Figure de sommet 1329811 28234277 2008-04-03T17:39:10Z Badmood 4507 nouveau style de bandeau de portail, voir [[Wikipédia:Prise de décision/Bandeaux de portail]] [[Image:Triangular prism vertfig.svg|thumb|La figure de sommet d'un [[prisme triangulaire]] est un triangle isocèle. La face [[triangle|triangulaire]] est représentée par l'arête courte, et les deux faces [[carré|carrées]] sont représentées par les arêtes longues. Une notation courte pour cette figure de sommet est [[configuration de sommet|''3.4.4'']]]] [[Image:Great icosahedron vertfig.png|thumb|La figure de sommet pour le [[grand icosaèdre]] non-convexe est un [[pentagramme]] régulier ou un [[polygone étoilé]] {5/2}.]] En [[géométrie]], une '''figure de sommet''' représente l'arrangement d'un ensemble de points connectés de tous les sommets voisins, dans un [[polytope]] pour un sommet donné. Ceci s'applique également bien pour les [[pavage]]s infinis, ou [[Nid d'abeille|pavages remplissant l'espace]] avec des [[cellule (géométrie)|cellules]] [[polytope|polytopiques]]. Une figure de sommet pour un ''n-polytope'' est un ''(n-1)-polytope''. Par exemple, une figure de sommet pour un [[polyèdre]] est une figure [[polygone|polygonale]], et la figure de sommet pour un [[polychore]] est une figure [[polyèdre|polyèdrique]]. En considérant la connectivité de ces sommets voisins, un ''(n-1)''-polytope totalement imaginaire peut être construit pour chaque sommet d'un polytope : * Chaque [[sommet]] de la ''figure de sommet'' coincide avec un sommet du polytope original. * Chaque [[Arête (géométrie)|arête]] de la ''figure de sommet'' existe sur ou dans une face du polytope original connectant deux sommets alternés à partir d'une face originale. * Chaque [[Face (géométrie)|face]] de la ''figure de sommet'' existe sur ou dans une cellule du '''n'''-polytope original (pour '''n'''>3). * ...et ainsi de suite pour les éléments d'ordre plus élevés dans les polytopes d'ordres plus élevés. Les figures de sommet sont les plus utiles pour les [[polytope uniforme|polytopes uniformes]] car une figure de sommet peut impliquer le polytope entier. Pour les polyèdres, la figure de sommet peut être représentée par une notation de [[configuration de sommet]], en listant les faces dans une suite autour d'un sommet. Par exemple ''3.4.4.4'' est un sommet avec un triangle et trois carrés, et il représente le [[petit rhombicuboctaèdre]]. Si le polytope est de [[sommet uniforme]], la figure de sommet existera dans une surface [[hyperplan|hyperplane]] du '''n'''-espace. En général, les figures de sommet n'ont pas besoin d'être planaires. Comme les polyèdres non-convexes, les figures de sommet peuvent aussi être non-convexes. Les polytopes uniformes peuvent avoir des faces en [[polygone étoilé|polygones étoilés]] et des ''figures de sommet'' par exemple. == Polytopes réguliers == Si un polytope est régulier, il peut être représenté par un [[symbole de Schläfli]] et, la [[cellule (géométrie)|cellule]] et la ''figure de sommet'' peuvent tous deux être extraits trivialement de cette notation. En général, un polytope régulier avec un symbole de Schläfli {a,b,c,....,y,z} possède des cellules {a,b,c,...,y}, et des ''figures de sommet'' {b,c,...,y,z}. # Pour un [[polyèdre]] régulier {p,q}, la figure de sommet est {q}, un q-gone. #* Exemple, la figure de sommet pour un cube {4,3} est le triangle {3}. # Pour un [[polychore]] régulier ou un [[Nid d'abeille (géométrie)|pavage remplissant l'espace]] {p,q,r}, la figure de sommet est {q,r}. #* Exemple, la figure de sommet pour un hypercube {4,3,3} est un tétraèdre régulier {3,3}. #* La figure de sommet pour un [[nid d'abeille cubique]] {4,3,4} est l'octaèdre régulier {3,4}. Puisque le polytope dual d'un polytope régulier est aussi régulier et est représenté par le symbole de Schläfli dont les indices sont inversés, il est facile de voir que la ''figure de sommet'' du dual est la cellule du polytope dual. == Un exemple de figure de sommet d'un nid d'abeille == [[Image:Truncated cubic honeycomb.jpg|thumb|Nid d'abeille cubique tronqué]] La figure de sommet d'un [[nid d'abeille cubique tronqué]] est une [[pyramide carrée]] non-uniforme. Un octaèdre et quatre cube tronqués se rencontrent à chaque sommet pour former un pavage remplissant l'espace. {|border=1 | ''Figure de sommet'' : Une [[pyramide carrée]] non-uniforme |[[Image:VF-truncated cubic.png|120px]] |- |Créée comme une base [[carré (géométrie)|carrée]] à partir d'un [[octaèdre]] |[[Image:octahedron vertfig.png|120px]] |- |Et quatre cotés en [[triangle isocèle|triangles isocèles]] à partir de [[cube tronqué|cubes tronqués]] |[[Image:Truncated cube vertfig.png|120px]] |} {{Portail|géométrie|mathématiques}} [[Catégorie:Géométrie]] [[en:Vertex figure]] [[eo:Vertica figuro]] [[es:Figura de vértice]]