Filtre en peigne
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2008-07-09T21:10:09Z
AmaraBot
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Homonymie résolue à l'aide du robot: Écho - Modifications du (des) lien(s) pour [[écho (acoustique)]]
Un '''filtre en peigne''' est utilisée en traitement du signal pour ajouter une version retardée du signal à lui-même, provoquant des [[interférence]]s destructives ou constructives. La [[réponse en fréquence]] du filtre se présente sous la forme d'une série de pics régulièrement espacés, d'où le nom de « filtre en peigne ». Le facteur de qualité équivalent (le pente du filtre) est extrêment important.
Les filtres en peigne existent sous deux formes utilisant soit l'anticipation ou la rétroaction, en fonction de la direction du signal ajouté au signal original. Les filtres peuvent être réalisés sous une forme discrète ou continue dans le temps.
Les filtres en peigne sont notamment utilisés pour traiter les signaux vidéo ([[anticrénelage]], changement du taux d'[[échantillonnage (signal)|échantillonnage]], séparation de composantes) et audios (effets d'[[écho (acoustique)|écho]], [[flanger]], synchronisation du son dans de grands espaces, etc.). Ils peuvent aussi servir à rejeter (ou sélectionner) une fréquence parasite précise (réjection des harmoniques du secteur, ...). Car les fréquences filtrées peuvent facilement être asservie à celle du signal à filtrer.
Des [[Peigne de fréquence optique|peignes de fréquence]] sont également développés<ref>[http://nonlineaire.univ-lille1.fr/SNL/media/2007/resumes/barviau_benoit.pdf Exemple] (Création d’un peigne de fréquences de longueur d’onde centrale accordable à partir d’ondes continues, par Benoit Barviau, Christophe Finot, Julien Fatome et Guy Millot ; 1 p)</ref> dans le domaine de l'[[optique]] et plus particulièrement des [[laser]]s, permettant de [[Métrologie|mesurer]] des intervalles de temps et des [[fréquence]]s lumineuses avec une précision très fortement améliorée ; la spectroscopie ultra-haute résolution permet déjà une mesure de la distance terre-lune avec une précision équivalent à l'épaisseur de 1/100 000 ème de cheveux. Cette précision devrait être portée à 10 millionnièmes de cheveux<ref>Colloque des sciences, 16 dec 2005, Prix nobel de Physique 2005 ([http://www.sc.ucl.ac.be/sciences/Colloque_des_sciences/Colloque_des_sciences_Prix_Nobel_de_physique_2005.pdf PowerPoint])</ref>.
== Filtre discret avec anticipation ==
[[Image:Comb_filter_feedforward.png|thumb|right|400px|Structure du filtre avec anticipation]]
[[Image:Comb_filter_response_ff_pos.png|thumb|right|400px|Réponse en intensité du filtre avec anticipation, selon plusieurs valeurs positives pour <math>\alpha</math>]]
[[Image:Comb_filter_response_ff_neg.png|thumb|right|400px|Réponse en intensité du filtre avec anticipation, selon plusieurs valeurs négatives pour <math>\alpha</math>]]
La structure générale d'un filtre en peigne avec anticipation est présentée à droite. Elle peut être décrite avec l'[[équation différentielle]] suivante :
:<math>\ y[n] = x[n] + \alpha x[n-K]</math>
où <math>K</math> est la longueur du retard (mesurée en échantillons) et <math>\alpha</math> est un facteur de gain appliqué au signal retardé. En prenant la [[transformée en Z]] des deux côtés de l'équation, on obtient :
:<math>\ Y(z) = (1 + \alpha z^{-K}) X(z)</math>
La fonction de transfert se définit comme suit :
:<math>\ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = 1 + \alpha z^{-K} = \frac{z^K + \alpha}{z^K}</math>
=== Réponse en fréquence ===
Pour obtenir la réponse en fréquence d'un système discret exprimé dans le domaine Z, on effectue la substitution <math>z = e^{j \omega}</math>. Le filtre avec anticipation devient :
:<math>\ H(e^{j \omega}) = 1 + \alpha e^{-j \omega K}</math>
Via la formule d'Euler, la fréquence en réponse est :
:<math>\ H(e^{j \omega}) = \left[1 + \alpha \cos(\omega K)\right] - j \alpha \sin(\omega K)</math>
La réponse en intensité, qui ignore la phase, se définit généralement comme suit :
:<math>\ | H(e^{j \omega}) | = \sqrt{\Re\{H(e^{j \omega})\}^2 + \Im\{H(e^{j \omega})\}^2}</math>
Dans le cas d'un filtre en peigne avec anticipation, la réponse en intensité est :
:<math>\ | H(e^{j \omega}) | = \sqrt{(1 + \alpha^2) + 2 \alpha \cos(\omega K)}</math>
Il est à noter que <math>(1 + \alpha^2)</math> est une constante, alors que <math>2 \alpha \cos(\omega K)</math> varie périodiquement. La réponse en magnitude du filtre en peigne est ainsi périodique.
