Fraction continue
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31643689
2008-07-17T06:48:42Z
Cbigorgne
155220
/* Bibliographie */ oups!
{| style="width:180px;border:1px solid #d0d0d0; margin:0 2px 1em 1em;float:right" cellspacing="3" cellpadding="5"
| align=center border=1px solid #d0d0d0 | <math> \sqrt 2 = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \frac{1}{2+\,\cdots}}}</math>
|-
|<small>Exemple de développement infini en fraction continue</small>
|}
En [[mathématiques]], une '''fraction continue''' ou '''fraction continue simple''' ou encore '''fraction continuée'''<ref>Pour [[Jean Dieudonné]], {{Citation|le terme traditionnel en français est « fraction continue », ce qui risque d'entraîner des confusions fâcheuses lorsque la fraction dépend d'un paramètre variable ; l'anglais évite cette confusion en disant ''continued'' et non ''continuous''}} ({{Dieudonné (dir.)}}), d'où la traduction littérale de « fraction continuée ».</ref> est une expression de la forme :
<center><math>a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\dots}}}</math></center>
comportant un nombre fini ou infini d'étages. Une '''fraction continue généralisée''' est l'analogue d'une fraction continue, mais avec les 1 remplacés par des valeurs ''b''<sub>j</sub> :
<center><math>a_0+\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\frac{b_3}{a_3+\dots}}}</math></center>
Le présent article porte principalement sur les fractions continues simples.
On montre qu'on peut représenter tout nombre réel sous forme d'une fraction continue, finie ou infinie, dans laquelle ''a''<sub>0</sub> est un entier relatif et les ''a''<sub>j</sub> sont des entiers strictement positifs. Le sens du mot ''représenter'' sera précisé ultérieurement.
Comme dans la notation décimale usuelle, où chaque nombre réel est approché par des [[nombre décimal|nombres décimaux]] de plus en plus précisément au fur et à mesure de la donnée des décimales successives, de même chaque nombre réel est approché par des fractions étagées de la forme ci-dessus de plus en plus précisément au fur et à mesure qu'on rajoute des étages. En outre, s'il faut une infinité de décimales pour décrire exactement un nombre non décimal, il faut un développement infini en fraction continue pour décrire exactement un nombre irrationnel.
Les fractions continues sont utiles en [[approximation diophantienne]], notamment parce qu'elles fournissent, en un certain sens, les « meilleures » approximations des nombres réels par des [[nombre rationnel|nombres rationnels]]. Cette propriété est à l’origine d’[[algorithme]]s pour l’[[fraction continue et approximation diophantienne|approximation]] de racines carrées, mais aussi de démonstrations d’[[nombre irrationnel|irrationalité]] voire de [[nombre transcendant|transcendance]] pour certains nombres comme [[Pi|π]] ou ''[[Base des logarithmes naturels|e]]''. La [[fraction continue d'un nombre quadratique|périodicité des fractions continues]] des [[racine carrée|racines carrées]] d’entiers strictement supérieurs à ''un'' et [[Entier sans facteur carré|sans facteur carré]] a des conséquences utiles pour l’étude de l’[[équation de Pell-Fermat]].
Déjà usitées chez les [[Mathématiques indiennes|mathématiciens indiens]] au Moyen Âge, les fractions continues sont étudiées en Europe dès le {{XVIIe siècle}} et constituent encore un vaste sujet de [[recherche mathématique|recherche]], près de 3 000 articles ont été publiés sur ce sujet au {{XXe siècle}}. Elles sont maintenant généralisées à d'autres expressions, appliquées à l'approximation de [[série entière|séries entières]] appelées [[approximant de Padé]] ou encore adaptées aux [[application linéaire|applications linéaires]].
[[Image:Joseph Louis Lagrange.jpg|thumb|250px|right|[[Joseph-Louis Lagrange]] établit de manière rigoureuse les propriétés des fractions continues des [[entier quadratique|entiers quadratiques]].]]
== Tour d'horizon ==
La notion de fraction continue est vaste et se retrouve dans de nombreuses branches des mathématiques. Les concepts associés peuvent aussi bien être relativement simples comme l'[[algorithme d'Euclide]] ou beaucoup plus subtils comme une [[fonction méromorphe]].
Il est possible, dans un premier temps, de voir une fraction continue comme une [[suite (mathématiques)|suite]] de [[nombre entier|nombres entiers]] qui ''représente'' un [[nombre réel]]. Cette situation est un peu la même que celle du [[système décimal]] qui représente π par la suite d'entiers 3, 1, 4, 1, 5, 9 ... Sous forme de fraction continue, la suite est 3, 7, 15, 292, 1, 1, ... Un premier champ d'étude consiste à étudier la relation entre la suite 3, 7, 15, 292, 1, 1, .... et celle des nombres rationnels que propose la fraction continue, en l'occurence 3, 22/7, 333/106 etc, il permet de savoir comment passer de la première suite à la deuxième, comment la deuxième converge et répond à d'autres questions de cette nature. Tel est essentiellement l'objet de cet article.
Les fractions continues ont une relation particulière avec les [[racine carrée|racines carrées]] ou plus généralement les nombres, dits [[entier quadratique|quadratiques]], de la forme ''a'' + ''b''.√''d'' ou ''a'' et ''b'' sont des [[nombre rationnel|nombres rationnels]] et ''d'' un [[entier sans facteur carré]]. Les fractions continues associées sont périodiques, à partir d'un certain rang, c'est à dire que la suite des entiers formant la fraction continue se répète à partir d'un certain rang et jusqu'à l'infini. Cette situation est à l'image des représentations décimales infinies de nombres rationnels. Ces fractions continues permettent de résoudre un célèbre problème d'[[arithmétique]] appelé [[équation de Pell-Fermat]]. Cette question fait l'objet de l'article [[Fraction continue d'un nombre quadratique]].
A l'image du système décimal, la fraction continue offre des nombres rationnels de plus en plus approchés de leur cible. Ces approximations sont bien meilleures que celles décimales. La deuxième approximation décimale de π, égale à 31/10 possède un dénominateur relativement proche de celui de la deuxième approximation de la fraction continue 22/7, en revanche 22/7 est plus de 30 fois plus précis que 31/10. Ce type d'approche d'un nombre réel par un nombre rationnel est appelé [[approximation diophantienne]]. Les fractions continues y jouent un grand rôle. Elles ont permis de construire le premier [[nombre transcendant]] connu ou de montrer que [[e (nombre)|e]] la base du logarithme népérien est irrationnel. A condition de généraliser la définition d'une fraction continue, il devient possible de montrer que π est aussi irrationnel puis que ces deux derniers nombres sont [[nombre transcendant|transcendants]]. Cette approche est traitée dans l'article [[Fraction continue et approximation diophantienne]].
Une fraction continue ne concerne pas uniquement les nombres mais aussi les fonctions. On construit des fractions continues généralisées en remplaçant les coefficients ''a''<sub>n</sub> et ''b''<sub>n</sub> par des polynômes. Une motivation provient de l'[[analyse complexe]], qui a pour objet l'étude des fonctions de la variable [[nombre complexe|complexe]] à valeur complexe, ayant une bonne propriété de régularité appelée [[dérivabilité]]. L'approche classique consiste à construire une suite de [[polynôme]]s de degré de plus en plus élevé, appelée [[série entière]], et qui converge vers la fonction cible. Une spécificité fréquente, pour ce type de fonction est de posséder des [[Pôle (mathématiques)|pôles]], c'est à dire des espèces de montagnes qui grimpent jusqu'à l'infini. Sa série entière ne permet pas de ''voir'' plus loin qu'un pôle. Si, au lieu d'approcher la fonction par des polynômes, on utilise des [[fonction rationnelle|quotients]], on construit des fractions continues appelées [[approximant de Padé|approximants de Padé]]. Elles possèdent le mérite de permettre de voir l'autre versant des pôles.
D'autres propriétés ont été étudiées. A la différence du système décimal, un entier apparaissant dans une fraction continue n'est en général pas borné par 9, il peut devenir arbitrairement grand. [[Alexandre Khintchine]] s'est intéressé à la moyenne, au sens de limite des [[moyenne géométrique| moyennes géométriques]] de tous ces dénominateurs. Pour [[Ensemble négligeable|presque]] tous les nombres, cette moyenne est la même. Le mot ''presque'' possède ici un sens bien particulier. Cette moyenne est appelée [[constante de Khintchine]].
Il est aussi possible de construire des développements en fractions en ''plaçant'' les barres de fraction sur le numérateur et non en dessous, on obtient un [[développement en série d'Engel]] :
<center><math>x_0 = \frac{1}{a_0} + \frac{1}{a_0a_1} + \frac{1}{a_0a_1a_2}+ ... + \frac{1}{a_0a_1...a_n} + ...= \frac{1 + \frac{1+ \frac{1+ \cdots}{a_2}}{a_1}}{a_0}</math></center>
== Approche intuitive ==
=== De l'algorithme d'Euclide aux fractions continues ===
{{Article détaillé|Algorithme d'Euclide}}
On commence par rappeler le déroulement de l'[[algorithme d'Euclide|algorithme dû à Euclide]] de recherche du [[Plus grand commun diviseur|PGCD]], en analysant l'exemple des deux nombres entiers 15 625 et 6 842. On procède à une suite de [[division euclidienne|divisions euclidiennes]] avec reste :
<center><math>
\begin{matrix}
15\;625 &= &2 \times &6\;842 &+&1\;941,&\\
6\;842 &= &3 \times &1\;941 &+&1\;019,&\\
1\;941 &= &1 \times &1\;019 &+&922,&\\
1\;019 &= &1 \times &922 &+&97,&\\
922 &= &9 \times &97 &+&49,&\\
97 &= &1 \times &49 &+&48,&\\
49 &=&1 \times &48 &+&1.&
\end{matrix}
</math></center>
Une autre manière d'interpréter cet algorithme consiste à approcher par étapes le quotient 15 625 / 6 842. La [[partie entière]] de ce quotient est 2, ce qui permet d'écrire
<center><math>
\frac{15\;625}{6\;842}=2+\frac{1\;941}{6\;842}.</math></center>
Que peut-on dire de la fraction 1 941 /6 842, à part qu'elle est plus petite que 1? Elle est comprise entre 1/4 et 1/3, son inverse, 6 842 / 1 941, possède une partie entière est 3 ; et plus précisément, si l'on utilise les résultats de la deuxième division euclidienne :
<center><math>
\frac{1\;941}{6\;842}=\cfrac{1}{3+\cfrac{1\;019}{1\;941}}.
