Fonction de répartition
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2008-07-22T07:10:59Z
Chassain
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/* Variables discrètes */
[[Image:Discrete probability distribution illustration.png|thumb|Fonctions de répartition d'une variable discrète, d'une variable à densité et d'une variable continue avec un atome]]
En [[probabilité]], la '''fonction de répartition''' d'une [[variable aléatoire]] <math>\ \scriptstyle X\ </math> est la fonction <math>\ \scriptstyle F_X</math> qui à tout réel <math>\scriptstyle x</math> associe
<math>
F_X(x) = P[X\leq x].
</math>
== Exemples de calculs de la fonction de répartition ==
=== Variables discrètes ===
Une variable aléatoire <math>\ \scriptstyle X\ </math> est dite discrète s'il existe un ensemble <math>\ \scriptstyle S\ </math> ''fini ou [[ensemble dénombrable|dénombrable]]'' tel que
<math>
P(X\in S)=1.
</math>
La loi de <math>\ \scriptstyle X\ </math> est déterminée sans ambiguité par la donnée de <math>\scriptstyle (p_s)_{s\in S}\ </math>, où
<math>
p_s=P(X=s).
</math>
On a alors
<math>
F_X(x)=\sum_{s\in S}\ p_s\ 1_{[s;+\infty[}(x).
</math>
où <math>1_E</math> est la [[fonction caractéristique (mathématiques)| fonction caractéristique]] de l'ensemble E.
[[Image:Repartitions-uniformes.jpg|thumb|right|350px|Fonction de répartition de la loi uniforme sur {0.2,0.4,0.6,0.8,1} (pour laquelle <math>\ \scriptstyle p_i=0.2,\ 1\le i\le 5\ </math>, en bleu) et de la loi uniforme sur l'intervalle [0,1] (en rouge)]]
Pour les variables aléatoires discrètes les plus courantes (par exemple, les lois [[Loi uniforme discrète|uniformes]], [[Loi binomiale|binomiales]], [[Loi de Poisson|de Poisson]]) <math>\ \scriptstyle S\ </math> est un [[ensemble bien ordonné]] : on peut alors numéroter ses éléments de manière croissante, p.e. <math>\scriptstyle s_1\le s_2\le s_3\le\dots </math> et numéroter les probabilités <math>\scriptstyle \ p_s\ </math> en conséquence, p.e. en posant <math>\scriptstyle \ p_i=p_{s_i},\ i\ge 1</math>. On a alors, si <math>s_i\le x < s_{i+1}</math>,
<math>F_X(x)= \sum_{1\le j\le i}p_j.</math>
Soit encore, plus généralement :
<math>
\begin{align}
F_X(x)&=\sum_{i\ge 1}\ q_i\ 1_{[s_i,s_{i+1}[}(x),
\\
q_i&=\sum_{1\le j\le i}p_j.
\end{align}
</math>
La fonction de répartition est alors une fonction constante par intervalles et sa représentation graphique est en [[fonction en escalier|escalier]].
=== Variables à densité ===
[[Image:F_repartition.png|thumb|right|350px|Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite]]
La fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité <math>\scriptstyle \ X\ </math> est une des [[primitive|primitives]] de la [[densité de probabilité]] <math>\scriptstyle \ f_X</math> de <math>\scriptstyle \ X</math>. Plus précisément c'est la primitive définie par:
<math>
F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(t)\, dt.
</math>
Ce n'est pas, toutefois, une [[primitive]] au sens strict du terme : si la variable <math>\scriptstyle \ X\ </math> est à densité, alors
*<math>\scriptstyle \ F_X</math> est dérivable ''[[Ensemble négligeable|presque partout]]'' (pour la [[mesure de Lebesgue]]),
*la dérivée de <math>\scriptstyle \ F_X</math> est ''[[Ensemble négligeable|presque partout]]'' (pour la [[mesure de Lebesgue]]) égale à <math>\scriptstyle \ f_X</math>,
et non pas ''partout''.
=== Miscellanées ===
L'[[escalier de Cantor]] est un exemple de fonction de répartition continue mais dont la dérivée est presque partout nulle. Ainsi, la formule précédente ne vaut pas pour l'escalier de Cantor : bien que la loi de probabilité associée à l'[[escalier de Cantor]] soit continue, cette loi ne possède pas de densité.