Les graphiques à droite montrent la réponse en magnitude pour différentes valeurs de <math>\alpha</math> et affichent clairement la périodicité. Des propriétés importantes peuvent être observées :
* La réponse descend périodiquement jusqu'à un [[minimum local]] (creux) et monte périodiquement jusqu'à un [[maximum local]] (pic).
* Les niveaux des minima et des maxima sont toujours à égale distance de 1.
* Quand <math>\alpha = \pm 1</math>, le minimum a une amplitude nulle.
* Le maximum pour une valeur positive de <math>\alpha</math> coïncide avec le minimum des valeurs négatives de <math>\alpha</math> (et vice-versa).
=== Interprétation en pôles et zéros ===
D'après la fonction de transfert du filtre avec anticipation :
:<math>\ H(z) = \frac{z^K + \alpha}{z^K}</math>
on voit que le numérateur est nul lorsque <math>z^K = -\alpha</math>. Il existe <math>K</math> solutions, régulièrement espacées dans le cercle du plan complexe, ce sont les [[Zéro d'une fonction holomorphe|zéros]] de la fonction de transfert. Le dénominateur est à zéro lorsque <math>z^K = 0</math>, donnant ainsi <math>K</math> [[pôle (mathématiques)|pôles]] à <math>z = 0</math>. La représentation graphique des pôles et des zéros est :
{|
| [[Image:Comb_filter_pz_ff_pos.png|left|thumb|200px|Avec <math>K = 8</math> et <math>\alpha = 0.5</math>]]
| [[Image:Comb_filter_pz_ff_neg.png|left|thumb|200px|Avec <math>K = 8</math> et <math>\alpha = -0.5</math>]]
|}
== Filtre discret avec rétroaction ==
[[Image:Comb_filter_feedback.png|thumb|right|400px|Structure du filtre avec rétroaction]]
[[Image:Comb_filter_response_fb_pos.png|thumb|right|400px|Réponse en intensité du filtre avec rétroaction, selon plusieurs valeurs positives pour <math>\alpha</math>]]
[[Image:Comb_filter_response_fb_neg.png|thumb|right|400px|Réponse en intensité du filtre avec rétroaction, selon plusieurs valeurs négatives pour <math>\alpha</math>]]
La structure générale d'un filtre en peigne avec rétroaction est présentée à droite. Elle peut être décrite avec l'[[équation différentielle]] suivante :
:<math>\ y[n] = x[n] + \alpha y[n-K]</math>
En réarrangeant l'équation de manière à avoir tous les termes de <math>y</math> à gauche, et en appliquant une transformée en Z, on obtient :
:<math>\ (1 - \alpha z^{-K}) Y(z) = X(z)</math>
La fonction de transfert est alors :
:<math>\ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1}{1 - \alpha z^{-K}} = \frac{z^K}{z^K - \alpha}</math>
=== Réponse en fréquence ===
La substitution <math>z = e^{j \omega}</math> dans l'expression du filtre en domaine Z, produit :
:<math>\ H(e^{j \omega}) = \frac{1}{1 - \alpha e^{-j \omega K}}</math>
La réponse en magnitude est la suivante :
:<math>\ | H(e^{j \omega}) | = \frac{1}{\sqrt{(1 + \alpha^2) - 2 \alpha \cos(\omega K)}}</math>
Comme pour l'autre filtre, la réponse est périodique (voir graphiques à droite). Le filtre avec rétroaction a des propriétés en commun avec la forme anticipative :
* La réponse descend périodiquement jusqu'à un [[minimum local]] (creux) et monte périodiquement jusqu'à un [[maximum local]] (pic).
* Le maximum pour une valeur positive de <math>\alpha</math> coïncide avec le minimum des valeurs négatives de <math>\alpha</math> (et vice-versa).