</math></center>
Ainsi de proche en proche :
<center><math>\cfrac{15\;625}{6\;842}=2+\cfrac{1}{3+\frac{1\;019}{1\;941}}=2+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{1+\frac{922}{1\;019}}}=\dots=
2+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{9+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{48}}}}}}} </math></center>
qui est bien une fraction continue. On utilise parfois la notation suivante, plus commode :
<center><math>\frac{15\;625}{6\;842}=[2,3,1,1,9,1,1,48].</math></center>
On peut comparer 15 625 / 6 842 à ses approximants obtenus en tronquant successivement le nombre d'étages de la fraction continue. Le tableau suivant donne les troncatures en notation fractionnelle puis décimale, et la différence entre l'approximant et le nombre 15 625 / 6 842.
{| class="wikitable centre" cellpadding="20" style="width:60%;"
|+ <center>'''Approximants successifs de 15 625 / 6 842 et évolution de l'erreur'''</center>
|-
! scope=col | Fraction
! scope=col | Développement décimal
! scope=col | Erreur
|-
| width="33%" |
2
| width="34%|
2,0000...
| width="33%" |
-0,283 688 979 83...
|-
| width="33%" |
7/3 = 2 + 1/3
| width="34%"|
2,333...
|width="33%" |
0,049 644 353 5...
|-
| width="33%" |
9/4 = 2 + 1/(3 + 1/1)
| width="34%|
2,250 0...
|width="33%" |
-0,033 688 897 983...
|-
| width="33%"|
16/7
| width="34%"|
2,285 714 285 714 2...
|width="33%" |
0,002 025 305 88...
|-
| width="33%" |
153/67
| width="34%"|
2,283 582 089 55...
|width="33%" |
-0,000 106 890 28...
|-
| width="33%" |
169/74
| width="34%|
2,283 783 783 7......
|width="33%" |
0,00009480395...
|-
| width="33%" |
322/141
| width="34%|
2,283 687 943 2
|width="33%" |
-0,000 001 036 57...
|-
| width="33%" |
15 625/6 842
| width="34%|
2,283 688 979 83...
|width="33%" |
0
|}
La suite des erreurs est décroissante en [[valeur absolue]] et de signes alternés.
=== Développement en fraction continue d'un rationnel ===
On peut chercher si tout [[nombre rationnel]] ''r'' admet un développement en fraction continue. Soit donc ''r'' = ''p'' / ''q'' une de ses représentations fractionnaires. On cherche, s'il existe, un nombre positif ou nul ''n'', un [[entier relatif]] ''a''<sub>0</sub> et des entiers strictement positifs ''a''<sub>j</sub> pour j ≥ 1, tels que ''r'' = [''a''<sub>0</sub>, ...,''a''<sub>n</sub>]. Sans perte de généralité, on peut supposer ''q'' > 0, et introduire les nombres ''p''<sub>0</sub>, ''p''<sub>1</sub>,... et ''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ... comme suit.
On pose ''p''<sub>0</sub> = ''p'' , ''p''<sub>1</sub> = ''q''
<center><math>p_0=a_0p_1+p_2, \quad a_0\in \mathbb{Z}, 0\le p_2<p_1. (*) </math></center>
C'est une division euclidienne ordinaire si ''p''<sub>0</sub> est positif ou nul. S'il est strictement négatif, on a -''p''<sub>0</sub> = a'<sub>0</sub>.''p''<sub>1</sub> + ''p'''<sub>2</sub> avec a'<sub>0</sub> entier positif ou nul, 0 ≤ p'<sub>2</sub> < ''p''<sub>1</sub>. Si p'<sub>2</sub> est nul, on pose a<sub>0</sub> = a'<sub>0</sub> et p<sub>2</sub> = 0, et s'il n'est pas nul, on pose ''a''<sub>0</sub> = -a'<sub>0</sub> - 1 et p<sub>2</sub> = p<sub>1</sub> - p'<sub>0</sub>. Dans ces deux cas, on obtient encore (*). Tant que ''p''<sub>j</sub> n'est pas nul, on pose
<center><math>p_{j-1}=a_{j-1}p_j +p_{j+1},\;</math></center>
avec ''a''<sub>j-1</sub> entier au moins égal à 1 et 0 ≤ ''p''<sub>j+1</sub> < ''p''<sub>j</sub>. L'entier ''n'' est le plus grand entier pour lequel ''p''<sub>n+1</sub> n'est pas nul. On a alors
<center><math>\frac{p_0}{p_1}=[a_0,p_1/p_2]=[a_0,a_1,p_2/p_3]=\dots=[a_0,a_1,\dots,a_n].</math></center>
On peut vérifier que :
<center><math>[a_n]=p_n/p_{n+1},\quad [a_{n-1},a_n]=a_{n-1}+p_{n+1}/p_n=p_{n-1}/p_n,[a_j,\dots,a_n]=a_j+p_{j+2}/p_{j+1}=p_j/p_{j+1}</math></center>
et une récurrence immédiate montre [''a''<sub>0</sub>, ...,''a''<sub>n</sub>] = ''p'' / ''q''.
On a donc montré que l'algorithme du PGCD d'Euclide fournit systématiquement un développement en fraction continue d'un nombre rationnel. Le développement ainsi obtenu est toujours fini.
Les numérateurs et dénominateurs des différentes réduites s'obtiennent par l'[[algorithme d'Euclide étendu]].
On peut se demander s'il y a d'autres développements finis d'un rationnel en fraction continue. On remarque d'abord que pour tout entier relatif ''m'', [''m''-1, 1] est identique à ''m''. Par conséquent, si ''r'' admet le développement en fraction continue [''a''<sub>0</sub>, ..., ''a''<sub>n</sub>] avec ''a''<sub>n</sub> > 1 , il admet aussi le développement [''a''<sub>0</sub>, ..., ''a''<sub>n</sub> - 1, 1]. Un raisonnement simple par récurrence montre qu'il ne peut y avoir d'autres développements finis en en fraction continue que ceux qui viennent d'être donnés. Enfin, on peut montrer que tout développement en fraction continue d'un rationnel est fini.
<br/>
{{boîte déroulante début|align=left|titre=La représentation en fraction continue de ''x'' est finie si et seulement si, ''x'' est un nombre rationnel — démonstration}}
On sait déjà que si ''x'' possède un développement fini en fraction contiue, il est rationnel.
Réciproquement montrons que si ''x'' est rationnel, il admet un développement fini en fraction continue. Soit ''p'' et ''q'' deux entiers tels que ''x'' soit égal à ''p'' / ''q''. Ici ''q'' désigne un entier strictement positif. Montrons par récurrence sur ''q'' que ''x'' admet une représentation finie.
Si ''q'' est égal à ''1'', alors ''x'' est égal à ''p'', ce qui fournit une représentation en fraction rationnelle finie.
Supposons la propriété vérifiée pour toutes les fractions admettant un dénominateur strictement plus petit que ''q''. La [[division euclidienne]] de ''p'' par ''q'' montre l'existence de deux entiers ''d'' et ''r'' tels que :
<center><math>p = d\cdot q + r,\;\text{ avec } r< q \quad\text{donc}\quad \frac pq = d + \frac rp = d + \frac 1{\frac pr}\;</math></center>
L'hypothèse de récurrence montre que la fraction ''p'' / ''r'' admet un développement fini en fraction continue. Le remplacement de la valeur ''p'' / ''r'' dans l'expression précédente fournit un développement fini en fraction continue de ''p''/''q'' ce qui termine la démonstration.
{{Boîte déroulante fin}}
=== Développement en fraction continue du nombre π ===
Une remarque permet de généraliser la méthode précédente à un [[nombre réel]] quelconque. Pour l'illustrer, appliquons là sur le nombre [[pi|π]]. La première étape, dans le cas d'un rationnel, était le calcul de la division euclidienne du numérateur par le dénominateur, ce qui ne fait plus sens pour un réel, en revanche le résultat est égal à la [[partie entière]] de la fraction, qui possède toujours un sens. La partie fractionnaire, nécessairement plus petite que 1, était inversée, ce qui est encore possible ici. On obtient :
<center><math>\pi = 3 + \frac 1{\frac 1{\pi-3}}\approx 3 + \frac 1{7,062\;513\;305\;931}</math></center>
Comme π est [[nombre irrationnel|irrationnel]], l'inverse de π - 3 l'est encore, l'algorithme ne s'arrète pas. Comme π - 3 est plus petit que 1, c'est une partie fractionnaire, son inverse est plus grand que 1 et l'on peut appliquer la même démarche :
<center><math>\frac 1{\pi-3} \approx 7 + 0,062\;513\;305\;931 \approx 7 + \frac 1{15,996\;594\;41}\quad\text{et}\quad \pi \approx 3 + \frac 1{7+\frac 1{15,996\;594\;41}}</math></center>
Le nouvelle valeur approximativement égale à 15,997 est encore un irrationnel strictement supérieur à 1, d'où la possibilité d'une nouvelle étape, puis d'une nouvelle :
<center><math>\pi \approx 3+ \cfrac 1{7+\cfrac 1{15 + \frac 1{1 + 0,003\;417}}} \approx 3+ \cfrac 1{7+\cfrac 1{15 + \cfrac 1{1 + \frac 1{292 + 0,6}}}}
</math></center>
On comprend que le processus ne s'arrête jamais, si le calcul est réalisé avec un nombre de décimales suffisants. On obtient comme suite de fractions 3 puis 22/7 ≈ 3,1428 puis 333/106 ≈ 3,14150 puis 355/113 ≈ 3,1415929 et enfin 103 993 / 331 02 proche de π avec une précision meilleure que le milliardième. Une fois encore, la suite des erreurs est décroissante en valeur absolue et de signes alternés.
