Fonction elliptique 13729 30165867 2008-05-31T04:51:38Z Zorrobot 179160 robot Ajoute: [[zh:橢圓函數]] En [[analyse complexe]], une '''fonction elliptique''' est, grossièrement parlant, une [[fonction et application|fonction]] définie sur le [[plan complexe]] qui est doublement périodique (périodique dans deux directions). Elle peut être vue comme analogue à une [[fonction trigonométrique]] (qui a une seule période). == Description == Formellement, une fonction elliptique est une [[fonction méromorphe]] ''f'' définie sur <math>\mathbb{C}</math> pour laquelle il existe deux nombres complexes non nuls ''a'' et '' b'' tels que : *<math>{a\over b} \not\in \mathbb{R}</math> *<math>f(z+a)=f(z+b)=f(z) \ \forall z \in\mathbb{C}</math> De ceci, il suit que : <math>f(z+ma+nb)=f(z)\ \forall z \in \mathbb{C}, \forall m \in \mathbb{Z}, \forall n \in \mathbb{Z}</math> La plus importante classe de fonctions elliptiques est celle des [[Fonction elliptique de Weierstrass|fonctions elliptiques de Weierstrass]]; toute fonction elliptique peut être exprimée à l'aide de celles-ci. Les fonctions elliptiques sont les applications réciproques des fonctions [[intégrale elliptique|intégrales elliptiques]], et c'est de cette façon qu'historiquement elles ont été introduites. Tout [[nombre complexe]] ω tel que <math>f(z+\omega)=f(z) \ \forall z \in \mathbb{C}</math> est appelé « période » de ''f''. Si les deux périodes ''a'' et ''b'' sont telles que toute autre période ω puisse être écrite sous la forme ω = ''ma'' + ''nb'' avec ''m'' et ''n'' entiers, alors ''a'' et ''b'' sont appelées « périodes fondamentales ». Toute fonction elliptique possède une paire de périodes fondamentales, mais elle n'est pas unique. Si ''a'' et ''b'' sont des périodes fondamentales, alors tout [[parallélogramme]] de sommets d'[[affixe (homonymie)|affixe]] ''z'', ''z'' + ''a'', ''z'' + ''b'', ''z'' + ''a'' + ''b'' est appelé un « parallélogramme fondamental ». Translater un tel parallélogramme d'un multiple entier de ''a'' et ''b'' donne un parallélogramme du même type, et la fonction ''f'' se comporte identiquement sur ce parallélogramme translaté, à cause de la périodicité. Le nombre de [[pôle (mathématiques)|pôles]] dans tout parallélogramme fondamental est fini (et le même pour tout parallélogramme fondamental). À moins que la fonction elliptique ne soit constante, tout parallélogramme contient au moins un pôle, conséquence du [[théorème de Liouville (variable complexe)|théorème de Liouville]]. La somme des ordres des pôles dans tout parallélogramme fondamental est appelée l’« ordre » de la fonction elliptique. La somme des [[théorème des résidus|résidus]] des pôles dans un parallélogramme fondamental est égal à zéro, donc en particulier aucune fonction elliptique ne peut avoir un ordre égal à un. La [[dérivée]] d'une fonction elliptique est encore une fonction elliptique, de même période. L'ensemble de toutes les fonctions elliptiques de mêmes périodes fondamentales forme un [[corps (mathématiques)|corps]]. Plus précisément, un couple de périodes étant donné, toute fonction elliptique admettant ce couple de périodes peut être définie sur une certaine [[surface de Riemann]] : le [[tore]] complexe obtenu par recollement des couples de côtés opposés du parallélogramme fondamental. Les fonctions elliptiques sont alors les fonctions méromorphes sur ce tore. Par ailleurs, la fonction de Weierstrass associé à ce couple de périodes, et sa dérivée paramètrent une certaine courbe complexe : une [[courbe elliptique]]. {{Portail mathématiques}} [[Catégorie:Analyse complexe]] [[Catégorie:Fonction elliptique|*]] [[Catégorie:Géométrie algébrique]] [[de:Elliptische Funktion]] [[en:Elliptic function]] [[es:Función elíptica]] [[fi:Elliptinen funktio]] [[it:Funzioni ellittiche]] [[ja:楕円関数]] [[nl:Elliptische functie]] [[no:Elliptiske funksjoner]] [[pl:Funkcje eliptyczne]] [[pt:Função elíptica]] [[ru:Эллиптические функции]] [[sv:Elliptisk funktion]] [[zh:橢圓函數]]