Fonction périodique
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2008-07-21T15:56:39Z
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{{Voir homonymes|Période}}
En [[mathématiques]], une '''fonction périodique''' est une [[fonction (mathématiques)|fonction]] qui lorsqu'elle est appliquée à une variable, reprend la même valeur si on ajoute à cette variable une certaine quantité fixe appelée '''période'''. Des exemples de telles fonctions peuvent être obtenus à partir de phénomènes périodiques, comme l'heure indiquée par la petite aiguille d'une [[horloge]], les [[phases de la lune]], etc.
==Définition==
{{Clr}}
[[Image:sinus.svg|thumb|right|400px|La fonction [[sinus]] est périodique de période égale à <math>2\pi</math>.]]
Une fonction <math>f</math> définie un ensemble <math>\mathcal D \subset \R</math> de [[nombre réel|nombres réels]] est dit '''périodique''' de période <math>t \in \R^*</math> (ou <math>t</math>-périodique) si et seulement si:
:<math>\forall x\in\mathcal D,\ x+t\in \mathcal D\quad\mathrm{et}\quad \forall x\in\mathcal D,\ f(x+t)=f(x)\ </math>
Pour une fonction périodique, le [[graphe d'une fonction|graphe]] peut être tracé en recopiant de façon répétitive, une portion particulière de longueur une période, à intervalles réguliers : c'est une propriété de [[symétrie]] par [[translation (géométrie)|translation]].
Par exemple, la fonction partie fractionnaire <math>f</math> qui associe à un nombre réel sa partie fractionnaire définie par
:<math>\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)=x-[x]</math>
Ici, <math>[x]</math> désigne la [[partie entière]] de <math>x</math>. La fonction <math>f</math> est périodique et de période 1. Ainsi nous avons
:<math>f( 0,5 ) = f( 1,5 ) = f( 2,5 ) = \ldots = 0,5</math>.
Si une fonction <math>f</math> est périodique de période <math>t</math> alors pour tout <math>x</math> appartenant à l'ensemble de définition de <math>f</math> et pour tout entier <math>n</math>:
: <math>f( x + nt ) = f( x )</math>
Ce résultat se démontre par [[récurrence]].
Dans l'exemple précédent, la fonction étant de période 1, nous avons pour tout réel <math>x</math>
:<math>f( x ) = f( x + 1 ) = f( x + 2 ) \ldots</math>
Les fonctions [[fonction trigonométrique|sinus]] et cosinus sont périodiques et de période <math>2\pi</math>.
La théorie des [[série de Fourier|séries de Fourier]] cherche à écrire une fonction périodique arbitraire comme une somme de fonctions trigonométriques.
En [[physique]], un '''mouvement périodique''' est un mouvement dans lequel la position, (ou les positions) d'un système sont exprimables à l'aide de fonctions périodiques du temps, ayant toute la même période.
Voyez par exemple les articles [[onde en dent de scie]], et [[onde triangulaire]]
== Moyenne, dérivée et primitive des fonctions périodiques numériques ==
=== Valeur moyenne ===
La valeur [[moyenne]] d'une fonction périodique <math>f</math> [[intégrale|intégrable]] de période <math>T</math> est la valeur suivante, qui est indépendante de <math>a</math> :
:<math>\mu = \frac{1}{T} {\int_0^T f(x)\mathrm{d}x}=\frac{1}{T} \int_a^{a+T} f(x)\mathrm{d}x</math>
Ainsi la fonction cosinus est de moyenne nulle, son carré de moyenne 1/2.
Quitte à ajouter une constante à la fonction, on peut changer sa valeur moyenne.
=== Dérivée et primitive ===
* La [[dérivée]] d'une fonction <math>\mathcal C^1</math>, <math>T</math>-périodique, est <math>T</math>-périodique et de moyenne nulle
* Une fonction <math>f</math> [[continuité|continue]] et <math>T</math>-périodique admet une [[primitive]] <math>T</math>-périodique si et seulement si <math>f</math> est de moyenne nulle (toutes les primitives sont alors périodiques, une seule étant de moyenne nulle).
Pour une étude plus précise des propriétés de la dérivation pour les fonctions périodiques, il faut introduire les [[séries de Fourier]] ; on peut alors démontrer l'[[inégalité de Wirtinger]] qui compare les normes de <math>f</math> et de sa dérivée.
== Définition plus générale et ensemble de périodes ==
Soient <math>E</math> un ensemble muni d'une [[loi de composition interne]] notée additivement <math>+</math> et <math>F</math> un ensemble quelconque. Un élément <math>T \in E</math> étant donné, une fonction <math>T</math>-périodique ou fonction de période <math>T</math> de <math>E</math> dans <math>F</math>, est une [[fonction (mathématiques)|fonction]] de <math>E</math> dans <math>F</math> telle que:
:<math>\forall x\in E,\ f(x+T)=f(x)</math>.
Remarquons qu'à moins que la loi soit supposée [[commutativité|commutative]] cette définition dépend de la place de <math>T</math> à droite.
Plus fréquemment, <math>E</math> est un [[groupe commutatif]] dont l'ensemble des périodes possibles forme un sous-groupe.
Si on considère l'ensemble des périodes strictement positives d'une fonction <math>f</math> alors, si <math>f</math> est continue et que cet ensemble n'admet pas de [[plus petit élément]] alors <math>f</math> est constante, sinon <math>f</math> admet une '''plus petite période''' strictement positive.
Une fonction dont l'ensemble de définition est l'ensemble des [[nombre complexe|nombres complexes]] peut avoir deux périodes incommensurables sans être constante. Les [[fonction elliptique|fonctions elliptiques]] vérifient cette propriété (incommensurable veut dire dans ce contexte qu'elles ne sont pas multiples par un réel l'une pour l'autre.)
==Voir également==
*[[fréquence]]
*[[fonction presque périodique]]
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