=== Représentation géométrique ===
[[Image:fractioncontinue1.png|thumbnail|250px|right|Un pavage d'un [[rectangle]] de longueur 30 et de largeur 13 permet de déterminer l'expression de 30/13 en fraction continue : <center>30/13=[2 , 3, 4]</center> ]]
L'[[algorithme d'Euclide]] permet de calculer une fraction continue dans le cas des nombres rationnels. Cet algorithme admet dans ce cadre une interprétation géométrique. Soit ''r'' = ''p'' / ''q'' un nombre rationnel, on considère un rectangle de longueur ''p'' et de largeur ''q'', et on le pave par des carrés de côté ''q''.
Si ''x'' est un nombre entier, le pavage comporte exactement ''x'' carrés. Sinon, soit ''a''<sub>0</sub> le nombre de carrés insérés dans le rectangle, ou encore, le premier terme de la fraction continue. Il reste une bande non pavée de dimension ''q'' x ''b''<sub>1</sub> avec ''b''<sub>1</sub> égal à ''p'' - ''a''<sub>0</sub>.''q'' ; on pave cette bande avec des carrés de dimension maximale, c'est-à-dire de côté ''x''<sub>1</sub>. Le nombre de carrés est égal au deuxième terme ''a''<sub>1</sub> de la fraction continue. En réitérant la méthode, on obtient l'intégralité des coefficients ''a''<sub>p</sub>.
Dans l'image ci-contre, on pave le rectangle 30 x 13 par deux carrés de côtés 13. Il reste une bande de longueur 13 et de largeur 4. En terme de fraction continue, on obtient l'égalité :
<center><math>\frac {30}{13} = 2 + \frac 4{13} = {\color{Red}2} + \frac 1{\frac {13}4}\;</math></center>
[[Image:fractioncontinue2.png|thumbnail|200px|left| La même démarche s'applique pour déterminer un rationnel connaissant sa fraction continue. <center>[1 , 1 , 2 , 3] = 17/10</center> ]]
Ensuite, on remarque qu'il est possible de remplir la bande restante de 3 carrés de coté 4 et il reste une bande de longueur 4 et de largeur 1. Ce qui permet de terminer le calcul de la fraction continue :
<center><math>13 = 3\times4 + 1 \;\Rightarrow \; \frac {30}{13} = {\color{Red}2} + \frac 1{\frac {3\times 4 + 1 }4} = {\color{Red}2} + \frac 1{{\color{Red}3} + \frac 1{\color{Red}4}}= [2,3,4]\;</math></center>
[[Image:fractioncontinue3.png|thumbnail|250px|right|La technique du pavage conduit à une fraction continue infinie si la longueur et largeur du rectangle est [[commensurabilité (mathématiques)|incommensurable]].]]
La même construction permet de trouver le rationnel dont on connait le développement en fraction continue. Dans l'image de gauche on peut retrouver le rationnel dont le développement est [1, 1, 2, 3]. Le dernier coefficient est égal à 3, on trouve donc 3 petits carrés de coté 1, qui donnent la taille du carré suivant (3). L'avant dernier coefficient 2 indique qu'il existe deux carrés moyens de coté 3. Ces deux cotés et le petit carré donnent la taille du carré plus grand (7). Le coefficient associé est égal à 1, il n'en n'existe donc qu'un unique de cette nature. Le carré plus grand (7) et le carré moyen (3) donnent le coté du dernier carré (10). Les deux derniers carrés donne la longueur totale du rectangle (17). La fraction recherchée est égale à 17/10.
Le processus s'arrête car ''p'' et ''q'' sont [[commensurabilité (mathématiques)|commensurables]] c'est-à-dire qu'il existe une longueur ''l'' et deux entiers ''a'' et ''b'' tels que ''p'' = ''l.a'' et ''q'' = ''l.b''.
Considérons maintenant un rectangle de longueur ''L'' et de largeur ''l''. Si le quotient ''L'' / ''l'' n'est pas rationnel, c'est-à-dire si les longueurs ''L'' et ''l'' sont incommensurables, le processus ne s'arrête pas.
Tel est le cas pour la figure de droite représentant un rectangle d'or, c'est-à-dire un rectangle dont le rapport de la longueur sur la largeur est égal à φ le [[nombre d'or]]. On ne peut placer qu'un carré dans chaque bande ce qui amène à la représentation : <center><math>\varphi = [1 , 1 , 1 , \cdots]</math></center>
La suite des numérateurs, ainsi que celle des dénominateurs sont de [[suite de Fibonacci|Fibonacci]].
=== Repère chronologique ===
[[Image:2064 aryabhata-crp.jpg|thumb|[[Âryabhata]], un mathématicien [[mathématiques indiennes|indien]], fait usage des '''fractions continues''' dès le {{Ve siècle}}.]]
L'usage des fractions continues est ancien. [[Âryabhata]] <small>([[476]] - [[550]])</small>, un mathématicien [[mathématiques indiennes|indien]] les utilise pour résoudre des [[équation diophantienne|équations diophantiennes]] ainsi que pour approximer précisément des nombres irrationnels<ref>G Ifrah ''Histoire universelle des chiffres: L'intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul'' Robert Laffont 1994 {{ISBN|2221901002}}</ref>. [[Brahmagupta]] <small>([[598]] – [[668]])</small> étudie plus en profondeur l'équation maintenant dite de [[équation de Pell-Fermat|Pell-Fermat]]. Il développe les premiers fondements de la [[méthode chakravala]], usant de calculs proches de ceux des fractions continues<ref>J. Stillwell ''Mathematics and its History'' Springer Science 2<sup>ième</sup> éd 2004 p 72-74 {{ISBN|0387953361}}</ref>. Il cherche à résoudre l'équation ''x''<sup>2</sup> - 61. ''y''<sup>2</sup> = 1 et trouve la plus petite solution :
<center><math>x= 1\, 766 \, 319 \, 049\quad \text{et}\quad y = 226\, 153\, 980</math></center>
Au {{XIIe siècle}}, la méthode est enrichie par [[Bhāskara II]]. Un [[algorithme]], analogue à celui des fractions continues, permet de résoudre un cas général. La différence la plus marquante est qu'il autorise les nombres négatifs dans la fraction, permettant une convergence plus rapide<ref>[[Bhāskara II]] ''Bijaganita'' [[1150]] cf le site de l'Université de St Andrew [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pell.html Pell's equation]</ref>.
L'apparition en Europe est plus tardive et italienne. [[Rafael Bombelli]] <small>([[1526]] – [[1572]])</small> fait usage d'un ancêtre des fractions continues pour le calcul d'approximations de la [[racine carrée]] de 13<ref>M. T. Rivolo A. Simi ''The computation of square and cube roots in Italy from Fibonacci to Bombelli (Italian)'' Arch. Hist. Exact Sci. 52 (2) 1998 pp 161-193</ref>. [[Pietro Antonio Cataldi]] <small>([[1548]] – [[1626]])</small> comprend que la méthode de Bombelli s'applique pour toute les racines carrées, il l'utilise pour la valeur 18 et écrit un petit opuscule à ce sujet<ref>S. Maracchia ''Estrazione di radice quadrata secondo Cataldi'' Archimede 28 (2) 1976 pp 124-127</ref>. Il remarque que les approximations obtenues sont alternativement supérieures et inférieures à la racine carrée cherchée.
[[Image:John Wallis.jpg|thumb|left|[[John Wallis]], à la suite des travaux de [[William Brouncker]], utilise pour la première fois l'expression de '''fraction continue'''.]]
