Formule de Weizsäcker
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2008-02-02T21:51:07Z
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La '''formule de Weizsäcker''', appelée aussi '''formule de Bethe-Weizsäcker''', est une formule donnant une valeur approximative de l'[[énergie de liaison nucléaire]] ''B'' caractérisant la liaison entre les [[nucléon]]s qui constituent le [[noyau atomique|noyau]] des [[atome]]s. Voir un résumé dans [[Structure nucléaire#Modèle de la goutte liquide|Modèle de la goutte liquide]].
Son nom provient des inventeurs de la formule, à savoir les physiciens [[Allemagne|allemands]] [[Carl Friedrich von Weizsäcker]] et [[Hans Bethe]].
== Expression ==
:<math>B = a_vA - a_sA^\frac{2}{3} - a_c Z^2 A^{-\frac{1}{3}} - a_a\frac{(N-Z)^2}{A} \pm a_pA^{-\frac{1}{2}}</math><br>
[[Image:Binding energy.jpg|thumb|right|400px|Courbe représentant l'[[énergie de liaison nucléaire|énergie de liaison]] par nucléon en fontion du nombre de nucléons dans le noyau.]]
où ''B'' est l'[[énergie de liaison atomique|énergie de liaison]], ''A'' est le [[nombre de masse]] (ou nombre de nucléons contenus dans le noyau ''A = Z+N''), ''Z'' est le nombre de [[proton]]s, ''N'' est le nombre de [[neutron]]s.
Les valeurs des constantes utilisées sont (en [[Électron-volt|MeV]]) :
*a<sub>v</sub> = 15,6
*a<sub>s</sub> = 17,2
*a<sub>c</sub> = 0,7
*a<sub>a</sub> = 23,6
*a<sub>p</sub> = 11,2
Il existe différents jeux de paramètres pour la formule de Weizsäcker. Le choix du jeu de paramètres se définit en fonction des noyaux étudiés. Ainsi certains jeux de paramètres donneront des énergies de liaison plus précises pour les noyaux stables tandis que d'autres jeux donneront des résultats plus satisfaisant pour les [[Noyau exotique|noyaux exotiques]].
Cette formule permet de retrouver les résultats expérimentaux ci-contre.
== Explication des différents termes ==
La formule de Bethe-Weizsäcker fait apparaitre cinq termes :<br>
<math>\,B=E_v+E_s+E_c+E_a+E_p</math>.<br>
* Les deux premiers sont dûs au [[modèle de la goutte liquide]] du noyau.
* Le troisième exprime la répulsion [[électrostatique]] entre les protons.
* Les deux dernières sont d'ordre [[physique quantique|quantique]].
<br>
Pour expliquer ces différents termes, il faut supposer que le noyau est sphérique, de rayon <math>R_0</math>. Et comme il est ''compact'' (son volume est proportionnel au nombre de nucléons ''A''), alors <math>R_0</math> est proportionnel à <math>A^{1/3}</math>.
=== Énergie de volume ===
Pour expliquer le premier terme, on peut utiliser une analogie avec un [[gaz parfait]] pour lequel l'[[énergie interne]] est proportionnelle au nombre de particules constituant le gaz. Ainsi, on pose que cette ''énergie de volume'' <math>E_v</math> est proportionnelle à ''A'' :<br>
<math>\,E_v = a_v A</math>.
=== Énergie de surface ===
La notion de [[tension de surface]] sur une goutte liquide peut être utilisée pour interpréter le second terme. En effet, les nucléons à la surface du noyau sont en contact avec moins de nucléons que ceux du centre. L'énergie de liaison en est donc diminuée. Ainsi on introduit l'énergie de surface <math>E_s</math>, proportionnelle à la surface du noyau :<br>
<math>\,E_s = -a_s A^{2/3}</math>.
