Fonction affine
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2008-07-10T13:13:47Z
Xofc
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En mathématiques élémentaires, une '''fonction affine''' est une [[Fonction numérique|fonction]] de la variable réelle dont la représentation graphique est une [[droite (mathématiques)|droite]]. C'est une [[fonction polynôme (mathématiques élémentaires)|fonction polynôme]] de degré inférieur ou égal à un. Elle est définie par:
<math> f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}</math><br />
:<math>x \mapsto f(x)= a\times x + b</math> avec ''a'' et ''b'' des [[nombre réel|nombres réels]] fixés.
Dans l'expression ci-dessus, ''a'' et ''b'' sont des constantes et ''x'' est la variable.
La constante ''a'' est appelée ''coefficient directeur'' et ''b'' ''ordonnée à l'origine''.
Si ''a'' est nul, alors la fonction est constante.
Si ''b'' est nul alors la fonction est [[fonction linéaire|linéaire]] et sa droite représentative passe par l'origine.
== Propriété caractéristique ==
Une fonction affine est caractérisée par le fait que son [[taux d'accroissement]] est constant. En effet, si <math>x_1</math> et <math>x_2</math> sont deux réels, l'accroissement <math>f(x_1) - f(x_2)</math> est [[proportionnalité|proportionnel]] à <math>x_1 - x_2</math>:
:<math>f(x_1) - f(x_2) = a(x_1 - x_2) \,</math>
Cette propriété donne alors un outil pour déterminer le [[coefficient]] <math>a</math>:
:<math>a = \frac{f(x_1) - f(x_2)} {x_1 - x_2}</math> si <math>x_1 - x_2</math> est non nul.
Par conséquence, la [[dérivée]] d'une fonction affine est une fonction constante qui vaut le coefficient directeur de la fonction affine.
== Exemples ==
On rencontre quelques exemples de fonctions affines dans
* les abonnements téléphoniques: le prix de l'abonnement mensuel est A et le prix d'une communication à la minute est de 0,10 euros/minute. La facture téléphonique est alors une fonction affine du nombre x de minutes de communication dans le mois.
: <math>f(x) = A + 0,1\times x</math>
* La longueur d'un ressort : Si au repos le ressort à une longueur <math>L_0</math>, et si sa raideur est k, la longueur du [[ressort]] est une fonction affine de la force appliquée ([[loi de Hooke]]).
:<math>L(f) = L_0 + \frac{f}{k}</math>
:Dans ce cas, le coefficient directeur est <math>\frac{1}{k}</math> et l'ordonnée à l'origine <math>L_0</math>.
== Représentation graphique ==
[[Image:Linear functions2.PNG|thumb]]
La représentation graphique d'une fonction affine est une [[droite (mathématiques)|droite]] dont l'équation est
:<math>y = ax + b \,</math>
La droite coupe l'axe des ordonnées pour <math>y = b</math> (d'où le nom : '''ordonnée à l'origine'''). Lorsque b est égal à 0, la droite passe par l'origine du repère cartésien.
La droite a pour '''[[pente]]''' ou '''coefficient directeur''' le réel <math>a</math>. Si a>0, la fonction affine est croissante (la droite "monte"), si a<0, elle est décroissante (la droite "descend"). Par un processus analogue à celui vu pour la [[fonction linéaire]], un déplacement de 1 carreau en abscisse induit un déplacement de a carreaux en ordonnée.
==Détermination de a et b==
Soient deux points <math>L(x_1,y_1)</math> et <math>M(x_2,y_2)</math> appartenant à la droite d'équation <math>y = ax + b</math>, on a :
:<math>a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} </math>
:<math>b = y_1 - ax_1 = y_2 - ax_2 \,</math>
==Médias==
* [http://www.zoneflash.net/animation.php?r=flash3-0033 Représentation graphique interactive d'une fonction affine]
== Voir aussi ==
* [[Mathématiques]]
* [[Espace affine]]
* [[Transformation affine]]
* [[Fonction affine par morceaux]]
{{Portail mathématiques}}
[[Catégorie:Analyse]]
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