Extension simple 865122 29030404 2008-04-27T10:18:18Z 124.16.148.125 /* Exemples */ Ajout d'un exemple non-simple. En [[mathématiques]] et plus précisement en [[algèbre]] dans le cas de la [[théorie de Galois]], une [[extension de corps]] ''L'' d'un corps ''K'' est dite '''simple''' si et seulement s'il existe un élément ''l'' de ''L'' tel que ''L'' est égal à ''K''[''l'']. Une extension simple est [[extension finie|finie]] si et seulement si ''l'' est [[Extension algébrique|algébrique]]. C'est même la définition du caractère algébrique d'un élément. Le [[théorème de l'élément primitif]] montre qu'une extension finie est simple si et seulement si l'extension est [[extension séparable|séparable]]. ==Motivation== Deux raisons rendent le concept d'extension simple intéressant: Les extensions simples sont un cas particulier d'extensions de corps qui peut faire l'objet d'une classification complète. Soit le générateur de l'extension est transcendant (c’est-à-dire que l'extension n'est pas finie) et l'extension est isomorphe au corps des [[fraction rationnelle|fractions rationnelles]], soit le générateur est algébrique (c’est-à-dire que l'extension est finie) alors l'extension est isomorphe à un quotient de l'anneau des polynômes à coefficients dans le corps de base par un [[idéal]] engendré par un [[polynôme]] irreductible. Le [[théorème de l'élément primitif]] donne des conditions suffisantes pour qu'une extension soit simple. Dans le cas où l'extension est finie et [[extension séparable|séparable]], c’est-à-dire engendrée par des éléments ayant des [[polynôme minimal d'un nombre algébrique|polynômes minimaux]] sans racines multiples, alors l'extension est toujours simple. Or le cas d'une extension séparable est commun ; par exemple si le corps de base est de [[caractéristique d'un anneau|caractéristique]] nulle ou s'il est fini alors l'extension est toujours séparable. ==Définition== Soit ''L'' une extension de corps de ''K''. :* L'extension ''L'' est dite '''simple''' si et seulement s'il existe ''l'' de ''L'' tel que ''K(l)'', la sous-''K''-extension de ''L'' engendrée par ''l'', soit égale à ''L''. :* Soit ''L'' une extension simple et ''g'' un élément de ''L'' tel que ''L'' soit égal à ''K(g)''. Alors ''g'' est appelé '''générateur''' de ''L'' sur ''K''. Comme démontré dans l'article [[extension algébrique]], il est alors possible d'identifier ''K'' et son image dans la clôture agébrique et ''L'' avec ''K(l)''. Cette identification est réalisée dans toute la suite de l'article. ==Exemples== * Le corps des [[nombre complexe|nombres complexes]] est une extension simple de dimension deux des [[nombre réel|nombres réels]]. Il est engendré par l'imaginaire pur ''i''. La démonstration est donnée dans l'article [[Extension de Galois]]. * Le corps engendré par la racine cubique de deux et l'imaginaire pur ''i'' est une extension simple du corps des [[nombre rationnel|nombres rationnels]]. En effet, une démonstration est donné dans l'article [[Extension de Galois]]. Il est possible de s'en rendre compte par une approche plus directe. Le corps des nombres rationnels est un [[corps parfait]] (cf [[Extension séparable]]) c’est-à-dire qu'aucun polynôme minimal n'admet de racine multiple. Le [[théorème de l'élément primitif]] montre alors que toute extension algébrique finie est simple. L'extension est finie car c'est une extension de deux éléments algébriques. Il est encore possible de s'en rendre compte par une méthode plus calculatoire. Le corps est en effet l'extension du nombre algébrique ''r'' somme de racine cubique de deux et de l'imaginaire pure ''i''. Il suffit de remarquer que ''r'' est racine d'un polynôme à coefficients rationnels de degré six. L'article [[Extension algébrique]] montre alors que l'extension simple de ''r'' est de dimension six avec pour base (1, r, r<sup>2</sup>, ..., r<sup>5</sup>) si l'extension est considérée comme un espace vectoriel sur le corps des nombres rationnels. Il suffit alors de vérifier que ''i'' et la racine cubique de deux sont combinaisons linéaires de cette base. Si la méthode est calculatoire, elle permet néanmoins de trouver le résultat sans théorème puissant. * Le corps des nombres réels n'est pas une extension simple du corps des nombres rationnels. L'extension contient au moins un nombre transcendant, par exemple <math>\pi</math> et un nombre algébrique d'ordre deux, par exemple la racine carré de deux. Plus généralement: * Toute [[extension quadratique]] est simple. Cette propriété provient de la définition d'une extension quadratique. * Toute [[extension finie]] [[extension séparable|séparable]] est une extension simple, et donc toute extension finie sur un [[corps parfait]] est simple. C'est une conséquence directe du théorème de l'élément primitif. En corollaire, on a l'exemple suivant: * Tout [[Corps de décomposition]] séparable est une extension simple. Il existe des extensions finies qui ne sont pas simples. Par exemple, si ''L'' est le corps de fractions rationnelles à deux variables <math>k(X, Y)</math> à coefficients dans un corps ''k'' de caractéristique ''p'', et si ''K'' est le sous-corps <math>k(X^p, Y^p)</math> de ''L'', alors ''L/K'' est une extension finie qui n'est pas simple. En effet, l'extension est de degré <math>p^2</math>, alors que tout élément de ''L'' est de degré au plus ''p'' sur ''K''. ==Propriétés== Soit Ω une [[clôture algébrique]] de ''K''. :* Si l'extension est séparable et finie, alors l'extension est simple et il existe exactement n [[morphisme]]s de corps de ''L'' dans Ω laissant invariant ''K''. :* Si l'extension est simple et s'il existe un générateur séparable, alors l'extension est séparable. :* S'il existe exactement n morphismes de corps de ''L'' dans Ω laissant invariant ''K''. Alors l'extension est simple et séparable. Ce sont trois conséquences immédiates du [[théorème de l'élément primitif]]. :*Si l'extension est simple et non finie, alors l'extension est isomorphe au corps des fractions rationnels sur ''K''. En effet, soit ''g'' un générateur de ''L'', il existe une unique manière de prolonger l'application de ''L'' dans ''K(X)'' le corps des [[fraction rationnelle|fractions rationnelles]] qui à ''g'' associe ''X'' en un morphisme de corps. Il est aisé de vérifier que c'est un isomorphisme. Supposons l'extension simple et finie, soit alors ''g'' un générateur de ''L'' et P[X] le polynôme minimal de g à coefficients dans ''K''. Ce polynôme existe d'après le paragraphe [[Extension algébrique#Définitions et premières propriétés|Définitions et premières propriétés des extensions algébriques]]. :* ''L'' est alors isomorphe au quotient de l'[[anneau (mathématiques)|anneau]] des polynômes ''K[X]'' par l'[[idéal]] engendré par P[X], le polynôme minimal d'un générateur. C'est une conséquence directe de la démonstration de la première proposition du paragraphe [[Extension algébrique#Extension algébrique et polynôme|Extension algébrique et polynôme]]. ==Voir aussi== ===Liens externes=== * {{fr}} [http://perso.univ-rennes1.fr/bernard.le-stum/Documents/galois.pdf Une courte présentation des extensions algébriques] par Bernard le Stum Université de Rennes 1 2001 * {{fr}} [http://www.institut.math.jussieu.fr/dea/aa/dea01-02/Galois.pdf Un cours de DEA sur la théorie de Galois] par Alain Kraus Université de Paris VI 1998 * {{fr}} [http://www.les-mathematiques.net/b/b/g/node3.php3 Les correspondances de Galois] dans les-mathématiques.net ===Références=== *{{Douady1}} *{{Lang1}} *{{Samuel1}} {{Théorie de Galois}} {{portail mathématiques}} [[Catégorie:Théorie de Galois]] [[ca:Element primitiu]] [[en:Simple extension]] [[es:Elemento primitivo]]