Un progrès décisif a lieu en Angleterre. Le 3 Janvier [[1657]], [[Pierre de Fermat]] défie les mathématiciens européens avec plusieurs questions dont l'équation déjà résolue par Brahmagupta<ref>L. Hua J. Rousseau ''Fermat a-t-il démontré son grand théorème? l'hypothèse "Pascal"'' L'Harmattan 2002 p 113 {{ISBN|2747528367}}</ref>. Piqué au vif<ref>[[John Wallis]] un mathématicien anglais rétorqua : ''il ne trouvera pas mauvais, je crois, que nous lui rendions la pareille, et cela, non pas sur une bagatelle''. Ces informations sont extraites du site : [http://www.cdg82.fr/beaumont/fermat/lettre.php Pierre de Fermat] par la ville Beaumont de Lomagne</ref>, la réaction anglaise est rapide. [[William Brouncker]] <small>([[1620]] – [[1684]])</small> trouve la relation entre l'équation et la fraction continue, ainsi qu'une méthode algorithmique équivalente à celle des indiens pour le calcul de la solution. Il utilise la fraction continue pour construire une suite convergente vers 4/π, et approxime π avec dix décimales significatives<ref>J. Dutka ''Wallis's product, Brouncker's continued fraction, and Leibniz's series'' Arch. Hist. Exact Sci. 26 (2) 1982 pp 115-126</ref>. Ces résultats sont publiés par [[John Wallis]] qui en profite pour démontrer les relations de récurrence utilisées par Brouncker et Bhāskara II. Il donne le nom de '''fraction continue''' dans la phrase : {{citation|Nempe si unitati adjungatur fractio, quae denominatorem habeat '''continue fractum'''.}}<ref>[[John Wallis]] ''Arithmetica infinitorum'' (traduction l'arithmétique des infinitésimaux) [[1655]]</ref>. A cette époque, [[Christiaan Huygens]] <small>([[1629]] – [[1695]])</small> découvre que les fractions continues sont l'outil idéal pour déterminer le nombre de dents que doivent contenir les roues des [[engrenage]]s dans l'horlogerie. Il l'utilise pour la mise au point d'un automate planétaire<ref>Ces informations, comme l'essentiel de ce paragraphe proviennent de l'article : C. Brezinski Ces étranges fractions
qui n’en finissent pas [http://www.reunion.iufm.fr/Recherche/IREM/telecharger/Brezinski/fracont.pdf Lire] Université des Sciences et Technologies de Lille France p 50</ref>.
Quelques questions théoriques sont résolues au siècle suivant. L'usage montre que l'algorithme des fractions continues permet de résoudre l'équation de Pell-Fermat en utilisant le fait que la fraction est périodique à partir d'un certain rang. [[Leonhard Euler]] <small>([[1707]] – [[1783]])</small> montre que si un nombre possède une fraction continue périodique, alors il est solution d'une [[équation du second degré]] à coefficients entiers<ref name="Euler">[[Leonhard Euler]], ''Introductio in analysin infinitorum''. Vol. I, Chapter 18 [[1748]]</ref>. La réciproque, plus subtile<ref>Ces résultats sont publiés dans : [[Leonhard Euler]] et [[Joseph-Louis Lagrange]] ''Eléments d'algèbre'' Lyon, Bruyset et Paris, Desaint [[1774]]. Le livre contient une centaine de pages nommées ''Additions'' par Lagrange. Elles contiennent les deux preuves citées.</ref> est l'œuvre de [[Joseph-Louis Lagrange]] <small>([[1736]] - [[1813 en science|1813]])</small>. Durant ce siècle, [[Johann Heinrich Lambert]] <small>([[1728]] – [[1777]])</small> trouve une nouvelle utilité aux fractions continues. Il les utilise pour montrer l'irrationalité de π.
Cet usage devient fréquent au {{XIXe siècle}}. [[Evariste Galois]] <small>([[1811 en science|1811]] - [[1811 en science|1832]])</small> trouve la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fraction continue soit ''immédiatement'' périodique<ref>[[Evariste Galois]] annonce le résultat suivant {{Citation|Si une des racines d’une équation de degré quelconque est une fraction immédiatement périodique, cette équation aura nécessairement une autre racine également périodique que l’on obtiendra en divisant l’unité négative par cette même fraction continue périodique écrite dans un ordre inverse.}} extrait de : [http://www.reunion.iufm.fr/Recherche/IREM/telecharger/Brezinski/fracont.pdf Histoire de fractions continues] par C. Bresinski de l'Université des Sciences et Technologies de Lille p 63</ref>. [[Joseph Liouville]] <small>([[1809 en science|1809]] - [[1882 en science|1882]])</small> utilise le développement en fraction continue généralisée pour exhiber des nombres non algébriques, c’est-à-dire [[nombre transcendant|transcendants]]. Ce sont les [[nombre de Liouville|nombres de Liouville]]. En utilisant les fractions continues, [[Charles Hermite]] <small>([[1822 en science|1822]] - [[1901 en science|1901]])</small> prouve<ref>[[Charles Hermite|C. Hermite]] ''Sur la fonction exponentielle'' Compte rendu de l'Académie des sciences p 18 (1873) [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3034n lire sur Gallica]</ref> la transcendance de ''[[Base des logarithmes naturels|e]]'', base du [[logarithme népérien]] en [[1873 en science|1873]]. Grâce à lui, [[Ferdinand von Lindemann]] prouve en [[1882]] que π est transcendant et démontre par la même que la [[quadrature du cercle]] est impossible à réaliser. A la fin du siècle [[Henri Padé]] <small>([[1863 en science|1863]] - [[1953 en science|1953]])</small> développe la théorie<ref>[[Henri Padé|H. Padé]] ''Sur la représentation approchée d'une fonction par des fractions rationnelles'' Thèse de Doctorat présentée à l'Université de la Sorbonne 1892</ref> des [[Approximant de Padé|approximants qui portent maintenant son nom]] et qui sont des fractions continues de [[polynôme]]s. Cette technique est utilisée par [[Henri Poincaré]] <small>([[1854 en science|1854]]-[[1912 en science|1912]])</small> pour démontrer la statibilité du système solaire<ref>Voir par exemple [[Henri Poincaré|H. Poincaré]] ''méthodes nouvelles de la mécanique céleste'' 3 vol Gauthier-Villars Paris 1892-1899</ref>. [[Georg Cantor]] <small>([[1845 en science|1845]] - [[1918 en science|1918]])</small> prouve que les points d'un segment et ceux situés à l'intérieur d'un carré sont en [[bijection]] à l'aide des fractions continues<ref>J. F. Fleuron ''A Note on the History of the Cantor Set and Cantor Function'' Mathematics Magazine, Vol. 67 N° 2 pp 136-140 1994</ref>. Les fonctions de cette nature sont étudiées dans le cadre de la [[théorie du chaos]], elles sont discontinues sur chaque point rationnel de l'intervalle [0,1]<ref>M. R. Schroeder ''Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes from an Infinite Paradise'' W.H.Freeman & Co Ltd 1991 {{ISBN|0716721368}}</ref>.
== Approche théorique ==
=== Algorithme de développement en fraction continue pour un réel ===
On associe à tout [[nombre réel|réel]] ''x'' un développement en fraction continue défini à l'aide des idées introduites précédemment. Le symbole <math>\scriptstyle{\lfloor s\rfloor}</math> désigne la partie entière du nombre ''s''. On pose :
<center><math>x_0=x,\quad a_0=\lfloor x_0\rfloor,</math></center>
ainsi que la définition récurrente, tant que ''x''<sub>j</sub> n'est pas entier,
<center> <math>x_{j+1}=1/(x_j-a_j),\quad a_{j+1}=\lfloor x_{j+1}\rfloor.</math></center>
L'entier ''n'' désigne, s'il existe, le premier indice pour lequel ''x''<sub>j</sub> est entier, on définit alors ''a''<sub>n</sub> comme étant égal à ''x''<sub>n</sub>. Le développement obtenu par le présent algorithme est alors fini. Sinon, il ne s'arrête jamais.
On peut formaliser de manière plus informatique cet algorithme :
* Donnée : un nombre ''x'' réel.
* Initialisation : on assigne la valeur ''x'' à la variable ''X''. La suite ''a'' est vide.
* Boucle: On assigne à la variable ''A'' le plus grand entier au plus égal à ''X'', on concatène cette valeur à la suite ''a''. Si ''X'' est entier, l'algorithme s'arrête. Si ''X'' n'est pas entier, on assigne à ''X'' la valeur de 1 /(''X'' - ''A'' et on recommence au début de la boucle.
On sait que cet algorithme s'arrête si, et seulement si, ''x'' est rationnel.
=== Notations et terminologie ===
Pour des nombres ''a''<sub>j</sub>, ''j'' ≥ 0, qu'on peut aussi voir comme des [[Variable|variables formelles]], on introduit les expressions suivantes:
<center><math> [a_0]=a_0,\quad [a_0,a_1]=a_0+\frac{1}{a_1},\quad \dots [a_0,\dots,a_j] =a_0+\frac{1}{[a_1,\dots,a_j]}, </math></center>
quel que soit l'entier positif ''j''. Si ''a''<sub>0</sub> est un entier relatif, et si ''a''<sub>1</sub>,... , ''a''<sub>p</sub> sont des [[entier naturel|entiers]] strictement positifs, l'expression [''a''<sub>0</sub>,... , ''a''<sub>p</sub>] est bien définie et fournit un nombre rationnel.
Si ''x'' est un nombre réel, il est possible de définir les suites (''a''<sub>j</sub>) et (''x''<sub>j</sub>) à l'aide de la méthode du paragraphe précédent.
:* La suite (''a''<sub>p</sub>) est appelée '''fraction continue''' ou '''fraction continue simple''' du réel ''x''.
Si ''x'' est rationnel, la suite d'arrête pour un indice ''n'', sinon elle est infinie.
L'usage des deux mots dépend du contexte. Dans certains cas, la majorité des expressions sont du type étudié jusqu'à présent. Pour plus de simplicité on parle de ''fraction continue''. Les expressions différentes, par exemple parce que ''a''<sub>n</sub> devient négatif ou réel quelconque, sont appelées fractions continues généralisées. Dans d'autres situations, l'expression générale n'est pas celle où ''a''<sub>n</sub> est un entier, il peut être par exemple, une fonction [[nombre complexe|complexe]] ou une [[matrice (mathématiques)|matrice]], le terme de fraction continue désigne alors l'objet mathématique principal étudié et les fractions dont il est question ici prennent le nom de fraction continue simple.
:* Le terme ''a''<sub>p</sub> est appelé '''coefficient''' d'indice ''p''.
