Fonction presque périodique
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2008-06-15T06:38:44Z
Dfeldmann
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/* Propriétés */
{{ébauche|analyse}}
En [[mathématiques]], une '''fonction presque périodique''' (au sens de [[Harald Bohr]]) est une [[application (mathématiques)|application]] dont les propriétés ressemblent à celles d'une [[fonction périodique]].
==Définition==
Soit <math>f:\R \longrightarrow \R</math> une fonction et soit <math>\varepsilon>0</math>. Un [[nombre réel|réel]] non nul <math>T</math> est appelé une <math>\varepsilon</math>-presque période de <math>f</math> si et seulement si :
:<math>\sup_{t \in \mathbb{R}} |f(t + T) - f(t)| \leq \varepsilon</math>
On note <math>E(f,\varepsilon)</math> l'ensemble des <math>\varepsilon</math>-presque périodes de <math>f</math>. La fonction <math>f</math> est dite presque périodique si l'ensemble <math>E(f,\varepsilon)</math> est ''bien réparti'' pour tout <math>\varepsilon>0</math>, c'est-à-dire que pour tout <math>\varepsilon>0</math>, il existe un réel <math>\ell>0</math>, tel que tout [[intervalle]] de longueur <math>\ell</math> a une intersection non nulle avec <math>E(f,\varepsilon)</math>.
Par exemple, la fonction <math>\R \longrightarrow \R,\ t \mapsto \sin t + \sin \sqrt{2}t</math> est presque périodique (bien qu'elle ne soit pas périodique).
==Propriétés==
* Si <math>f</math> et <math>g</math> sont deux fonctions presque périodiques, alors les fonctions <math>f+g</math> et <math>fg</math> le sont aussi (contrairement aux apparences, ce résultat n'est pas trivial).
* Une fonction périodique et [[continuité|continue]] est presque périodique.
* Toute fonction presque périodique est bornée.
* Toute fonction presque périodique est [[continuité uniforme|uniformément continue]].
* Si <math>f</math> est une fonction presque périodique et <math>F</math> est une fonction uniformément continue, alors <math>F \circ f</math> est une fonction presque périodique.
* Si une suite de fonctions presque périodiques [[convergence uniforme|converge uniformément]] vers une fonction <math>f</math>, alors <math>f</math> est presque périodique.
* '''Théorème de Stone-Weierstrass pour les fonctions presque périodiques''' : l'ensemble des fonctions presque périodiques est l'adhérence, dans l'espace des fonctions continues bornées de <math>\mathbb{C}</math>, de l'ensemble <math>S = \{f, \exists (a_1, a_2, \dots, a_n) \in \mathbb{C}^n, \exists (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n, \forall t \in \mathbb{R}, f(t) = a_1e^{i\lambda_1 t} + \cdots + a_ne^{i\lambda_nt}\}</math>.
Il existe une théorie plus complète donnée par Besicovitch.
==Références bibliographiques==
* A.S. Besicovitch,'' Almost periodic functions'', Dover, Cambridge, 1954.
* Favard, ''Leçons sur les fonctions presque-périodiques'', Gauthiers-Villars, Paris, 1933.
{{portail mathématiques}}
[[Catégorie:Analyse réelle]]
[[en:Almost periodic function]]