== Propriétés de la fonction de répartition ==
=== Propriétés caractéristiques ===
La fonction de répartition d'une variable aléatoire <math>\scriptstyle \ X\ </math> a les propriétés caractéristiques suivantes :
# <math>\scriptstyle \ F_X\ </math> est [[fonction monotone|croissante]] ;
# Elle est partout continue à droite ;
# <math>\lim_{x \to -\infty}F_X(x) = 0</math> ;
#<math> \lim_{x \to +\infty}F_X(x)=1 </math>.
Comme on l'a dit, les points 1 à 4 sont caractéristiques de la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle <math>\scriptstyle \ X\ </math> : étant donné une fonction réelle de la variable réelle, notons la <math>\scriptstyle F</math>, satisfaisant les points 1 à 4, on peut construire concrètement une variable aléatoire réelle <math>\scriptstyle \ X\ </math> ayant <math>\scriptstyle F</math> pour fonction de répartition. Application : cette construction sert à produire, sur ordinateur, des échantillons de taille arbitraire d'une loi de probabilité arbitraire, ce qui est l'ingrédient de base des [[méthode de Monte-Carlo|méthodes de Monte-Carlo]].
=== Autres propriétés ===
A cause des points 1, 3 et 4, <math>\scriptstyle \ F_X\ </math> est bornée, plus précisément
<math>
\forall x \in \mathbb{R},\ \ \ 0\leq F_X(x)\leq 1.
</math>
Comme toute [[théorème de la limite monotone|fonction monotone]] bornée, <math>\scriptstyle \ F_X</math> admet en tout point <math>\scriptstyle \ x</math> une limite à gauche <math>\scriptstyle \ F_X(x_-)</math> et le nombre de ses points de discontinuité est fini ou dénombrable.
La connaissance de la fonction de répartition permet de définir la probabilité de tout intervalle
* <math>P(X \in ]- \infty;x])= F_X(x)</math>
* <math>P(X \in ]x; + \infty[)=1-F_X(x)</math>
* <math>P(X \in ]x;y]) = F_X(y) - F_X(x)</math>
* <math>P(X \in ]x;y[ )= F_X(y_-)-F_X(x)</math>
: Cette propriété est la plus délicate et fait intervenir l'[[axiomes des probabilités|axiome des probabilités]] sur la probabilité d'une union dénombrable d'ensembles disjoints. On considère une suite <math>(y_n)</math> de réels croissante, vérifiant <math>y_0=x</math> et convergeant vers y. L'intervalle ]x ; y[ est alors union dénombrable des intervalles <math>\scriptstyle \ ]y_n;y_{n+1}]</math>. La probabilité de l'intervalle ]x ; y[ est alors la somme infinie des probabilités des intervalles <math>\scriptstyle \ ]y_n;y_{n+1}]</math> dont la probabilité est <math>\scriptstyle \ F_X(y_{n+1} ) - F_X(y_n)</math>. Par télescopage et passage à la limite, cette somme est <math>\scriptstyle \ F_X(y_-) - F_X(y_0) = F_X(y_-)-F_X(x)</math>
* <math>P(X \in [x;y[) = F_X(y_-) - F_X(x_-)</math>
* <math>P(X \in [x;y])=F_X(y) - F_X(x_-)</math>
* En particulier <math>P[X=x] = F_X(x) - F_X(x_-)\,</math>
On appelle atome de la variable aléatoire ''X'', tout réel ''a'' pour lequel <math>\scriptstyle \ P[X=a]>0</math>, cela correspond à un point de discontinuité de la fonction de répartition.
Ainsi la fonction de répartition d'une variable aléatoire <math>\scriptstyle \ X\ </math> est ''continue'' si et seulement si
<math>\forall x\in\mathbb{R},\ P[X = x]=0.</math>
On dit alors que la loi de <math>\scriptstyle \ X\ </math> est ''diffuse'', ou bien ''sans atome'', et, par extension, que la variable aléatoire <math>\scriptstyle \ X\ </math> elle-même est ''diffuse'' ou ''sans atome''. En particulier, les variables aléatoires réelles possédant une densité de probabilité sont diffuses. Il existe cependant des variables aléatoires diffuses mais ne possédant pas pour autant une densité de probabilité, c'est le cas, par exemple, de la variable aléatoire ayant pour fonction de répartition l'[[escalier de Cantor]].
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