:* La fraction [''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>p</sub>] est appelée '''réduite''' ou encore '''quotient incomplet''' d'indice ''p''.
:* Le terme ''x''<sub>p</sub> est appelé '''quotient complet''' d'indice ''p''.
Deux notations sont fréquemment utilisées dans ce contexte :
<center><math>x = a_0 + \cfrac 1{a_1 + \cfrac 1{a_2 + \frac 1{\cdots}}} = [a_0, a_1, a_2, \cdots]</math></center>
Ces notations seraient abusives si la suite des réduites n'étaient pas convergente vers ''x'', ce qui n'a été vérifié que pour les rationnels. Le reste de l'article montre que cette convergence existe toujours, ce qui justifie la notation.
=== Réduites d'une fraction continue ===
Dans le reste de l'article ''p'' désigne un entier positif, inférieur à ''n'' si la fraction continue est finie et quelconque sinon la lettre ''n'' désigne alors l'infini.
Par définition de la fraction continue, on dispose de l'égalité :
<center><math>x = [a_0, a_1, \cdots, a_{p-1}, x_p]</math></center>
:* ''Si ''p'' est différent de ''0'' et de ''n'' alors ''x''<sub>p</sub> est un réel supérieur à ''1'', et ''a''<sub>p</sub> est un entier strictement positif.''
Ceci provient de la définition de ''x''<sub>p</sub> comme inverse de partie fractionnaire d'un nombre, et de la définition de ''a''<sub>p</sub> comme partie entière de ''x''<sub>p</sub>.
:* ''Si un nombre réel positif ''x'' admet un développement en fraction continue de la forme ''[a<sub>0</sub>,a<sub>1</sub>,...]'', alors, son inverse ''1/x'' admet pour développement en fraction continue ''[a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,...]'' dans le cas où ''a<sub>0</sub>'' est nul, et ''[0,a<sub>0</sub>,a<sub>1</sub>,...]'' dans les autres cas.''
Soit (''h''<sub>p</sub>) et (''k''<sub>p</sub>) les suites d'entiers strictement positifs à partir du rang 1, définies par récurrence par : .
<center><math> \begin{align} h_0 = a_0,\quad & h_1 = a_0a_1+1,\quad & h_p = a_ph_{p-1}+h_{p-2} \\ k_0 = 1,\quad & k_1 = a_1,\quad & k_p = a_pk_{p-1}+k_{p-2}\end{align}</math></center>
Alors on a les trois propriétés suivantes :
:* ''si ''p'' est supérieur ou égal à 2'' :
<center><math>\forall y \in \mathbb R_+^*, \quad \left[a_0, a_1, \,\dots, a_{p-1}, y \right]= \frac{y h_{p-1}+h_{p-2}} {y k_{p-1}+k_{p-2}}</math></center>
:* ''L'écriture irréductible de la réduite d'ordre p est ''
<center > <math>[a_0,a_1,\cdots a_p]=\frac{h_p}{k_p}</math> </center>
Irréductible signifie que le numérateur et le dénominateur sont deux [[nombres premiers entre eux|entiers premiers entre eux]].
:* ''L'égalité suivante est vérifiée :''
<center><math>k_ph_{p-1}-k_{p-1}h_p=(-1)^p\,</math></center>
Pour permettre d'utiliser la relation de récurrence dès l'indice ''1'', il est possible d'utiliser la convention ''h''<sub>-1</sub> égale ''1'' et ''k''<sub>-1</sub> égale ''0''.
Si les coefficients de la fraction continue sont tous égaux à ''1'' - ce qui est le cas dans le développement en fractions continues du nombre d'or - les entiers ''h''<sub>p</sub> et ''k''<sub>p</sub> vérifient la relation de récurrence de Fibonacci, ce sont des nombres de Fibonacci consécutifs, ce qui explique que les quotients de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci donnent des approximations de plus en plus fines du nombre d'or.
<br/>
{{boîte déroulante début|align=left|titre=Démonstrations}}
:* '''L'égalité suivante est vérifiée, si ''p'' est supérieur ou égal à deux :'''
<center><math>\forall y \in \mathbb R_+^*, \quad \left[a_0, a_1, \,\dots, a_{p-1}, y \right]= \frac{y h_{p-1}+h_{p-2}} {y k_{p-1}+k_{p-2}}</math></center>
Les suites (''h''<sub>j</sub>) et (''k''<sub>j</sub>) désignent ici les suites définies par récurrence dans le paragraphe. Montrons cette propriété par récurrence, si ''p'' est égal à ''deux'' :
<center><math>[a_0, a_1, y] = a_0 + \frac 1{a_1 + \frac 1y} = \frac {ya_0a_1 + a_0 + y}{a_1y + 1} = \frac{y h_1+h_0}{y k_1+k_0} \;</math></center>
Soit ''p'' un entier supérieur ou égal à 2, et supposons la propriété vraie à l'ordre ''p'' . Elle est en particulier vraie lorsque ''y'' prend la valeur ''a''<sub>p</sub> + 1/''y', ce qui montre la deuxième égalité ci-dessous :
<center><math>\begin{array} {rl}[a_0,\cdots, a_p, y] &= [a_0,\cdots, a_{p-1}, a_p + \frac 1y]\\
& = \frac {(a_p + \frac 1y)h_{p-1} + h_{p-2}}{(a_p + \frac 1y)k_{p-1} + k_{p-2}}\\
& = \frac {y(a_ph_{p-1} + h_{p-2}) + h_{p-1}}{y(a_pk_{p-1} + k_{p-2}) + k_{p-1}}\\
& =\frac{y h_{p}+h_{p-1}} {y k_{p}+k_{p-1}}
\end{array}
</math></center>
:*'''En posant ''y'' = a<sub>p</sub>, dans l'égalité précédente, on peut écrire '''
<center><math>\begin{array} {rl}[a_0,\cdots, a_{p-1}, a_p] &= \frac{a_p h_{p-1}+h_{p-2}} {a_p k_{p-1}+k_{p-1}}\\
& =\frac{h_p}{k_p}
\end{array}
</math></center>
:* '''L'égalité suivante est vérifiée :'''
<center><math>h_pk_{p-1}-h_{p-1}k_p=(-1)^p\,</math></center>
Montrons cette égalité par récurrence sur ''p''. Si ''p'' est égal à 1, on a :
<center><math>h_1k_0 - h_0h_1 = a_1a_0 - 1.(a_1a_0 + 1) = (-1)^1 \;</math></center>
Soit p un entier supérieur ou égal à 2, et supposons vérifiée cette égalité à l'ordre ''p'' - 1 et vérifions là à l'ordre ''p''. Le théorème précédent montre que :
<center><math>\begin{array} {rl} h_pk_{p-1}-h_{p-1}k_p & = (a_ph_{p-1} + h_{p-2})k_{p-1} - h_{p-1}(a_pk_{p-1} + k_{p-2})\\
& = -(h_{p-1}k_{p-2}- h_{p-2}k_{p-1})\\
& = -(-1)^{p-1} = (-1)^p \end{array}
</math></center>
La dernière égalité prouve que les entiers ''h<sub>p</sub>'' et ''k<sub>p</sub>'' sont premiers entre eux et que l'écriture de la réduite est bien une fraction irréductible.
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=== Encadrement et convergence ===
La valeur ''x'' désigne maintenant un nombre irrationnel strictement positif. La suite (''a''<sub>n</sub>) est infinie et ne prend que des valeurs positives.
:* ''Les deux suites (''h''<sub>n</sub>) et (''k''<sub>n</sub>) sont strictement croissantes et ont pour limite l'infini.''
En effet, cette proposition est la conséquence directe de la relation de récurrence établie au paragraphe précédent. Une récurrence montre que la valeur de ''k''<sub>n</sub> est au moins égale à 2<sup>n/2</sup>.
La suite des réduites est convergente, quelques propositions montrent la nature de cette convergence :
:* ''La différence entre deux réduites successives est :''
<center><math> \frac{h_n}{k_n}-\frac{h_{n-1}}{k_{n-1}} = \frac{(-1)^{n+1}}{k_nk_{n-1}}</math></center>
:* ''Les réduites de rangs pairs et impairs sont respectivement respectivement croissante et décroissante et définissent deux [[théorème des suites adjacentes|suites adjacentes]] convergeant vers ''x'' .''
Ce résultat s'exprime aussi sous la forme suivante :
:* ''La valeur ''x'' est la limite de la série alternée :''
<center><math>x = a_0 + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{k_nk_{n+1}}</math></center>
Si (''a''<sub>n</sub>) est une suite d'entiers strictement positifs et (''s''<sub>n</sub>) la réduite[''a''<sub>0</sub>, ...,''a''<sub>n</sub>] est la ''n''<sup>ième</sub> somme partielle de la série précédente qui est convergente. Si ''x'' désigne la limite de la série, alors la fraction continue de ''x'' est donnée par [''a''<sub>0</sub>, ...,''a''<sub>n</sub>, ...]. Ainsi, toute suite d'entiers strictement positifs, sauf peut être le premier, correspond au développement en fraction continue d'un réel.
