Famille (mathématiques) 547224 27252639 2008-03-11T00:51:38Z Wanderer999 258627 Correction lien interne {{Voir homonymes|Famille (homonymie)}} En [[mathématiques]], la notion de '''famille''' est une généralisation de celle de suite, suite finie ou suite indexée par les entiers. Ainsi on pourra parler, en [[algèbre linéaire]], de la famille de vecteurs (''u''<sub>1</sub>, ''u''<sub>2</sub>, … , ''u''<sub>n</sub>), qui est une famille finie, ou de la famille [[dénombrable]] (''u''<sub>n</sub>)<sub>''n'' ∈ '''N'''</sub>. Une famille est toujours indexée, même si elle l'est parfois implicitement, par exemple dans des locutions comme « [[famille libre]] » ou « [[famille génératrice]] ». == Famille indexée : définition == Une famille <math>(x_i)_{i\in I}</math> '''indexée''' par un ensemble <math>I</math> d'[[élément (mathématiques)|éléments]] <math>x_i</math> d'un ensemble <math>E</math> est une application définie sur ''I'' à valeurs dans ''E''. Il s'agit donc d'une terminologie et d'une notation, mieux adaptées à certains usages, pour la notion connue d'[[application (mathématiques)|application]] (ou de fonction). Les éléments de <math>I</math> sont appelés ''indice'' (ou ''index''). L'élément de la famille <math>(x_i)_{i\in I}</math> d'indice ''i'' est <math>x_i</math>. Quand on parle d’''élément d'une famille'', il s'agit d'un élément de l'ensemble image de la famille en tant qu'application : un élément de la famille <math>(x_i)_{i\in I}</math> est l'un des <math>x_i</math>. Quand on parle de la cardinalité d'une famille, il s'agit ''a priori'' de la cardinalité de l'ensemble de ses indices (ou de façon équivalente de la cardinalité du graphe de la famille en tant qu'application). Ceci dit on peut toujours préciser : famille sur un ensemble d'indices de cardinalité telle. Ainsi une ''famille finie'' est une famille dont l'ensemble des indices (et non des éléments) est [[ensemble fini|fini]], une ''famille infinie'' est une famille dont l'ensemble des indices est [[infini]], une ''famille dénombrable'' est une famille dont l'ensemble des indices est [[dénombrable]] etc. On appelle également [[Suite (mathématiques)|suite]] une famille dont l'ensemble des indices est l'ensemble des entiers ou un sous-ensemble de celui-ci, fini ou infini (les ''n'' premiers entiers, les entiers non nuls ...). Mais ce n'est pas exclusif : par exemple, en [[algèbre linéaire]], on parle volontiers de famille de vecteurs, même dans ce cas. Plus généralement, on pourra parler, en théorie des ensembles, de [[Suite (mathématiques)|suite]] pour une famille dont l'ensemble des indices est un [[nombre ordinal | ordinal]], ou même un ensemble « explicitement » [[ensemble bien ordonné|bien ordonné]]. == Théorie axiomatique des ensembles == En [[théorie axiomatique des ensembles]] une application est le plus souvent identifiée à son graphe : c'est un ensemble de [[couple (mathématiques)|couple]]s. Une application définie sur ''I'' est un ensemble de couples tels que chaque élément de ''I'' apparait une et une seule fois en première composante d'un couple de cet ensemble. C'est donc aussi la définition de famille d'ensembles indexée par ''I''. On se préoccupe peu de l'ensemble d'arrivée dans ce cas. On montre cependant que si {''A''<sub>''i''</sub>}<sub>''i'' ∈ ''I''</sub> est une famille d'ensembles, alors on peut bien parler de l’''ensemble'' des ''A''<sub>''i''</sub> : :{</sub>''A''<sub>''i''</sub> | ''i'' ∈ ''I''}&nbsp; « est » un ensemble. Cela peut se démontrer en utilisant essentiellement le fait qu'une application est un ensemble de couples et le [[schéma d'axiomes de compréhension]] (il faut revenir à la définition de couple en théorie des ensembles, et utiliser l'[[axiome de la réunion]]). == Articles connexes == * [[Produit cartésien]] {{portail mathématiques}} [[Catégorie:Théorie des ensembles]] [[de:Familie (Mathematik)]] [[en:Indexed family]] [[es:Familia de conjuntos]] [[hu:Halmazrendszer]] [[it:Famiglia (matematica)]] [[ja:族 (数学)]] [[lmo:Famèja (matemàtica)]] [[no:Familie (matematikk)]] [[oc:Familha (matematicas)]] [[pt:Família indexada]]