Formule sommatoire de Poisson 603834 28133987 2008-04-02T14:36:25Z Badmood 4507 nouveau style de bandeau de portail, voir [[Wikipédia:Prise de décision/Bandeaux de portail]] {{Voir homonymes|Poisson (homonymie)}} La '''formule sommatoire de Poisson''', parfois appelée '''resommation de Poisson''', établit une relation entre le spectre de l'[[opérateur de Laplace-Beltrami]] sur le [[cercle]] et les longueurs des [[géodésique]]s périodiques sur cette courbe. Elle a été découverte par [[Siméon Denis Poisson]]. == Formule sommatoire de Poisson == === Notations === Soit une fonction <math>f\,</math> dont la [[transformée de Fourier]] est notée <math>\hat{f}</math>, c’est-à-dire : <center><math> f(x) = {1\over 2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) \ e^{ i x \omega} \ d \omega </math>,</center> <center>et <math> \hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ e^{- i x \omega} \ dx </math>.</center> === Théorème === Soit ''f'' une fonction complexe sur <math>\R</math> deux fois continûment différentiable ; on suppose que ''f'' et ses deux premières dérivées sur <math>\R</math> sont intégrables, et qu'elle satisfait l'estimation ::<math>\forall x\in \R,\quad |f(x)|\le \frac{C}{1+x^2}.</math> Soit ''a'' un nombre strictement positif. Notons <math>\omega_0=2\pi/a</math>, le mode fondamental, et <math>\hat f</math> la transformée de Fourier de ''f''. Alors, on a l'identité suivante: ::<math> S(t) \equiv \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(t + n a) = \frac{1}{a} \sum_{m=-\infty}^{\infty} \hat{f}(m \omega_0) \ e^{i m \omega_0 t} </math>. === Démonstration de la formule === Le membre de gauche de la formule sommatoire de Poisson est la somme d'une série de fonctions continues. L'hypothèse faite sur le comportement de ''f'' à l'infini implique que cette série [[convergence normale|converge normalement]] sur tout <math>\R</math>. Par conséquent, sa somme est une fonction continue, et la formule de définition montre qu'elle est [[périodique]] de période ''a''. Nous pouvons donc calculer les coefficients de sa [[série de Fourier]] en exponentielles complexes: ::<math>c_m=\int_0^a \sum_{n\in\Z} f(t+na)e^{-2\mathrm{i}\pi mt/a}\, dt.</math> Du fait de la convergence normale de la série définissant ''S'', on peut échanger intégration et sommation, et écrire ainsi ::<math>c_m=\sum_{n\in\Z}\int_0^a f(t+na) e^{-2\mathrm{i}\pi mt/a}\, dt.</math> Si on effectue dans chaque intégrale le changement de variable ''t''+''na''=''s'', on obtient ::<math>c_m=\sum_{n\in\Z}\int_{na}^{(n+1)a} f(s) e^{-2\mathrm{i}\pi m(s-na)/a}\, ds=\hat f(2m\pi/a).</math> D'après nos hypothèses sur ''f'' et ses dérivées, et les identités classiques sur la transformée de Fourier d'une dérivée, on voit que la fonction <math>\hat f</math> vérifie l'estimation ::<math>\forall \omega\in \R, \quad |\hat f(\omega)|\le \hat C/(1+\omega^2).</math>. Par conséquent, la série des <math>c_m</math> est absolument convergente ; on est dans une situation où on peut sommer la série de Fourier de ''S'', et on obtient ::<math>S(t)=\frac{1}{a}\sum_{m\in \Z}c_m e^{2\mathrm{i}\pi mt/a}=\frac{1}{a}\sum_{m\in\Z}\hat f(2m\pi/a) e^{2\mathrm{i}\pi mt/a}.</math> C'est la formule désirée, ''modulo'' le remplacement de <math>2\pi/a</math> par <math>\omega_0</math>. === Convention alternative === Si on utilise les conventions suivantes : <center><math> f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{F}(\omega) \ e^{- \, 2 \pi i x \omega} \ d \omega </math>,</center> <center><math> \tilde{F}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ e^{+ \, 2 \pi i x \omega} \ dx </math>,</center> alors la formule sommatoire de Poisson se réécrit (avec <math>t=0\,</math> et <math>a=1\,</math>) : <center><math> \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) \ = \ \sum_{m \in \mathbb{Z}} \tilde{F}(m) </math>.</center> === Sur les conditions de convergence === Une façon pratique de passer outre les conditions de régularité imposées à la fonction <math>f\,</math> est de se placer dans le contexte plus général de la [[Distribution (analyse mathématique)|théorie des distributions]]. Si on note <math>\delta (x)\,</math> la [[distribution de Dirac]] alors si on introduit la distribution suivante : <center><math> \Delta (x) \equiv \sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta (x-n), </math></center> une façon élégante de reformuler la sommation est de dire que <math>\Delta (x)\,</math> est sa propre transformée de Fourier. == Applications de la resommation de Poisson == Les exemples les plus élémentaires de cette formule permettent de déterminer des sommes simples d'entiers : <center><math> S \equiv \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}, </math></center> ou bien encore : <center><math> S \equiv -\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^4}= \frac{7\pi^4}{720}. </math></center> En les convertissant en [[série géométrique|séries géométriques]] qui peuvent être sommées exactement. De façon générale, la resommation de Poisson est utile dans la mesure ou une série qui converge lentement dans l'espace direct peut être transformée en une série convergeant beaucoup plus vite dans l'espace de Fourier(si on prend l'exemple de [[gaussienne|fonctions gaussiennes]], une gaussienne de grande variance dans l'espace direct est convertie en une gaussienne de variance petite dans l'espace de Fourier). C'est l'idée essentielle qui sous-tend la [[sommation d'Ewald]]. == Interprétation géométrique == === Définitions === Le cercle plat, ou tore ''T'' à une dimension, est une courbe compacte de courbure nulle qui peut se représenter comme l'[[espace quotient]] de la droite euclidienne <math> \mathbb{R} </math> par un sous-groupe discret <math> a \mathbb{Z} </math> du groupe des isométries : <center><math> T \ = \ \mathbb{R} \ / \ a \mathbb{Z}. </math></center> === Géodésiques périodiques === Les géodésiques périodiques du tore plat ont pour longueurs : <center><math> l_n \ = \ n \, a \ , \quad n \ \in \ \mathbb{N}</math></center>. === Spectre de l'opérateur de Laplace-Beltrami === Considérons l'[[opérateur de Laplace-Beltrami|opérateur de Laplace]] sur ''T'' : <center><math> \Delta \ u(x) \ = \ \frac{d^2 u(x)}{d x^2}.</math></center> Cherchons en particulier ses valeurs propres <math>\lambda_n</math>, solution de l'équation aux valeurs propres : <center><math> - \ \Delta \ u_n(x) \ = \ \lambda_n \ u_n(x).</math></center> où les fonctions propres sont dans <math>u_n(x) \in C^{\infty}(\mathbb{R}) </math> et vérifient la condition de périodicité : <center><math> \forall \ p \ \in \ \mathbb{Z} \ , \quad u_n( x + p a ) \ = \ u_n(x). </math></center> Ces valeurs propres forment une suite ''dénombrable'' : <center><math> \lambda_n \ = \ \frac{4 \pi^2 n^2}{a^2} \ , \quad n \ \in \ \mathbb{N}, </math></center> qu'on peut ranger par ordre croissant : <center><math> 0 = \lambda_0 < \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots .</math></center> == Généralisations == On peut facilement formuler une généralisation de cette formule en dimension <math>n\,</math>. Étant donné un [[Réseau (groupe)|réseau]] <math>\Lambda\subset\mathbb{R}^n\,</math> alors on peut définir le [[réseau dual]] <math>\Lambda'\,</math> (comme formes dans l'[[espace dual|espace vectoriel dual]] à valeur entière sur <math>\Lambda\,</math> ou via la [[dualité de Pontryagin]]). Alors si on considère la distribution de dirac [[distribution de Dirac#Distribution de Dirac en dimension supérieure|multidimensionnelle]] qu'on note encore <math>\delta (x)\,</math> avec <math>x\in\mathbb{R}^n\,</math> on peut définir la distribution <center><math> \Delta_{\Lambda}(x)=\sum_{\lambda\in\Lambda}\delta (x-\lambda) \,</math>.</center> Cette fois-ci on obtient une formule sommatoire de Poisson en remarquant que la transformée de Fourier de <math>\Delta_{\Lambda} (x)\,</math> est <math>\Delta_{\Lambda'} (x)\,</math> (en considérant une normalisation appropriée de la transformée de Fourier). Cette formule est souvent utilisée dans la théorie des [[fonction theta|fonctions theta]]. En [[théorie des nombres]] on peut généraliser encore cette formule au cas d'un [[groupe abélien]] [[espace localement compact|localement compact]]. En [[analyse harmonique]] non-commutative cette idée est poussée encore plus loin et aboutit à la [[formule des traces de Selberg]] et prend un caractère beaucoup plus profond. Un cas particulier est celui des groupes abéliens finis, la formule sommatoire de poisson s'applique simplement ''(cf [[Analyse harmonique sur un groupe abélien fini]])'' et possède de nombreuses applications à la fois théoriques en [[arithmétique]] et appliquées par exemple en [[théorie des codes]] et en [[cryptographie]] (cf [[fonction booléenne]]). == Articles liés == * [[Opérateur de Laplace-Beltrami]] * [[Formule des traces de Selberg]] * [[Formule des traces de Gutzwiller]] == Bibliographie == * Matthew R. Watkins ; [http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/physics4.htm page personnelle] sur les liens entre la théorie des nombres et la physique théorique. {{Portail|mathématiques|physique}} [[Catégorie:Analyse harmonique]] [[Catégorie:Méthode mathématique de la physique]] [[Catégorie:Analyse complexe]] [[Catégorie:théorie analytique des nombres]] [[de:Poissonsche Summenformel]] [[en:Poisson summation formula]]