La différence entre ''x'' et une réduite est évaluée par les formules suivantes :
:* ''Pour tout entier ''n'', la différence entre la valeur ''x'' et la réduite d'indice ''n'' est donnée par la formule suivante, si ''x''<sub>n+1</sub> désigne le quotient complet d'indice ''n'' + 1 :
<center><math>x - \frac{h_n}{k_n}= \frac{(-1)^n}{k_n(k_{n-1} + x_{n+1}k_n)}\quad\text{ou encore}\quad
\frac{1}{k_n(k_{n+1}+k_n)}<\left|x-\frac{h_n}{k_n}\right|<\frac{1}{k_nk_{n+1}}</math></center>
Ce qui montre que la limite d'une fraction continue est bien la valeur du nombre ''x'' initial. De plus, deux fractions continues de même limite ont nécessairement les mêmes coefficients. Soit en effet deux fractions continues ayant même limite ''x'', montrons par récurrence que leur ''n'' premiers coefficients sont égaux. Si ''a''<sub>0</sub> et la partie entière de ''x'' alors les deux fractions continues ont pour premier coefficient ''a''<sub>0</sub>. Supposons la propriété démontrée pour les ''n'' premiers coefficients. Le même raisonnement montre qu'ils ont même quotient complet d'ordre 1, les coefficients d'indice ''1'' à ''n'' des deux fractions continues correspondent aux ''n'' premiers coefficients de la fraction continue du quotient complet, ils sont donc égaux, de plus les deux fractions continues ont même coefficient d'ordre ''a''<sub>0</sub>. Les fractions ont donc les mêmes ''n'' + 1 premiers coefficients.<ref name="Coucouron"> Ces démonstrations proviennent du site [http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/fraccont.pdf Développement d'un réel en fractions continues] par M. Couchouron pour les développements périodiques et l'équation de Pell-Fermat</ref>
{{boîte déroulante début|align=left|titre=Démonstrations}}
:* '''La différence entre deux réduites successives est :'''
<center><math> \frac{h_n}{k_n}-\frac{h_{n-1}}{k_{n-1}} = \frac{(-1)^{n+1}}{k_nk_{n-1}}</math></center>
C'est une conséquence de la dernière des propriétés du paragraphe précédent :
<center><math>
\frac{h_n}{k_n}-\frac{h_{n-1}}{k_{n-1}} = \frac{h_nk_{n-1}-k_nh_{n-1}}{k_nk_{n-1}} = \frac{(-1)^{n+1}}{k_nk_{n-1}} </math></center>
:* '''Les réduites de rangs pairs et impairs définissent deux suites adjacentes convergeant vers ''x'' :'''
La formule précédente permet de calculer ''h''<sub>n+2</sub>/''k''<sub>n+2</sub> - ''h''<sub>n</sub>/''k''<sub>n</sub>.
<center><math>
\frac{h_{n+2}}{k_{n+2}}-\frac{h_{n}}{k_{n}}= \frac{h_{n+2}}{k_{n+2}}-\frac{h_{n+1}}{k_{n+1}}+\frac{h_{n+1}}{k_{n+1}}-\frac{h_n}{k_n}=
\frac{(-1)^{n+1}}{k_{n+2}k_{n+1}} + \frac{(-1)^{n}}{k_{n+1}k_{n}} = \frac{(-1)^{n+1}}{k_{n+1}}(\frac{1}{k_{n+2}}-\frac{1}{k_n})
</math></center>
On en déduit que la suite des réduites de rangs pairs est croissante et celle des réduites de rangs impairs décroissante. L'écart entre deux termes consécutifs est inférieur à 2<sup>-n</sub>. Ceci démontre que les suites sont adjacentes.
:* '''La valeur ''x'' est la limite de la série alternée :'''
<center><math>x = a_0 + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{k_nk_{n+1}}</math></center>
La valeur ''x'' est la limite de la suite (''h''<sub>n</sub>/''k''<sub>n</sub>), qui s'écrit encore :
<center><math>\frac {h_n}{k_n}= a_0 -a_0 + \frac{h_1}{k_1} - \frac{h_1}{k_1} + \cdots - \frac{h_{n-1}}{k_{n-1}} + \frac{h_n}{k_n} = a_0 +\left(\frac{h_1}{k_1}- \frac{h_0}{k_0}\right) + \left(\frac{h_2}{k_2} - \frac{h_1}{k_1}\right) + \cdots + \left(\frac{h_n}{k_n} - \frac{h_{n-1}}{k_{n-1}}\right) = a_0 + \sum_{j=1}^n\frac{(-1)^{j+1}}{k_jk_{j-1}}
</math></center>
Un passage à la limite sur ''n'' montre le résultat voulu.
:* '''Pour tout entier ''n'', la différence entre ''x'' et la réduite de rang ''n'' est donnée par la formule suivante :'''
<center><math>x - \frac{h_n}{k_n}= \frac{(-1)^n}{k_n(k_{n-1} + x_{n+1}k_n)}</math></center>
L'expression du réel ''x'' en fonction des premiers coefficients de son développement en fraction continue et d'un quotient complet permet d'obtenir :
<center><math>x - \frac{h_n}{k_n}= \frac {x_{n+1}h_n + h_{n-1}}{x_{n+1}k_n + k_{n-1}} - \frac {h_n}{k_n} = \frac {k_nh_{n-1}-k_{n-1}h_n}{k_n(k_{n-1} + x_{n+1}k_n)}</math></center>
La dernière proposition du paragraphe précédent permet de conclure.
:* '''Les majorations suivantes sont vérifiées :'''
<center><math>\frac{1}{k_n(k_{n+1}+k_n)}<\left|x-\frac{h_n}{k_n}\right|<\frac{1}{k_nk_{n+1}}</math></center>
Il suffit de remarquer que ''x''<sub>n+1</sub> est plus grand que 1 pour la majoration de gauche. Pour celle de droite, il suffit de remarquer que ''x''<sub>n+1</sub> est plus grand que ''a''<sub>n+1</sub> et que ''a''<sub>n+1</sub>.''k''<sub>n</sub> - ''k''<sub>n-1</sub> est égal à ''k''<sub>n+1</sub>.
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== Usages ==
Les usages des fractions continues sont innombrables. On trouvera par exemple dans [[Fraction continue et approximation diophantienne]] les preuves de l'irrationnalité de ''e'' ou de π, dans [[Fraction continue d'un nombre quadratique]] un exemple de résolution d'[[équation de Pell-Fermat]] ou dans [[approximant de Padé]] un prolongement analytique de la série entière de la fonction tangente. Les usages données ici ne nécessitent pour leur compréhension que les propriétés décrites dans cet article.
=== Equation diophantienne linéaire ===
{{Article détaillé|Identité de Bézout}}
[[Image:Bachet de Méziriac.jpg|thumb|200px|right|[[Claude-Gaspard Bachet de Méziriac]] a compris la relation entre les fractions continues et l'équation diophantienne linéaire.]]
L'[[équation diophantienne]] linéaire est l'équation suivante, où ''a'', ''b'' et ''c'' sont des nombres entiers et où les solutions recherchées sont formées d'un couple d'entiers :
<center><math>(1)\quad a\cdot x + b \cdot y = c\;</math></center>
L'identité de Bézout indique que, si ''c'' est un multiple du [[plus grand commun diviseur]] de ''a'' et ''b'', il existe toujours une solution. La fraction continue offre une méthode effective pour trouver toutes les solutions. Illustrons là par l'exemple 1245.''x'' + 279.''y'' = 6. Le développement en fraction continue de 1245/279 est égal à [4,2,6,7]. Calculons les différentes réduites, on trouve 4, 9/2, 58/13 puis 415/93. L'algorithme s'arrête, ce qui signifie que 415/93 est égal à 1245/279. En utilisant les coefficients de l'avant dernière réduite, on remarque que :
<center><math>(3)\quad 1245\times 13 - 279 \times 58 = 3</math></center>
Dans cet exemple, 3 est le plus grand commun diviseur entre 1245 et 279. Ce résultat n'est pas le fruit du hasard, l'avant dernière réduite est toujours composée d'un couple solution de l'équation de Bézout et le résultat du dernier calcul est nécessairement le plus grand commun diviseur au signe près. En effet, notons ''h''<sub>j</sub> et ''k''<sub>j</sub> la j<sup>ième</sup> réduite de la fraction ''a'' / ''b''. Si ''n'' est l'indice de la dernière réduite, alors ''a'' / ''b'' est égal à ''h''<sub>n</sub> / ''k''<sub>n</sub>. Une des premières propriétés assure que :
<center><math>(4)\quad h_nk_{n-1} - k_nh_{n-1} = (-1)^{n+1}\;</math></center>
On en déduit qu'un diviseur commun à ''h''<sub>n</sub> et ''k''<sub>n</sub> divise le terme de gauche et donc le terme de droite de l'égalité ''(4)'', comme les seuls diviseurs de ±1 sont ±1, les deux termes ''h''<sub>n</sub> et ''k''<sub>n</sub> sont premiers entre eux. On en déduit que ''a'' = ''p''.''h''<sub>n</sub> et ''b'' = ''p''.''h''<sub>n</sub> et :
<center><math>ak_{n-1} - bh_{n-1} = (-1)^{n+1}p\;</math></center>
Cette solution démontre bien, au signe près, la propriété illustrée dans l'exemple ''(3)''. Il ne reste plus qu'à multiplier par 2 pour obtenir une solution :
<center><math>1245\times 26 - 279 \times 116 = 6</math></center>
Les autres solutions s'obtiennent par adjonction d'une solution nulle. Une solution nulle est toujours de la forme (''n''.93, ''n''.415) qui s'obtiennent comme les coefficients de la dernière réduite. On obtient finalement :
<center><math>1245\times (26 + n\cdot 93) - 279 \times (116 + n\cdot 415) = 6</math></center>
=== Automate planétaire ===
[[Image:Automate planétaire de Huygens.jpg|thumb|300px|right|Christiaan Huygens construit un ''automate planétaire'' pour déterminer les positions relatives des corps célestes du système solaire.]]
