Fonction affine 77482 31466175 2008-07-10T13:13:47Z Xofc 66118 [[User:EDUCA33E/LiveRC/Documentation|LiveRC]] : Révocation des modifications de [[Special:Contributions/195.25.171.101|195.25.171.101]]; retour à la version de [[User:82.251.237.79|82.251.237.79]] En mathématiques élémentaires, une '''fonction affine''' est une [[Fonction numérique|fonction]] de la variable réelle dont la représentation graphique est une [[droite (mathématiques)|droite]]. C'est une [[fonction polynôme (mathématiques élémentaires)|fonction polynôme]] de degré inférieur ou égal à un. Elle est définie par: <math> f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}</math><br /> :<math>x \mapsto f(x)= a\times x + b</math> avec ''a'' et ''b'' des [[nombre réel|nombres réels]] fixés. Dans l'expression ci-dessus, ''a'' et ''b'' sont des constantes et ''x'' est la variable. La constante ''a'' est appelée ''coefficient directeur'' et ''b'' ''ordonnée à l'origine''. Si ''a'' est nul, alors la fonction est constante. Si ''b'' est nul alors la fonction est [[fonction linéaire|linéaire]] et sa droite représentative passe par l'origine. == Propriété caractéristique == Une fonction affine est caractérisée par le fait que son [[taux d'accroissement]] est constant. En effet, si <math>x_1</math> et <math>x_2</math> sont deux réels, l'accroissement <math>f(x_1) - f(x_2)</math> est [[proportionnalité|proportionnel]] à <math>x_1 - x_2</math>: :<math>f(x_1) - f(x_2) = a(x_1 - x_2) \,</math> Cette propriété donne alors un outil pour déterminer le [[coefficient]] <math>a</math>: :<math>a = \frac{f(x_1) - f(x_2)} {x_1 - x_2}</math> si <math>x_1 - x_2</math> est non nul. Par conséquence, la [[dérivée]] d'une fonction affine est une fonction constante qui vaut le coefficient directeur de la fonction affine. == Exemples == On rencontre quelques exemples de fonctions affines dans * les abonnements téléphoniques: le prix de l'abonnement mensuel est A et le prix d'une communication à la minute est de 0,10 euros/minute. La facture téléphonique est alors une fonction affine du nombre x de minutes de communication dans le mois. : <math>f(x) = A + 0,1\times x</math> * La longueur d'un ressort : Si au repos le ressort à une longueur <math>L_0</math>, et si sa raideur est k, la longueur du [[ressort]] est une fonction affine de la force appliquée ([[loi de Hooke]]). :<math>L(f) = L_0 + \frac{f}{k}</math> :Dans ce cas, le coefficient directeur est <math>\frac{1}{k}</math> et l'ordonnée à l'origine <math>L_0</math>. == Représentation graphique == [[Image:Linear functions2.PNG|thumb]] La représentation graphique d'une fonction affine est une [[droite (mathématiques)|droite]] dont l'équation est :<math>y = ax + b \,</math> La droite coupe l'axe des ordonnées pour <math>y = b</math> (d'où le nom : '''ordonnée à l'origine'''). Lorsque b est égal à 0, la droite passe par l'origine du repère cartésien. La droite a pour '''[[pente]]''' ou '''coefficient directeur''' le réel <math>a</math>. Si a>0, la fonction affine est croissante (la droite "monte"), si a<0, elle est décroissante (la droite "descend"). Par un processus analogue à celui vu pour la [[fonction linéaire]], un déplacement de 1 carreau en abscisse induit un déplacement de a carreaux en ordonnée. ==Détermination de a et b== Soient deux points <math>L(x_1,y_1)</math> et <math>M(x_2,y_2)</math> appartenant à la droite d'équation <math>y = ax + b</math>, on a : :<math>a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} </math> :<math>b = y_1 - ax_1 = y_2 - ax_2 \,</math> ==Médias== * [http://www.zoneflash.net/animation.php?r=flash3-0033 Représentation graphique interactive d'une fonction affine] == Voir aussi == * [[Mathématiques]] * [[Espace affine]] * [[Transformation affine]] * [[Fonction affine par morceaux]] {{Portail mathématiques}} [[Catégorie:Analyse]] [[als:Lineare Funktion]] [[bg:Линейна функция]] [[de:Lineare Funktion]] [[en:Linear function]] [[es:Función lineal]] [[fi:Lineaarinen funktio]] [[he:פונקציה לינארית]] [[it:funzione lineare]] [[ja:一次関数]] [[nl:Lineaire functie]] [[pl:Funkcja liniowa]] [[pt:Função linear]] [[ru:Линейная функция]] [[sl:Linearna funkcija]] [[sr:Линеарна функција]]