Extension de corps 172440 30353609 2008-06-05T18:06:58Z MasterMatt 18721 /* Degré d'une extension */ En [[mathématiques]], plus particulièrement en [[algèbre]], l''''extension''' d'un [[Corps (mathématiques)|corps]] <math>K</math> est un corps <math>L</math> qui contient <math>K</math> comme sous-corps. Par exemple, <math>\mathbb C</math>, le corps des [[Nombre complexe|nombres complexes]], est une extension de <math>\R</math>, le corps des [[Nombre réel|nombres réels]], lequel est lui-même un extension de <math>\mathbb Q</math>, le corps des [[Nombre rationnel|nombres rationnels]]. On note parfois <math>L/K</math> pour indiquer que <math>L</math> est une extension de <math>K</math>. ==Définition== Soit <math>K</math> un corps. Une ''extension de <math>K</math>'' est un couple (<math>L</math>, <math>j</math>) où <math>L</math> est un corps et <math>j</math> un [[morphisme]] de corps de <math>K</math> dans <math>L</math>. On montre qu'il existe un sur-corps <math>N</math> de <math>K</math> et un isomorphisme de corps <math>f : N \to L</math> tels que la restriction de <math>f</math> à <math>K</math> soit égale à <math>j</math>. Ainsi l'extension (<math>L</math>, <math>j</math>) peut être identifiée à l'extension (<math>N</math>, <math>i</math>) avec l'inclusion <math>i</math>. Pour cette raison, les extensions d'un corps sont généralement considérées comme des sur-corps. Une ''sous-extension'' de L/K est un sous-corps de L contenant K. Si <math>V</math> est un sous-ensemble de <math>L</math>, alors on définit le corps <math>K(V)</math> comme le plus petit sous-corps de <math>L</math> contenant <math>K</math> et <math>V</math>. Il est constitué des éléments de <math>L</math> pouvant être obtenus grâce à un nombre fini d'opérations additives et multiplicatives, et d'inversions sur <math>K</math> et <math>V</math>. Si <math>L=K(V)</math>, on dit que <math>L</math> est '''engendré''' par <math>V</math>. ==Degré d'une extension== Soit <math>L/K</math> une extension de corps. <math>L</math> peut être considéré comme un [[espace vectoriel]] sur <math>K</math>, où l'addition vectorielle est l'addition sur <math>L</math> et la multiplication scalaire est la restriction de la multiplication à <math>K</math>. La [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] de cet espace vectoriel est appelée le '''degré''' de l'extension et est notée <math>\left[L:K\right]</math>. L'extension est dite « ''finie'' » ou « ''infinie'' » selon que le degré est fini ou non. Par exemple, <math>\left[\mathbb C:\mathbb R\right]=2</math> et l'extension <math>\mathbb C / \mathbb R</math> est donc finie. Par contre, <math>\left[\mathbb R:\mathbb Q\right]=2^{\aleph_0}</math>, le [[Nombre cardinal|cardinal]] du continu, et l'extension <math>\mathbb R / \mathbb Q</math> est donc infinie. Si <math>M</math> est une extension finie de <math>L</math> qui est elle-même une extension finie de <math>K</math>, alors M est une extension finie de K et on a <math>\left[M:K\right]=\left[M:L\right]\cdot \left[L:K\right]</math> . ==Extension algébrique, extension transcendante== {{Article détaillé|Extension algébrique}} Si <math>L</math> est une extension de <math>K</math>, alors un élément de <math>L</math> qui est une racine d'un [[polynôme]] non-nul sur <math>K</math> est dit ''algébrique'' sur <math>K</math>. Dans le cas contraire, l'élément est dit ''transcendant'' sur <math>K</math>. Dans le cas où <math>L=\mathbb C</math> et <math>K=\mathbb Q</math>, on parle de [[nombre algébrique]] et de [[nombre transcendant]]. Si tout élément de <math>L</math> est algébrique sur <math>K</math>, l'extension <math>L/K</math> est dite '''algébrique'''. Dans le cas contraire, elle est dite '''transcendante'''. Par exemple, toute extension finie est algébrique, et on peut montrer qu'une extension est algébrique [[Équivalence logique|si et seulement si]] elle est l'union de ses sous-extensions finies. Par exemple, <math>\mathbb C/\mathbb R</math>, finie, est algébrique, mais <math>\mathbb R/\mathbb Q</math> est transcendante. Si <math>L</math> est engendré par une famille d'éléments algébriquement indépendants sur <math>K</math>, l'extension est dite '''purement transcendante'''. Toute extension est extension algébrique d'une extension purement transcendante. Une extension L/K engendrée par une famille finie V est dite ''de type fini''. Toute extension finie est de type fini. L'extension <math>\mathbb C/\mathbb Q</math> n'est pas de type fini. Si L/K est de type fini, alors L est une extension finie d'un corps de fractions rationnelles K(X<sub>1</sub>,...,X<sub>n</sub>) à plusieurs variables. Les extensions de type fini interviennent en [[Géométrie algébrique]], ce sont exactement les corps de fonctions rationnelles sur les variétés algébriques intègres. ==Extension simple== {{Article détaillé|Extension simple}} Si <math>L/K</math> est une extension de corps et <math>V</math> est un sous-ensemble de <math>L</math>, alors on définit le corps <math>K(V)</math> comme le plus petit sous-corps de <math>L</math> contenant <math>K</math> et <math>V</math>. Il est constitué des éléments de <math>L</math> pouvant être obtenus grâce à un nombre fini d'opérations additives et multiplicatives, et d'inversions sur <math>K</math> et <math>V</math>. Si <math>L=K(V)</math>, on dit que <math>L</math> est '''engendré''' par <math>V</math>. Une extension de corps engendrée par un seul élément est appelée '''extension simple'''. Une telle extension est de degré fini si elle est engendrée par un élément algébrique et purement transcendante si elle est engendrée par un élément transcendant. Par exemple, <math>\mathbb C</math> est une extension simple de <math>\mathbb R</math> car elle est engendrée par <math>i</math>, l'unité imaginaire. L'extension <math>\mathbb R/\mathbb Q</math>, n'étant ni finie, ni purement transcendante, n'est pas simple. ==Extension de Galois== {{Article détaillé|Extension de Galois}} Une extension finie L/K est dite ''de Galois'' ou ''galoisienne'' si elle est normale et séparable. Le groupe des automorphismes de l'extension est fini, d'ordre le degré de l'extension [L : K]. Ce groupe est appelé ''groupe de Galois'' de l'extension. Par exemple, <math>\mathbb C/\R</math> est de Galois, son groupe de Galois est le groupe cyclique d'ordre 2. {{Théorie de Galois}} {{Portail mathématiques}} [[Catégorie:Théorie de Galois]] [[de:Körpererweiterung]] [[en:Field extension]] [[es:Extensión de cuerpo]] [[fi:Kuntalaajennus]] [[he:הרחבת שדות]] [[it:Estensione di campi]] [[ja:体の拡大]] [[ko:체의 확대]] [[pl:Rozszerzenie ciała]] [[ru:Конечное расширение]]