[[Christiaan Huygens]] souhaite construire, à l'aide d'un mécanisme de type horlogerie un automate représentant le mouvement des planètes autour du soleil : {{Citation|Ayant trouvè et fait exécuter depuis peu une machine automate qui représente les mouvements des Planètes dont la construction est d'une façon particulière et assez simple à raison de son effet, au reste d'une grande utilité à ceux qui étudient ou observent le cours des astres.<ref>[[Christiaan Huygens|C. Huygens]] ''[http://www.xs4all.nl/~adcs/Huygens/21/pensees.html Pensees meslees]'' § 24 1686</ref>}}. La difficulté à laquelle il est confronté est liée au rapport de la durée d'une année terrestre et de celle de Saturne. En un an, la Terre tourne de <nowiki>359° 45' 40'' 30''' et Saturne de 12° 13' 34'' 18'''</nowiki>. Le rapport est égal à 77 708 431/2 640 858. Combien faut-il de dents sur les deux [[engrenage]]s supportant respectivement la Terre et Saturne ?
Huygens sait que les fractions continues offrent le meilleur compromis, ce qu'il exprime ainsi : {{citation|Or, lorsqu’on néglige à partir d’une fraction quelconque les derniers termes de la série et celles qui la suivent, et qu’on réduit les autres plus le nombre
entier à un commun dénominateur, le rapport de ce dernier au numérateur sera voisin de celui du plus petit nombre donné au plus grand; et la différence sera si faible qu’il serait impossible d’obtenir un meilleur accord avec des nombres plus petits.}}<ref>Cette citation est extraite de : C. Brezinski ''Ces étranges fractions qui n’en finissent pas'' Université des Sciences et Technologies de Lille France p 51 [http://www.reunion.iufm.fr/Recherche/IREM/telecharger/Brezinski/fracont.pdf Lire]</ref>.
Un calcul en fraction continue montre que :
<center><math>\frac{77\,708\,431}{2\,640\,858} = [29,2,21,5,1,4,1,1,2,1,6,1,10,2,2,3]\;</math></center>
On obtient la suite de fractions : 29/1, 59/2, 147/5, 206/7, 1 177/40 ... Les deux premières solutions ne sont guère précises, dans le premier cas, à la fin d'une rotation de Saturne, la position de la terre est fausse à près d'un demi-tour, dans l'autre cas l'erreur dépasse 4°. La cinquième est techniquement difficile, elle demande la fabrication d'une roue à plus de 1 000 dents ou plusieurs roues. La quatrième offre une précision proche de 3/1 000. C'est celle que choisit Huygens.
Si la terre fait cents tours complets, sur l'automate planétaire Saturne en fait 700/206, soit trois tours et un angle de <nowiki>143° 18'</nowiki>. Dans la réalité, Saturne a tourné de <nowiki>143° 26'</nowiki>. Soit une erreur de 8 minutes d'angle, largement inférieure aux imprécisions mécaniques de l'horloge. Un calcul analogue montre que la fraction 147/5 donne, dans le même contexte, une erreur supérieure à un degré, pour une mise en œuvre d'une difficulté technique comparable.
== Fraction continue généralisée ==
=== Equation du second degré ===
[[Image:Algebra by Rafael Bombelli.gif|thumb|right|L'''Algebra'' de [[Raphaël Bombelli]] contient la première fraction continue connue en Europe, elle correspond à celle donné en exemple dans ce paragraphe.]]
Un exemple d'illustration de l'arrivée naturelle d'une fraction continue généralisée est l'[[équation du second degré]]. Etudions le cas particulier, correspondant celle de Bombelli<ref>[[Rafael Bombelli|R. Bombelli]] ''L'algèbre'' 1579 [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Extras/Bombelli_algebra.html Lire]</ref>, la première connue en Europe :
<center><math>x^2 -6x - 4 = 0 \quad\text{ou}\quad x = 6 + \frac 4x \;</math></center>
En remplaçant ''x'' par sa valeur, on obtient, comme valeur de ''x'' :
<center><math>(1)\; 6 + \frac 4x,\quad (2)\; 6 + \cfrac 4{6 + \frac 4x},\quad (3)\;6 + \cfrac 4{6 + \cfrac 4{6 + \frac 4x}} \quad\cdots</math></center>
Pour plus de commodité, on utilise les notations, dite de ''Pringsheim''. La fraction ''f'' prend la forme suivante :
<center><math>f = 6 + \frac{4\mid}{\mid 6} + \frac{4 \mid}{\mid 6} + \frac{4 \mid}{\mid 6} +\cdots </math></center>
Cette fois ci, aucun théorème n'indique la convergence à priori d'une fraction continue de cette nature. Un calcul manuel montre que les premières réduites sont 2, 9/2, 28/9, 101/8, 342/101. On vérifie bien que cette suite tend vers une des deux [[racine d'un polynôme|racines]], ici celle égale à 3 + √13. D'une manière générale, si l'équation admet au moins une racine réelle et si le coefficient de ''x'' dans l'équation du second degré n'est pas nul, cette fraction continue généralisée tend vers la racine de plus grande valeur absolue. En revanche, dans les autres cas, la fraction continue n'est pas convergente, ainsi aucun théorème ne peut garantir la convergence d'une fraction continue quelconque. Ce résultat est l'œuvre d'Euler<ref name="Euler" />. A l'époque de Bombelli, l'intérêt principal de cette fraction continue était d'offrir une méthode d'extraction de racine, le calcul de la fraction permet d'approcher √13 avec toute la précision souhaitée.
{{boîte déroulante début|align=left|titre=Démonstration}}
Etudions le cas général de l'équation du second degré :
<center><math>(1)\quad a,b\in \mathbb R \quad x^2 +ax +b = 0 \;</math></center>
Si le cas semble ne pas tout à fait être général car le coefficient dominant, celui de ''x''<sup>2</sup> est égal à 1, il est possible de remarquer qu'en divisant par ce coefficient l'équation du second degré, on revient à la situation étudiée.
La méthode proposée ici est générale pour l'étude de la convergence d'une fraction continue généralisée. Les relations de récurrences deviennent, si on ajoute un indice -1 :
<center><math> \begin{align} h_{-1} = 1,\quad & h_0 = a_0,\quad & h_n = a_nh_{n-1}+b_nh_{n-2} \\ k_{-1} = 0,\quad & k_0 = 1,\quad & k_p = a_nk_{n-1}+b_nk_{n-2}\end{align}</math></center>
Ici (''a''<sub>n</sub>) désigne la suite des coefficients des dénominateurs, correspondant au cas de la fraction continue simple et (''b''<sub>n</sub>) à celle des coefficients des numérateurs, égaux à 1 dans le cas d'un fraction simple.
Il devient possible d'écrire les relations de récurrence de manière matricielle. Si ''H''<sub>n</sub> désigne la matrice colonne de coordonnées ''h''<sub>n</sub> et ''h''<sub>n-1</sub> et ''K''<sub>n</sub> son équivalent pour le dénominateur, la relation de récurrence s'écrit aussi :
<center><math>M\cdot H_n = H_{n-1},\quad M\cdot K_n = K_{n-1}\quad\text{avec}\quad M_n = \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center>
La question, dans le cas général, revient à une multiplication de [[matrice (mathématiques)|matrice]] 2x2. Si ''N''<sub>n</sub> désigne la matrice produit des ''M''<sub>j</sub> pour ''j'' plus petit ou égal à ''n'', on obtient :
<center><math> H_n = N_n\cdot H_1,\quad K_n = N_n\cdot K_1\quad\text{avec}\quad N_n = \prod_{j=0}^n M_n,\quad H_1 = \binom{a_0}{1},\quad K_1 = \binom 10</math></center>
Pour le cas particulier de l'équation qui nous intéresse, le problème n'est pas si complexe car ''a''<sub>n</sub> est égal à -''a'' et ''b''<sub>n</sub> à -''b'', et on remarque que ''k''<sub>n</sub> est égal à ''h''<sub>n-1</sub>. La matrice ''M''<sub>n</sub> est ainsi indépendante de ''n'' et la résolution de la question revient à calculer les puissances d'une matrice 2x2. Une autre manière de voir les choses est de remarquer que la relation de récurrence est [[Suite récurrente linéaire|linéaire]] et d'appliquer directement les résultats. L'objectif de la suite de la démonstration est l'illustration d'un cas simple d'un produit de ''n'' matrices 2x2, configuration fréquente dans le cas de l'étude d'une fraction continue.
