Force conservative
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2008-03-16T10:18:48Z
Tizeff
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liens internes
Une [[Force (physique)|force]] est dite '''conservative''' lorsque le [[travail_d'une_force|travail]] produit par cette force est indépendant du chemin suivi par son point d'action. Si ce n'est pas le cas elle alors dite '''non-conservative'''.
Ce type de force possède trois propriétés remarquables :
# L'[[énergie mécanique]] d'un système soumis uniquement à l'action de forces conservatives est conservée.
# Il existe un [[champ scalaire]] <math>U\,</math>, aussi appelé [[potentiel d'un champ vectoriel|potentiel]], tel que la force s'écrit <math>\vec{F}=-\vec{\nabla}\,U\,</math>.
# Si le point d'application d'une force conservative se déplace d'un point A à un point B, le travail <math>W\,</math> de la force en question s'obtient simplement à partir du potentiel <math>U\,</math>: <math>W=U(A)-U(B)\,</math>.
==Exemples courants de forces conservatives et non-conservatives==
* La [[Loi de Coulomb (électrostatique)|force électrique]] qui dérive du [[potentiel électrique]].
* La [[force gravitationnelle]] qui dérive du [[potentiel de gravitation]].
* La [[force de Lorentz]]<ref>Ainsi que son cas particulier, la [[force de Laplace]] agissant sur un élément de [[circuit électrique]]</ref> ne travaillant pas mais ne dérivant pas d'un potentiel, on ne les place donc pas dans la catégorie des forces conservatives.
* Les forces de [[frottement]], qu'il s'agisse de [[frottement solide]] ou de [[frottement fluide]] ne sont pas des forces conservatives car leur travail dépend explicitement du chemin suivi par le système.
* Les forces de [[pression]] ne sont pas conservatives car au cours de l'évolution de l'énergie est transmise à l'environnement extérieur au système.
== Indépendance du chemin suivi ==
Considérons une particule matérielle se déplaçant d'un point A vers un point B, et sur lequel s'exerce une force <math>\vec{F}</math> conservative, alors le travail produit par cette force ne dépend pas du chemin suivi par le solide. Ainsi pour deux trajectoires ''C<sub>1</sub>'' et ''C<sub>2</sub>'' reliant le point A au point B, la force fournit le même travail :
<center>
[[Image:Chemins_d_intégration.png]]
:<math>W=\int_{C_1}\vec{F}\cdot\vec{dl}=\int_{C_2}\vec{F}\cdot\vec{dl}</math>
</center>
Une conséquence immédiate de cette propriété est que dans le cas d'une trajectoire fermée (si la particule retourne à sa position initiale), le travail d'une force conservative est nul.
== Potentiel d'une force conservative ==
=== Existence du potentiel ===
Considérons maintenant une force conservative fonction de la position de son point d'application, c'est-à-dire telle que <math>\vec{F}</math> soit une fonction des coordonnées <math>x\,</math>, <math>y\,</math> et <math>z\,</math> alors, en vertu de l'indépendance du chemin suivi, quelle que soit la trajectoire fermée <math>\mathcal{C}\,</math>, le travail de la force est nul :
<center><math>W=\oint_{\mathcal{C}}\vec{F}(x,y,z)\cdot\vec{dl}=0</math></center>
dont on déduit d'après le [[théorème de Stokes]] que <math>\vec{\nabla}\wedge\vec{F}=\vec{0}</math>. Cette dernière relation implique l'existence d'un champ scalaire <math>U(x,y,z)\,</math> tel que :
<center><math>\vec{F}=-\vec{\nabla}\,U=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,U</math></center>
[[CQFD]].
Le champ <math>U\,</math> est appelé potentiel de la force et est [[analyse dimensionnelle|homogène]] à une [[énergie]]. De par sa définition, le champ <math>U\,</math> est défini à une constante près. La valeur de cette dernière est généralement arbitraire, auquel cas elle est choisie de façon à simplifier les calculs.
=== Réciproque ===
Réciproquement, considérons une force <math>\vec{F}</math> dérivant d'un potentiel <math>U\,</math>:
<center><math>\vec{F}=-\vec{\nabla}\,U=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,U</math></center>
En remarquant que <math>dU=\vec{\nabla}\,U\cdot\vec{dl}</math> est une [[Dérivée_partielle|différentielle totale]], on trouve que le travail de la force prend l'expression suivante :
<center><math>
W=\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot\vec{dl}=\int_{A}^{B}-\vec{\nabla}\,U\cdot\vec{dl}
=-\int_{A}^{B}dU=U(A)-U(B)
</math></center>
Le travail ne dépend donc que de la valeur du potentiel aux points A et B. Le travail d'une force dérivant d'un potentiel ne dépend donc pas du chemin suivi, une telle force est donc ''conservative''.
[[CQFD]].
== Conservation de l'énergie mécanique==
<!---la phrase suivante est lourde. à arranger --->
Les forces ''conservatives'' sont appelées ainsi parce l'[[énergie mécanique]] d'un système soumis à l'action de forces ''conservatives'' est constante : l'énergie du système se conserve.
Cette propriété est une conséquence immédiate du [[Énergie cinétique#Théorème de l’énergie cinétique|théorème de l'énergie cinétique]]. Pour un solide parcourant une trajectoire reliant un point A à un point B et soumis à une force conservative de potentiel <math>U\,</math>, on a d'une part égalité entre la variation de l'[[énergie cinétique]] et le travail de la force :
<center><math>E_c(B)-E_c(A)=W\,</math></center>
et d'autre part, le travail de la force conservative qui s'obtient à partir de la variation du potentiel entre les points A et B :
<center><math>W=U(A)-U(B)\,</math></center>
dont on déduit immédiatement l'égalité suivante :
<center><math>E_c(B) + U(B)=E_c(A) + U(A)\,</math></center>
On voit donc que la somme de l'énergie cinétique et du potentiel se conserve. Cette quantité est précisément l'[[énergie mécanique]] du système. L'expression ci-dessus montre clairement que l'énergie totale se répartit entre l'[[énergie cinétique]] et le potentiel, et peut donc passer successivement de l'une à l'autre. C'est pourquoi le potentiel <math>U\,</math> est aussi appelé [[Énergie_potentielle_mécanique|énergie potentielle]] : c'est de l'énergie qui peut '''potentiellement''' se transformer en énergie cinétique.
==Notes==
<references/>
== Voir aussi ==
* [[Force (physique)|Force]]
* [[Énergie_potentielle_mécanique|Énergie potentielle]]
* [[Énergie cinétique]]
* [[Énergie mécanique]]
* [[Potentiel d'un champ vectoriel]]
{{portail physique}}
[[Catégorie:Mécanique]]
[[de:Konservative Kraft]]
[[en:Conservative force]]
[[es:Fuerza conservativa]]
[[he:כוח משמר]]
[[it:Forze conservative]]
[[ko:보존력]]
[[nl:Conservatieve kracht]]
[[pl:Siła zachowawcza]]
[[pt:Força conservativa]]
[[ru:Консервативные силы (физика)]]
[[sl:Konservativna sila]]
[[zh:保守力]]