Flocon de Koch 14745 31677746 2008-07-18T11:42:43Z Sherbrooke 18624 Reformuler. {{voir homonymes|Koch}} Le '''flocon de Koch''' est l'une des premières courbes [[fractale]]s à avoir été décrite (bien avant l'invention du terme « fractal(e) »). Elle apparaît en 1906 dans un article intitulé « Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des [[courbe plane|courbes planes]] » et écrit par le mathématicien [[Suède|suédois]] [[Helge von Koch]] ([[1870]] - [[1924]])<ref>{{en}} [http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Koch.html Biographie de von Koch]</ref>. ==Courbe de Koch== [[image:Droite_Koch.png|thumb|les 4 premières étapes de la construction]] [[Image:Koch anime.gif|thumb|les 6 premières courbes successives en animation]] On peut la créer à partir d'un segment de droite, en modifiant récursivement chaque segment de droite de la façon suivante : # on divise le segment de droite en trois segments de longueurs égales, # on construit un triangle équilatéral ayant pour base le segment médian de la première étape, # on supprime le segment de droite qui était la base du triangle de la deuxième étape. Au bout de ces trois étapes, l'objet résultant a une forme similaire à une coupe transversale d'un chapeau de sorcière. La courbe de Koch est la limite des courbes obtenues, lorsqu'on répète indéfiniment les étapes mentionnées ci-dessus. Une extension de la notion de [[dimension]] permet d'attribuer à la courbe de Koch une dimension fractale<ref>Une démonstration figure dans Les fractales. Tangente HS n° 18 page 26</ref> (non entière) dont la valeur est : <math>d = \frac{\ln(4)}{\ln(3)} \simeq 1,26</math>. La courbe de Koch a une longueur infinie parce qu'à chaque fois qu'on applique les modifications ci-dessus sur chaque segment de droite, la longueur totale augmente d'un tiers. La surface délimitée par la courbe est cependant finie. Si on a choisi l'unité d'aire de telle sorte que le triangle construit à la première itération soit d'aire 1, alors l'aire de chacun des quatre triangles construits lors de la seconde itération est 1/9 : on a donc augmenté l'aire totale de 4/9. Pour l'itération ''n'', on ajoute <math>4^ {n-1} \times \left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}</math>. La surface totale s'obtient finalement en sommant une [[série géométrique]] : <math>\sum_{n=0}^\infty \left({4\over9}\right)^n = {1\over 1-4/9} = {9\over5}</math> ==Flocon de Koch== [[Image:Von Koch curve.gif|thumb|200px|Création du flocon de Koch]] Le '''flocon de Koch''' s'obtient de la même façon que la fractale précédente, en partant d'un [[triangle équilatéral]] au lieu d'un segment de droite, et en effectuant les modifications en orientant les triangles vers l'extérieur. On peut aussi partir d'un hexagone, et opérer en orientant les triangles vers l'intérieur. Dans les deux cas, après quelques itérations on obtient une forme évoquant un flocon de [[neige]] régulier. Comme la courbe, le flocon de Koch est de longueur infinie et délimite une aire finie. == Variantes de la courbe de von Koch == Suivant le concept de von Koch, plusieurs variantes ont été conçues, en considérant des angles droits (Quadratique), d'autres angles (fractale de Cesaro) ou des extensions dans les dimensions supérieures (sphereflake, surface de Koch). {| border="0" cellpadding="4" rules="all" style="border: 1px solid #999; background-color:#FFFFFF" |- align="center" bgcolor="#cccccc" ! Variante || Illustration|| Construction|| |- | 1D & angle=85°|| [[Image:Koch Curve 85degrees.png|thumb|150px|Fractale Cesaro. ]]|| La fractale Cesaro est une généralisation de la courbe de Koch avec un angle compris entre 60° et 90° (ici 85°). |- | 1D & 90°|| [[Image:Quadratic Koch 2.png|thumb|150px|Courbe quadratique de Koch (type 1)]]|| align="left"| [[Image:Quadratic Koch curve type1 iterations.png|thumb|450px| Les 2 premières itérations.]] |- | 1D & 90°|| [[Image:Quadratic Koch.png|thumb|150px|Courbe quadratique de Koch (type 2)]]|| align="left"| [[Image:Quadratic Koch curve type2 iterations.png|thumb|450px| Les deux premières itérations. Sa dimension fractale égale 1,5, soit à mi-chemin entre la dimension 1 et la dimension 2. Cette propriété en fait une courbe très utilisée dans l'étude des propriétés physiques des objets fractals (Cf Sapoval).]] |- | 2D & triangles|| [[Image:Koch surface 3.png|thumb|150px|Surface de von Koch]]|| [[Image:Koch surface iterations.png|thumb|450px| Les 2 premières itérations. Extension naturelle à 2 dimensions de la courbe de von Koch .]] |- | 2D & 90°|| [[Image:Quadratic Koch 3D (type1 stage2).png|thumb|150px|Surface quadratique de Koch (type 1)]]|| [[Image:Quadratic Koch 3D (type1 stage1).png|150px| Etape 1]][[Image:Quadratic Koch 3D (type1 stage2).png|150px| Etape 2]][[Image:Quadratic Koch 3D (type1 stage3).png|150px| Etape 3]] Les trois premières étapes. |- | 2D & 90°|| [[Image:Quadratic Koch 3D (type2 stage2).png|thumb|150px|Surface quadratique de Koch (type 2)]]||[[Image:Quadratic Koch 3D (type2 stage1).png|150px]][[Image:Quadratic Koch 3D (type2 stage2).png|150px]][[Image:Quadratic Koch 3D (type2 stage3).png|150px]] Les trois premières étapes. |- | 2D & spheres || || Eric Haines a développé la fractale '''sphereflake''', extension du flocon de Koch, construite à base de sphères. |} == Notes et références == {{références}} == Voir aussi == * [[Liste de fractales par dimension de Hausdorff]] === Liens externes === {{commons|Koch snowflake|le flocon de Koch}} * [http://www.efg2.com/Lab/FractalsAndChaos/vonKochCurve.htm Plus dinformations et d'images] (en [[anglais]]) {{portail mathématiques}} [[Catégorie:Fractale]] [[bn:কচ স্নোফ্লেক]] [[ca:Floc de neu de Koch]] [[cs:Kochova křivka]] [[de:Koch-Kurve]] [[en:Koch snowflake]] [[eo:Neĝero de Koch]] [[es:Copo de nieve de Koch]] [[fi:Kochin käyrä]] [[gl:Curva de Koch]] [[he:פתית השלג של קוך]] [[hr:Kochova krivulja]] [[hu:Koch-görbe]] [[it:Curva di Koch]] [[ja:コッホ曲線]] [[ko:코흐 곡선]] [[pl:Krzywa Kocha]] [[pt:Curva de Koch]] [[ru:Кривая Коха]] [[sk:Kochova krivka]] [[sl:Kochova snežinka]] [[sr:Кохова пахуља]] [[sv:Von Kochs kurva]] [[th:เกล็ดหิมะค็อค]] [[zh:科赫曲線]]