Cependant, il se différencie de l'autre filtre en raison de la présence d'un terme dans le dénominateur de la réponse en intensité :
* Les niveaux des maxima et des minima ne sont plus à égale distance de 1
* Le filtre n'est [[Stabilité EBSB|stable]] que si <math>|\alpha|</math> est inférieur à 1. Comme on peut le voir sur les graphiques, l'augmentation de <math>|\alpha|</math> produit une augmentation rapide de l'intensité des pics du peigne.
=== Interprétation en pôles et zéros ===
D'après la fonction de transfert du filtre avec anticipation :
:<math>\ H(z) = \frac{z^K}{z^K - \alpha}</math>
on voit que le numérateur est nul lorsque <math>z^K = 0</math>, produisant ainsi <math>K</math> zéros à <math>z = 0</math>. Le dénominateur est nul lorsque <math>z^K = \alpha</math>, ce qui donne <math>K</math> solutions, régulièrement espacées sur le cercle complexe.
La représentation graphique des pôles et des zéros est :
{|
| [[Image:Comb_filter_pz_fb_pos.png|left|thumb|200px|Avec <math>K = 8</math> et <math>\alpha = 0.5</math>]]
| [[Image:Comb_filter_pz_fb_neg.png|left|thumb|200px|Avec <math>K = 8</math> et <math>\alpha = -0.5</math>]]
|}
== Filtres en peigne continus ==
Les filtres en peigne peuvent être continus dans le temps.
La forme avec anticipation se présente ainsi :
:<math>\ y(t) = x(t) + \alpha x(t - \tau)</math>
La forme avec rétroaction se présente comme suit :
:<math>\ y(t) = x(t) + \alpha y(t - \tau)</math>
avec <math>\tau</math> représentant le délai (en secondes).
Les deux filtres ont respectivement les réponses en fréquence suivantes :
:<math>\ H(\omega) = 1 + \alpha e^{-j \omega \tau}</math>
:<math>\ H(\omega) = \frac{1}{1 - \alpha e^{-j \omega \tau}}</math>
Les versions continues partagent les mêmes propriétés que leurs équivalents discrets.
== Filtrage vidéo ==
Les filtres en peigne permettent de séparer correctement les composantes d'un signal vidéo composite ([[luminance]] et [[chrominance]]). Selon le type de signal, la bande passante allouée pour chaque composante varie mais les deux plages se chevauchent partiellement (pour simplifier, la luminance est par exemple encodée sur les fréquences paires, et la chrominance sur les fréquences impaires). Afin de séparer les bonnes fréquences et ne garder que la composante désirée, on peut utiliser un filtre en peigne qui va éliminer par exemple les fréquences impaires et ne garder que les fréquences paires. De la qualité du filtre va dépendre la qualité du signal après séparation. Le filtre n'est plus nécessaire si le signal est transmis en [[Vidéo à composantes séparées|S-Vidéo]] (les composantes sont transmises séparément).
== Voir aussi ==
=== Liens internes ===
* [[Filtre linéaire]]
* [[Filtre de Bessel]]
* [[Filtre de Butterworth]]
* [[Filtre de Legendre]]
* [[Filtre de Tchebychev]]
* [[Filtre elliptique]]
=== Liens externes ===
* {{fr}} [http://pages.infinit.net/niuton/luma/peigne.html Utilisation des filtres à peigne pour traiter le signal vidéo des télévisions]
* {{fr}} [http://mobil12.ovh.org/articles.php?view_art=17 Utilisation de filtres en peigne lors d'enregistrements avec plusieurs microphones]
* {{fr}} [http://perso.orange.fr/F4DXU/Documents/Filtre_Peigne.pdf Explication technique avec circuit]
* {{en}} [http://members.aol.com/ajaynejr/vidcomb.htm Filtres en peigne pour le signal vidéo]
===Bibliographie===
{{...}}
===Notes et références===
<references />
{{Portail|physique|électricité et électronique}}
[[Catégorie:Filtre|Peigne, filtre en]]
[[de:Kammfilter]]
[[en:Comb filter]]
[[es:Filtro comb]]
[[it:Filtro comb]]
[[nl:Kamfilter]]
[[pt:Filtro Comb]]
[[ru:Гребенчатый фильтр]]
[[sv:Kamfilter]]
[[zh:梳状滤波器]]