciens français [[René Descartes|Descartes]] et [[Pierre de Fermat|Fermat]] donnèrent les bases de la [[géométrie analytique]] en associant la résolution d'une équation à deux inconnues à la détermination graphique d'une [[courbe]] du plan.
Afin de parvenir à une résolution géométrique sans utiliser la notion de coordonnées, le mathématicien [[Bernard Bolzano|Bolzano]] introduisit en 1804 des opérations sur les points, droites et plans, lesquelles sont les précurseurs des vecteurs<ref> B. Bolzano, ''Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargoemetrie'', 1804 </ref>. Ce travail trouve un écho dans la conception des [[Barycentre|coordonnées barycentriques]]<ref> A. Möbius, ''Der barycentrische Calcul'', 1827 </ref> par [[August Ferdinand Möbius|Möbius]] en 1827. L'étape fondatrice de la définition des vecteurs fut la définition par Bellavitis du bipoint, qui est un segment orienté (une extrémité est une origine et l'autre un but). La relation d'équipollence, qui rend équivalents deux bipoints lorsqu'ils déterminent un parallélogramme, achève ainsi de définir les vecteurs.
La notion de vecteur est reprise avec la présentation des [[Nombre complexe|nombres complexes]] par Argand et [[William Rowan Hamilton|Hamilton]], puis celle des [[quaternion]]s par ce dernier, comme des éléments des espaces respectifs <math> \mathbb{R}^2 </math> et <math> \mathbb{R}^4 </math>. Le traitement par combinaison linéaire se retrouve dans les [[système d'équations|systèmes d'équations linéaires]], définis par [[Edmond Laguerre|Laguerre]] dès 1867.
En 1857, [[Arthur Cayley|Cayley]] introduisit la [[Matrice (mathématiques)|notation matricielle]], qui permit d'harmoniser les notations et de simplifier l'écriture des [[application linéaire|applications linéaires]] entre espaces vectoriels. Il ébaucha également les opérations sur ces objets.
Vers la même époque, [[Hermann Günther Grassmann|Grassmann]] reprit le calcul barycentrique initié par Möbius en envisageant des ensembles d'objets abstraits munis d'opérations<ref> H. Grassmann, ''Die Ausdehnungslehre''</ref>. Son travail dépassait le cadre des espaces vectoriels car, en définissant aussi la multiplication, il aboutissait à la notion d'[[algèbre sur un corps|algèbre]]. On y retrouve néanmoins les concepts de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] et d'[[indépendance linéaire]], ainsi que le [[produit scalaire]] apparu en 1844. La primauté de ces découvertes est disputée à [[Cauchy]] avec la publication de ''Sur les clefs algébrique'' dans les ''Comptes Rendus''.
Le mathématicien italien [[Giuseppe Peano|Peano]], dont une contribution importante a été l'axiomatisation rigoureuse des concepts existants — notamment la construction des ensembles usuels — a été un des premiers à donner une définition contemporaine du concept d'espace vectoriel<ref> G. Peano, ''Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva'', 1888 </ref> vers la fin du XIXe siècle.
Un développement important de ce concept est dû à la construction des espaces de [[Fonction (mathématiques)|fonctions]] par [[Henri Léon Lebesgue|Lebesgue]], construction qui a été formalisée au cours du XXe siècle par [[David Hilbert|Hilbert]] et [[Stefan Banach|Banach]], lors de sa thèse de doctorat en 1920.
C'est à cette époque que l'interaction entre l'[[analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]] naissante et l'[[algèbre]] se fait sentir, notamment avec l'introduction de concepts clés tels que les [[espace Lp|espaces de fonctions ''p''-intégrables]] ou encore les [[Espace de Hilbert|espaces de Hilbert]]. C'est à cette époque qu'apparaissent les premières études sur les espaces vectoriels de dimension infinie.
{{Wikiversity|Espace vectoriel}}
== Sources et références ==
=== Sources ===
* [http://www.mathphysics.com/pde/vechist.html MathPhysics]
* ''An Introduction to Linear Algebra'', Leonid Mirsky - 1990
* ''Introduction to Linear Algebra and Differential Equations'', John Warren Dettman - 1986
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Abstract_linear_spaces.html]
=== Références ===
<references />
=== Liens internes ===
* [[Vecteur]]
* [[Structure algébrique]]
* [[Application linéaire]]
* [[Forme bilinéaire|Application bilinéaire]]
* [[Application multilinéaire]] (cas général)
=== Liens externes ===
* {{en}} [http://planetmath.org/encyclopedia/VectorSpace.html ''Espace vectoriel''] sur [[PlanetMath]]
* {{fr}} [http://roso.epfl.ch/cours/algebre/GC_SIE/2007-2008/index.php?content=cours Cours d'algèbre linéaire] de l'[[École polytechnique fédérale de Lausanne]]
{{Algèbre linéaire}}
{{Portail mathématiques}}
[[Catégorie:Espace vectoriel]]
[[Catégorie:Structure algébrique]]
[[ar:فضاء شعاعي]]
[[bg:Линейно пространство]]
[[bs:Vektorski prostor]]
[[ca:Espai vectorial]]
[[cs:Vektorový prostor]]
[[cy:Gofod fectoraidd]]
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[[de:Vektorraum]]
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[[ro:Spaţiu vectorial]]
[[ru:Линейное пространство]]
[[simple:Vector space]]
[[sk:Lineárny priestor]]
[[sl:Vektorski prostor]]
[[sr:Векторски простор]]
[[sv:Linjärt rum]]
[[ta:திசையன் வெளி]]
[[th:เวกเตอร์]]
[[tr:Vektör uzayı]]
[[uk:Лінійний простір]]
[[ur:سمتیہ فضا]]
[[vec:Spazsio vetoriàl]]
[[vi:Không gian vectơ]]
[[zh:向量空间]]
[[zh-classical:矢量空間]]
[[zh-min-nan:Hiòng-liōng khong-kan]]