=== Répulsion électrostatique ===
Les protons étant tous [[charge électrique|chargés]] positivement, il se repoussent mutuellement. Cela participe à diminuer l'énergie de liaison par un terme de répulsion électrostatique <math>E_c</math>. Cette énergie peut être calculée de la manière suivante :
<br>
:Le [[Travail d'une force|travail]] <math>dW</math> nécessaire pour déplacer une couche sphérique chargée, d'épaisseur <math>dr</math> de l'infini à une distance <math>r</math> du centre vaut :
:<math>dW=q(V(\infty)-V(r))</math> où ''q'' est la charge de la couche, et V(r) est le [[potentiel électrique]] à la distance ''r'' du centre.<br>
:En posant <math>\rho = \frac{Ze}{\frac{4}{3}\pi R_0^3} </math> la [[densité volumique de charge]], on a <math>q = \rho 4\pi r^2 dr</math>. De plus, la charge dans la sphère de rayon ''r'' vaut <math>\rho \frac{4}{3}\pi r^3</math>, et donc le [[théorème de Gauss]] donne :<br> <math>V(r)=\rho \; \frac{4}{3} \pi r^3 \frac{1}{4\pi \epsilon_0 r}=\frac{\rho r^2}{3 \epsilon_0}</math> et <math>V(\infty) = 0</math>.
:C'est-à-dire <math>dW = -\frac{4\pi \rho^2}{3\epsilon_0}r^4dr</math>.
:En intégrant ce travail de 0 à <math>R_0</math>, on obtient <math>E_c=-\frac{4\pi \rho^2}{15\epsilon_0}R_0^5=-\frac{3Z^2e^2}{20\pi \epsilon_0\ R_0}</math>.
Finalement on obtient : <math>E_c=-a_c\frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}}</math>
=== Énergie d'asymétrie ===
La répulsion électrostatique étant en compétition avec l'[[interaction forte]] pour stabiliser le noyau, les noyaux lourds ont besoin d'un surplus de neutrons afin que cette interaction forte contrebalance l'effet de la répulsion électrostatique. Il y a donc une ''asymétrie'' du nombre de neutrons par rapport au nombre de protons. Cela n'a, ''a priori'', aucun autre effet sur l'énergie de liaison que ceux qui ont été étudiés plus haut. En réalité, un effet [[physique quantique|quantique]] va jouer un rôle : les nucléons se trouvent sur des [[niveau d'énergie|niveaux d'énergie]], ce qui fait qu'un surplus de neutrons va augmenter leur énergie. On obtient alors que l'effet sur l'énergie de liaison s'écrit :
<math>E_a=-a_a\frac{(N-Z)^2}{A}</math>.
=== Énergie d'appariement ===
Un deuxième effet quantique joue un rôle dans l'énergie de liaison : les nucléons ayant un [[spin]] demi-entier ont tendance à s'''apparier'' deux à deux, pour se grouper préférentiellement en nombre pair. Ainsi, un nombre impair de neutrons ou de protons sera moins stable.<br>
Une formule empirique permet de rendre compte de cet effet en posant une ''énergie d'appariement'' (ou de ''parité'') <math>E_p</math> ayant différentes valeurs selon qu'il y ait un nombre pair ou impair de neutrons ou de protons :<br>
<math>E_p=a_p\left\{
\begin{matrix} +A^{-\frac{1}{2}} & \mbox{cas pair-pair}\;\;\;\;\;\;\;\; \\ 0 & \mbox{cas pair-impair}\;\;\;\; \\ -A^{-\frac{1}{2}} & \mbox{cas impair-impair}
\end{matrix}\right.</math>
== Voir aussi ==
* [[Courbe d'Aston]]
* [[Physique nucléaire]]
* [[Fission nucléaire]]
* [[Fusion nucléaire]]
{{portail physique}}
[[Catégorie : physique nucléaire]]
[[de:Bethe-Weizsäcker-Formel]]
[[en:Semi-empirical mass formula]]
[[he:נוסחת המסה של ויצאקר]]
[[ja:液滴模型]]
[[pl:Model kroplowy]]
[[sv:Vätskedroppmodellen]]
[[zh:液滴模型]]