La méthode la plus simple de résolution est, si possible, de [[matrice diagonalisable|diagonaliser]] ''M'', ce qui revient à écrire que ''M'' est égal à ''P.D.P'' <sup>-1</sup> où ''D'' désigne une matrice diagonale et ''P'' une [[matrice de passage]]. La matrice ''N''<sub>n</sub> est égale à ''P.D <sup>n</sup>.P'' <sup>-1</sup>. Pour cela, il est nécessaire de trouver les [[Valeur propre (synthèse)|valeurs propres]] δ<sub>1</sub> et δ<sub>2</sub> de la matrice ''M'', qui correspondent aux racines du [[polynôme caractéristique]], qui se trouve être celui de l'équation ''(1)''. Deux cas se présentent :
:* '''Les racines de l'équation ''(1)'' sont distinctes ([[nombre complexe|complexes]] ou réelles) :'''
Si les valeurs propres sont distinctes, il existe deux vecteurs propres libres, qui forment une [[Base (algèbre linéaire)|base]]. La matrice ''D''<sup>n</sup> est diagonale de valeurs propres δ<sub>1</sub><sup>n</sup> et δ<sub>2</sub><sup>n</sup>. L'expression de ''h''<sub>n</sub> est nécessairement une combinaison linéaire des deux valeurs propres de la matrice ''D''<sup>n</sub>, ce qui montre l'existence de deux coefficients non nuls λ et μ tel que :
<center><math>\forall n \in \mathbb N^* \quad h_n = \lambda\cdot \delta_1^n + \mu\cdot \delta_2^n</math></center>
Les deux coefficients ne peuvent être nuls, pour s'en rendre compte, il suffit de remarquer que ''K''<sub>1</sub> n'est pas un vecteur propre, on en déduit que ''K''<sub>n-1</sub> et ''K''<sub>n</sub> ne le sont pas non plus, or si l'un des coefficients était nul les deux vecteurs colonnes ''K''<sub>n-1</sub> et ''K''<sub>n</sub> sertaient proportionnels, ce qui ne peut arriver que dans le cas d'un vecteur propre. Pour calculer la ''n''<sup>ième</sup> réduite, il suffit de remarquer que ''k''<sub>n</sub> est égal à ''h''<sub>n-1</sub>. On désigne par δ<sub>1</sub> la plus grande des deux racines en valeur absolue si elles sont réelles et en [[module d'un nombre complexe|module]], si elles sont [[nombre complexe|imaginaires]]. Si ''a'' et ''b'' ne sont pas tous les deux nuls (le cas ''a'' et ''b'' tous deux nuls n'a pas d'intérêt ici), δ<sub>1</sub> est nécessairement différent de 0, car les racines sont supposées distinctes et ne peuvent être toutes les deux nulles, ce qui permet d'écrire :
<center><math>\frac {h_n}{k_n} = \frac {\lambda\cdot \delta_1^n + \mu\cdot \delta_2^n}{\lambda\cdot \delta_1^{n-1} + \mu\cdot \delta_2^{n-1}} = \delta_1 \frac{1 + \frac{\mu}{\lambda}\left(\frac{\delta_2}{\delta_1}\right)^{n-1}\delta_2}{1 + \frac{\mu}{\lambda}\left(\frac{\delta_2}{\delta_1}\right)^{n-1}}</math></center>
Ce cas se divise alors en deux :
::* ''Le coefficient ''b'' n'est pas nul et les racines sont réelles :''
Dans ce cas, δ<sub>1</sub> est en valeur absolue strictement supérieur à δ<sub>2</sub> et leur quotient à la puissance ''n'' - 1 tend vers 0, la réduite d'indice ''n'' converge vers δ<sub>1</sub>.
::* ''Le coefficient ''b'' est nul ou les racines sont [[nombre complexe|imaginaires]] :''
Si ''b'' est nul δ<sub>1</sub> et δ<sub>2</sub> sont de signes opposés, si les racines sont imaginaires elles sont [[conjugué|conjuguées]] et de même [[module d'un nombre complexe|module]] leur rapport est dans les deux cas une valeur ω qui est un nombre complexe de module 1. La valeur ω<sup>n-1</sub> tourne dans le cercle unité et ne converge pas, La réduite d'indice ''n'' n'est donc pas convergente.
:* '''Les racines de l'équation ''(1)'' sont doubles :'''
Notons δ la racine. Une diagonalisation est impossible, mais la [[réduction de Jordan]] montre que la matrice est somme d'une matrice d'homothétie ''H'' de rapport δ et d'une [[matrice nilpotente]] ''R'' constituée uniquement de 0 sauf pour le coefficient en haut à droite, égal à 1. Comme la matrice ''H'' est celle d'une homothétie, elle commute avec ''R'' et il est possible d'appliquer la [[Formule du binôme de Newton|formule du binôme]], ce qui donne, en remarquant que toutes les puissances ''R''<sup>j</sup> sont nuls si ''j'' > 1 :
<center><math>(H + R)^n = \sum_{i=0}^{n} \binom ni H^{n-i}\cdot R^i = H^n + nH^{n-1}\cdot R = \delta^{n-1} \begin{pmatrix} \delta & n \\ 0 & \delta \end{pmatrix}</math></center>
On en déduit encore l'existence de deux coefficients λ et μ tel que :
<center><math>h_n = \delta^{n-1}(\lambda\cdot\delta + n\mu)\quad\text{et}\quad \frac {h_n}{k_n} = \delta \frac{\lambda\cdot\delta + n\mu}{\lambda\cdot\delta + (n-1)\mu} =\delta \frac{\mu + \frac {\lambda\cdot\delta}n}{\mu + \frac {\lambda\cdot\delta}n - \frac{\mu}n} \rightarrow \delta</math></center>
Et, si ''n'' croît indéfiniment, la fraction réduite d'indice ''n'' tend vers l'unique racine.
{{Boîte déroulante fin}}
=== Fraction continue de π et de ''e''===
{{Article détaillé|Approximant de Padé}}
[[Image:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|180px|right|[[Leonhard Euler]] calcule le premier [[approximant de Padé]].]]
Un calcul, dans la partie introductive de l'article, montre comment déterminer la fraction continue de π. Néanmoins, chaque étape est plus pénible car elle demande une précision sur la valeur initiale de plus en plus grande. Les séries entières, convergeant vers π, offrent bien une solution théorique pour le calcul de chaque coefficient de la fraction continue, mais il est calculatoirement trop inextricable pour être utilisable. Pour cette raison, il est plus simple d'obtenir une expression en fraction continue généralisée. La suivante est l'œuvre de Brouncker<ref>[[John Wallis|J. Wallis]] ''Arithmetica Infinitorum'' 1656</ref> :
<center><math>\frac {\pi}4 = \frac{1 \mid}{\mid 1} + \frac{1^2 \mid}{\mid 2} + \frac{3^2 \mid}{\mid 2} + \frac{5^2 \mid}{\mid 2} + \cdots</math></center>
La démonstration se trouve dans l'article [[Fraction continue et approximation diophantienne]].
Pour obtenir celle de ''e'', on utilise un développement en fraction continue, non pas d'un nombre mais d'une fonction, plus précisément celle de l'[[exponentielle]] :
<center><math>\exp(x) = 1 + \frac{x\mid}{\mid 1-\frac 12x} + \frac{\frac {x^2}{4\times 1 \times 3} \mid}{\mid 1} + \frac{\frac {x^2}{4\times 3\times 5}x \mid}{\mid 1} + \frac{\frac {x^2}{4\times 5\times 7}x^2 \mid}{\mid 1} + \frac{\frac {x^2}{4\times 7\times 9}x \mid}{\mid 1}\cdots</math></center>
Sa construction se trouve dans l'article [[Approximant de Padé de la fonction exponentielle]]. Ainsi, une fraction continue ne s'applique pas uniquement aux nombres, mais aussi à certaines fonctions. Le développement de π/4 présentée ici, peut être vu comme une fraction continue d'approximants de Padé de la série entière de la fonction Arctangente.
== Voir aussi ==
===Notes===
<div class="references-small" style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
<references /></div>
=== Liens externes ===
* {{en}} [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/number/contfrac.en Un calculateur en ligne de fraction continue]
* {{fr}} [http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/fraccont.pdf Développement d'un réel en fractions continues] par M. Couchouron pour les développements périodiques et l'équation de Pell-Fermat
* {{fr}} [https://listes.ens-lyon.fr/wws/d_read/arinews.lip/2005-03/exposes/nicolas_b.pdf Une démonstration pour la meilleure approximation] par N. Brisebarre de l'Université de Saint-Etienne
* {{fr}} [http://www.reunion.iufm.fr/Recherche/IREM/telecharger/Brezinski/fracont.pdf Histoire de fractions continues] par C. Bresinski de l'Université des Sciences et Technologies de Lille
* {{fr}} [[Joseph-Louis Lagrange]] [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=41029 ''Solution d'un Problème d'arithmétique''] : La solution originale de Lagrange sur la représentation d'un élément d'un corps quadratique par une fraction continue.
=== Bibliographie ===
* [[Roger Descombes]], ''éléments de théorie des nombres'', Puf Mathématiques, 1986
* [[Le Petit Archimède]], ''Numéro spécial π''
* [[Jean-Paul Delahaye]], ''Le fascinant nombre π'', Pour La Science, Belin, 1997 {{ISBN|2-9029-1825-9}}
* {{Dieudonné (dir.)}}
* [[Marc Guinot]], ''Arithmétique pour amateurs. Vol. 4 : Lagrange et Legendre'' Aléas, 1996 {{ISBN|2-908016-71-0}}
* [[Alain Faisant]], ''L'équation du second degré'', Hermann, 1991
* {{HardyWright}}
* {{en}} [[Alexandre Iakovlevitch Khintchine|A. I. Khintchine]], ''Continued Fractions'', University of Chicago Press.
* Jean Trignan, ''Fractions continues & Différences finies'', Editions du Choix, 1994 {{ISBN|2-909028-16-X}}
* ''Bulletin de l'APMEP'' n° 450
{{portail mathématiques}}
[[Catégorie:Fraction continue]]
[[Catégorie:Analyse réelle]]
[[Catégorie:Fraction|Continue]]
[[bg:Верижна дроб]]
[[ca:Fracció contínua]]
[[da:Kædebrøk]]
[[de:Kettenbruch]]
[[en:Continued fraction]]
[[es:Fracción continua]]
[[fi:Ketjumurtoluku]]
[[it:Frazione continua]]
[[ja:連分数]]
[[ko:연분수]]
[[nl:Kettingbreuk]]
[[pl:Ułamek łańcuchowy]]
[[pms:Frassion continuà]]
[[pt:Fração contínua]]
[[ru:Непрерывная дробь]]
[[sl:Verižni ulomek]]
[[sv:Kedjebråk]]
[[ta:தொடரும் பின்னம்]]
[[th:เศษส่วนต่อเนื่อง]]
[[vi:Phân số liên tục]]
[[zh:连分数]]